数列（全章）知识要点梳理及题型归纳

1 数列 全章 知识要点梳理及题型归纳数列 全章 知识要点梳理及题型归纳 中江中学校中江中学校 倪倪谱谱 一 知识梳理一 知识梳理 数列概念数列概念 1 数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列 数列中的每个数称为该数列的项 2 通项公式 如果数列的第n项与序号之间可以用一个式子表示 那么这个公式叫做这个数列 n a 的通项公式 即 nfan 3 递推公式 如果已知数列的第一项 或前几项 且任何一项 n a与它的前一项 1 n a 或前几 n a 项 间的关系可以用一个式子来表示 即 1 nn afa或 21 nnn aafa 那么这个式子叫做数 列的递推公式 n a 如数列中 12 1 1 nn aaa 其中12 nn aa是数列的递推公式 n a n a 4 数列的前n项和与通项的公式 nn aaaS 21 2 1 1 1 nSS nS a nn n 5 数列的表示方法 解析法 图像法 列举法 递推法 6 数列的分类 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 摆动数列 常数数列 有界数列 无 界数列 递增数列 对于任何 Nn 均有 nn aa 1 递减数列 对于任何 Nn 均有 nn aa 1 摆动数列 例如 1 1 1 1 1 常数数列 例如 6 6 6 6 有界数列 存在正数M使 NnMan 无界数列 对于任何正数M 总有项使得Man n a 等差数列等差数列 1 等差数列的概念 如果一个数列从第二项起 每一项与它前一项的差等于同一个常数d 这个数列叫做等差数列 常数 d 称为等差数列的公差 2 通项公式与前n项和公式 通项公式dnaan 1 1 1 a为首项 d为公差 前n项和公式 2 1n n aan S 或dnnnaSn 1 2 1 1 注意 d 0 与时的情况 BnAnSn 2 0 d n S 3 等差中项 如果bAa 成等差数列 那么A叫做a与b的等差中项 即 A是a与b的等差中项 baA 2 a A b成等差数列 4 等差数列的判定方法 定义法 daa nn 1 Nn d是常数 是等差数列 n a 中项法 21 2 nnn aaa Nn 是等差数列 n a 5 等差数列的常用性质 数列是等差数列 则数列 pan n pa p是常数 都是等差数列 n a 在等差数列中 等距离取出若干项也构成一个等差数列 即 32knknknn aaaa 为等 n a 差数列 公差为kd dmnaa mn banan a b是常数 bnanSn 2 a b是常数 2 0 a 若 Nqpnmqpnm 则 qpnm aaaa 若等差数列的前n项和 n S 则 n Sn 是等差数列 n a 当项数为 2 Nnn 则 n n a a S S ndSS 1 奇 偶 奇偶 当项数为 12 Nnn 则 n n S S aSS n 1 奇 偶 偶奇 等比数列等比数列 1 等比数列的概念 如果一个数列从第二项起 每一项与它前一项的比等于同一个常数 0 qq 这个数列叫做等比数 列 常数q称为等比数列的公比 2 通项公式与前n项和公式 通项公式 1 1 n n qaa 1 a为首项 q为公比 前n项和公式 当1 q时 1 naSn 当1 q时 q qaa q qa S n n n 11 1 11 0 BABqAS n n 3 等比中项 如果bGa 成等比数列 那么G叫做a与b的等比中项 即 G是a与b的等差中项 a A b成等差数列 baG 2 4 等比数列的判定方法 定义法 q a a n n 1 Nn 0 q是常数 是等比数列 n a 中项法 2 2 1 nnn aaa Nn 且0 n a 是等比数列 n a 5 等比数列的常用性质 数列是等比数列 则数列 n pa n pa 0 q是常数 都是等比数列 n a 在等比数列中 等距离取出若干项也构成一个等比数列 即 32knknknn aaaa 为等 n a 比数列 公比为 k q Nmnqaa mn mn 若 Nqpnmqpnm 则 qpnm aaaa 若等比数列的前n项和 n S 则 k S kk SS 2 kk SS 23 kk SS 34 是等比数列 n a 二 典型例题二 典型例题 一 求值类的计算题 一 求值类的计算题 多关于等差等比数列 1 根据基本量求解 方程的思想 2 根据数列的性质巧求解 整体思想 题型 请同学们看资料 二 求数列通项公式类 二 求数列通项公式类 A 给出前几项 求通项公式 21 15 10 6 3 1 1 0 1 0 3 3 33 33 333333 3333 3333 3333333333 B 给出前 n 项和求通项公式 注意验证与 1 a n a 1 nnSn32 2 13 n n S 3 2 设数列满足 求数列的通项公式 n a 2 123 33 3 n n aaaanN n 1 3 n a C 给出递推公式求通项公式 1 递推关系形如 和 k 为常数 用等差 比 公式计算 kaa nn 1 k a a n n 1 2 递推关系形如型 累加法 型 累积法 1 nfaa nn 1 nf a a n n 累加法 11232211 aaaaaaaaaa nnnnnnn 累积法 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 a a a a a a a a a a a a n n n n n n n 已知数列中 2 12 2 11 nnaaa nn 求数列的通项公式 n a n a 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 1 1 1 2 2 1 n n an na an n a 3 构造新的辅助数列 一般是等差数列 等比数列 1 递推关系形如 qpaa nn 1 利用待定系数法构造等比数列求解 xan 如 已知数列中 32 1 11 nn aaa 求数列的通项公式 n a n a 2 递推关系形如 n nn kppaa 1 构造等差数列求解 即 常数 n n p a k p a p a n n n n 1 1 如 已知数列中 求数列的通项公式 n a1 1 a n nn aa232 1 n a 3 递推关系形如 nnn aqapa 12 利用待定系数法构造等比数列求解 即 常数 1 nn xaak xaa xaa nn nn 1 1 如 已知数列中 nnn aaaaa23 2 1 1221 求数列的通项公式 n a n a 4 递推关系形如 11nnnn apaqa a p q0 利用取倒数法 两边同除以 取倒数法 即 常数 1nn a a k aa nn 1 11 如 数列 n a中 4 2 2 11 Nn a a aa n n n 求数列 n a的通项公式 4 给出关于给出关于和和的关系 注意变形方向 的关系 注意变形方向 n S m a 1 设数列的前n项和为 n S 已知 3 11 NnSaaa n nn 设 n nn Sb3 n a 求数列 n b的通项公式 2 设 n S是数列 n a的前n项和 1 1 a 2 2 1 2 nSaS nnn 求 n a的通项 设 12 n S b n n 求数列 n b的前n项和 n T 三 求数列的前 三 求数列的前 n 项和类项和类 从 从开始分析入手 开始分析入手 n a 4 基本方法如下 基本方法如下 1 公式法 公式法 2 拆解求和法 拆解求和法 1 求数列的前n项和 n S n 223 n 2 求数列 2 1 8 1 3 4 1 2 2 1 1 n n 的前n项和 n S 3 求 222212 1234 1 nSn nN 3 裂项相消法 通项分解 裂项相消法 通项分解 裂项 裂项 如 如 1 等差数列 公差为 d 则 n a 11 11 11 nnnn aadaa 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 nnnnnnn an 3 11 nkn knkn an 1 求和 S 1 n 321 1 321 1 21 1 2 求和 nn 1 1 34 1 23 1 12 1 3 已知二次函数 数列的前 n 项和为 点均在函xxxf23 2 n a n S n n SnN 数的图像上 yf x 求数列的通项公式 n a 设 是数列的前 n 项和 求使得对所有都成立 1 1 n nn b a a n T n b 20 n m T nN 的最小正整数 m 4 倒序相加法 例 设 2 2 1 x x xf 求 4 3 2 2 1 3 1 4 1 ffffff 2010 2009 2 2 1 3 1 2009 1 2010 1 fffffff 5 错位相减法 错位相减法 1 若数列 n a的通项 n n na3 12 求此数列的前n项和 n S 2 设是等差数列 是各项都为正数的等比数列 且 n a n b 11 1ab 35 21ab 5 求 的通项公式 求数列的前n项和 53 13ab n a n b n n a b n S 五五 数列单调性最值问题类数列单调性最值问题类 方案 方案 1 与单调性 最值相关 与单调性 最值相关 2 数形结合解决 数形结合解决 1 数列中 492 nan 当数列的前n项和 n S取得最小值时 n n a n a 2 已知 n S为等差数列的前n项和 16 25 41 aa当n为何值时 n S取得最大值 n a 3 数列中 1283 2 nnan 求 n a取最小值时n的值 n a 4 数列中 2 2 nnan 求数列的最大项和最小项 n a n a 5 设数列 n a的前n项和为 n S 已知 1 aa 1 3n nn aS n N 设3n nn bS 求数列 n b的通项公式 若 1nn aa n N 求a的取值范围 6 已知 n S为数列的前n项和 3 1 a 2 2 1 naSS nnn n a 求数