几何图形的计数(基本图形)

几何图形的计数几何图形的计数 基本图形基本图形 我们已经学习了一些几何图形的有关知识 我们已经学习了一些几何图形的有关知识 这些图形有线段 角 三角形 长方形 正方形 梯形 平行四边形 这些图形有线段 角 三角形 长方形 正方形 梯形 平行四边形 这一讲数学课外兴趣活动就教大家数数图形的个数 这一讲数学课外兴趣活动就教大家数数图形的个数 有的同学说 有的同学说 我们都四年级了 数图形个数谁不会 还用教吗 我们都四年级了 数图形个数谁不会 还用教吗 请看这里请看这里 有几条线段有几条线段 可能你会不加思索地说可能你会不加思索地说 2 2 条条 你看到的是这样两条 你看到的是这样两条 可是实际上还有一条你数漏了 所以这一题正确的回答应是可是实际上还有一条你数漏了 所以这一题正确的回答应是 3 3 条条 如果一条直线上有如果一条直线上有 100100 个点 线段有多少条呢 个点 线段有多少条呢 用数的办法是非常麻烦的 用数的办法是非常麻烦的 那么今天我们就要用列表找规律的方法研究数基本图形的方法 那么今天我们就要用列表找规律的方法研究数基本图形的方法 例例 1 1 数出下图有多少条线段 数出下图有多少条线段 分析分析 线段有两个端点 从第一个端点出发的线段有线段有两个端点 从第一个端点出发的线段有 4 4 条 条 从第二个端点出发的线段有从第二个端点出发的线段有 3 3 条 条 从第三个端点出发的线段有从第三个端点出发的线段有 3 3 条 条 从第四个端点出发的线段有从第四个端点出发的线段有 3 3 条 条 从第五个端点出发的线段有从第五个端点出发的线段有 0 0 条 条 线段总数共有线段总数共有 4 3 2 1 0 10 4 3 2 1 0 10 条条 方法二方法二 如果称相邻的两端点组成的线段为基本线段如果称相邻的两端点组成的线段为基本线段 那么那么 中有中有 4 4 条基本线段条基本线段 其中的两条基本线段组成的线段有其中的两条基本线段组成的线段有 3 3 条条 其中由三条基本线段组成的线段有其中由三条基本线段组成的线段有 2 2 条条 其中由四条基本线段组成的线段有其中由四条基本线段组成的线段有 1 1 条条 线段总数是线段总数是 4 3 2 1 10 4 3 2 1 10 条条 小结小结 由例由例 1 1 我们可以看出线段总数的计算是有一定规律的我们可以看出线段总数的计算是有一定规律的 我们可以用列表的方法找出计算线段总数的公式我们可以用列表的方法找出计算线段总数的公式 图形图形 端点数端点数 基本线段数基本线段数 线段总数线段总数 2 2 1 1 1 1 3 3 2 2 2 1 32 1 3 4 4 3 3 3 2 1 63 2 1 6 5 5 4 4 4 3 2 1 104 3 2 1 10 规律规律 基本线段数基本线段数 端点数端点数 1 1 线段总数线段总数 基本线段数基本线段数 基本线段数基本线段数 1 1 基本线段数基本线段数 2 2 1 2 2 1 例例 2 2 数出下图一共有多少个角数出下图一共有多少个角 分析分析 角是由同一点引出两条射线组成的图形角是由同一点引出两条射线组成的图形 由例由例 11 你能设计出一个表格来找出数角总数的规律吗你能设计出一个表格来找出数角总数的规律吗 图图 形形 射线数射线数 基本角数基本角数 角总数角总数 2 2 1 1 1 1 3 3 2 2 2 1 32 1 3 4 4 3 3 3 2 1 63 2 1 6 这一题同样也有两种数法这一题同样也有两种数法 方法一方法一 由第一条射线出发的角有由第一条射线出发的角有 4 4 个个 由第二条射线出发的角有由第二条射线出发的角有 3 3 个个 由第三条射线出发的角有由第三条射线出发的角有 2 2 个个 由第四条射线出发的角有由第四条射线出发的角有 1 1 个个 共有共有 4 3 2 1 10 4 3 2 1 10 个个 方法二方法二 基本角有基本角有 4 4 个个 由两个基本角组成的角有由两个基本角组成的角有 3 3 个个 由三个基本角组成的角有由三个基本角组成的角有 2 2 个个 由四个基本角组成的角有由四个基本角组成的角有 1 1 个个 角总数为角总数为 4 3 2 1 10 4 3 2 1 10 个个 规律规律 基本角数基本角数 射线数射线数 1 1 角总数角总数 基本角数基本角数 基本角数基本角数 1 1 基本角数基本角数 2 2 1 2 2 1 例例 3 3 数数下图共有多少个三角形数数下图共有多少个三角形 分析分析 有了例有了例 1 1 与例与例 2 2 的知识你能自己找出规律吗的知识你能自己找出规律吗 方法一方法一 从从 A A 点出发的三角形个数是点出发的三角形个数是 3 3 个个 从从 B B 点出发的三角形个数是点出发的三角形个数是 2 2 个个 从从 C C 点出发的三角形个数是点出发的三角形个数是 1 1 个个 三角形总数是三角形总数是 3 2 1 6 3 2 1 6 个个 恰好与底边有多少条线段的得数相同恰好与底边有多少条线段的得数相同 方法二方法二 从顶角看从顶角看 角的总数也恰好与三角形个数相同角的总数也恰好与三角形个数相同 顶角共有顶角共有 3 2 1 6 3 2 1 6 个个 角角 三角形共有三角形共有 6 6 个角个角 你能写出数三角形的公式吗你能写出数三角形的公式吗 三角形总个数三角形总个数 基本三角形个数基本三角形个数 基本三角形个数基本三角形个数 1 1 基本三角形个数基本三角形个数 2 2 1 2 2 1 例例 4 4 数数下图共有多少个长方形数数下图共有多少个长方形 包括正方形包括正方形 分析分析 长方形的长和宽都是线段长方形的长和宽都是线段 由线段构成的长方形个数一定与线段数有关由线段构成的长方形个数一定与线段数有关 横着看横着看 每一排的长方形个数每一排的长方形个数 共有共有 3 2 1 6 3 2 1 6 个个 恰好与长的线段总数相同恰好与长的线段总数相同 竖着看竖着看 有有 3 3 排排 2 1 3 2 1 3 恰好与宽的线段总数相同恰好与宽的线段总数相同 一共有一共有 3 2 1 2 1 18 3 2 1 2 1 18 个个 长方形 长方形 图图 形形 长的线段数长的线段数 横着每一排个数横着每一排个数 宽的线段数宽的线段数 有几排有几排 总数总数 3 2 1 6 3 2 1 6 条条 6 6 个个 2 1 3 2 1 3 条条 3 3 3 6 183 6 18 4 3 2 1 10 4 3 2 1 10 条条 10 10 个个 3 2 1 6 3 2 1 6 条条 6 6 6 10 606 10 60 规律 长方形总数 长的线段数规律 长方形总数 长的线段数 宽的线段数宽的线段数 例例 5 5 数数下图一共有多少个正方形数数下图一共有多少个正方形 由由 1 1 个基本正方形组成的正方形每排个基本正方形组成的正方形每排 4 4 个个 有有 3 3 排共排共 4 3 12 4 3 12 个个 由由 4 4 个基本正方形组成的正方形每排个基本正方形组成的正方形每排 3 3 个个 有有 2 2 排共排共 3 2 6 3 2 6 个个 由由 9 9 个基本正方形组成的正方形每排个基本正方形组成的正方形每排 2 2 个个 有有 1 1 排共排共 2 1 2 2 1 2 个个 图中正方形共有图中正方形共有 12 6 2 20 12 6 2 20 个个 由列表方法可以找出数由若干小正方形组成的长方形由列表方法可以找出数由若干小正方形组成的长方形 包括正方形包括正方形 中所有正方形中所有正方形 的个数的规律的个数的规律 图图 形形 由横排正方形个数由横排正方形个数 有几排有几排 正方形总数正方形总数 由一个基本正方形组成的由一个基本正方形组成的 2 2 个个 2 2 排排 2 2 42 2 4 个个 共共 4 1 54 1 5 个个 由四个基本正方形组成的由四个基本正方形组成的 1 1 个个 1 1 排排 1 1 11 1 1 个个 由一个基本正方形组成的由一个基本正方形组成的 3 3 个个 2 2 排排 3 2 63 2 6 个个 共共 6 2 86 2 8 个个 由四个基本正方形组成的由四个基本正方形组成的 2 2 个个 1 1 排排 2 1 22 1 2 个个 规律规律 正方形个数正方形个数 横排基本正方形个数横排基本正方形个数 竖排基本正方形个数竖排基本正方形个数 横排基本正方形个数横排基本正方形个数 1 1 竖排基本正方形个数竖排基本正方形个数 1 1 横排基本正方形个数横排基本正方形个数 竖排基本正方形个数竖排基本正方形个数 1 1 1 1 注意注意 此公式中假定横排基本正方形个数大于或等于竖排基本正方形个数此公式中假定横排基本正方形个数大于或等于竖排基本正方形个数 习题习题 1 1 数一数下图共有多少个角数一数下图共有多少个角 2 2 一条直线上有一条直线上有 100100 个点个点 共组成多少条线段共组成多少条线段 3 3 由由 1515 个大小相等的小正方形组成的一个长方形最少饱含多少个正方形个大小相等的小正方形组成的一个长方形最少饱含多少个正方形 最多饱最多饱 含多少个正方形含多少个正方形 4 4 如图含有花的长方形共有多少个如图含有花的长方形共有多少个 2 2 答案与揭示答案与揭示 1 1 共有共有 8 8 个基本角个基本角 角总数为角总数为 8 7 6 5 4 3 2 1 8 1 8 2 36 8 7 6 5 4 3 2 1 8 1 8 2 36 个个 2 100 2 100 个点共有个点共有 9999 条基本线段条基本线段 99 98 1 99 1 99 2 4950 99 98 1 99 1 99 2 4950 条条 3 3 组成长方形最少包含组成长方形最少包含 1515 个正方形个正方形 这这 1515 个小正方形排成一横排时正方形最少个小正方形排成一横排时正方形最少 最多的情况是每排最多的情况是每排 5 5 个个 排排 3 3 排排 共有共有 5 3 4 2 3 1 24 5 3 4 2 3 1 24 个个 4 4 如图如图 每横排包含花的长方形有每横排包含花的长方形有 2 3