广东省各地2010年高三数学联考试题分类汇编（7）立体几何

用心 爱心 专心 1 广东省各地市广东省各地市 20102010 年高考数学最新联考试题 年高考数学最新联考试题 3 3 月月 6 6 月 分类汇编月 分类汇编 第第 7 7 部分部分 立体几何立体几何 一 选择题一 选择题 7 广东省惠州市 广东省惠州市 20102010 届高三第三次调研理科 届高三第三次调研理科 用若干个体积为 1 的正方体搭成一个几 何体 其正视图 侧视图都是如图所示的图形 则这个几何体的最大体积与 最小体积的差是 A 6 B 7 C 8 D 9 答案 A 解析 由正视图 侧视图可知 体积最小时 底层有 3 个小正方体 上面有 2 个 共 5 个 体积最大时 底层有 9 个小正方体 上面有 2 个 共 11 个 故这个几何体的最 大体积与最小体积的差是 6 故选 A 9 广东省惠州市 广东省惠州市 20102010 届高三第三次调研文科 届高三第三次调研文科 如图所示 一个空间几何体的主视图和左视图都是 边长为 1 的正方形 俯视图是一个直径为 1 的圆 那 么这个几何体的全面积为 A 3 2 B 2 C 3 D 4 答案 A 解析 由三视图知空间几何体为圆柱 全面积为 2 113 22 1 222 选 A 考点定位 本题考查立体几何中三视图 三视图是新课标的新增内容 在以后的高考中有 加大的趋势 备考要点 复习时 仍要立足课本 务实基础 3 广东省江门市 广东省江门市 20102010 届高三数学理科届高三数学理科 3 3 月质量检测试题 月质量检测试题 如图 在矩形ABCD中 EBCAB 3 4 是CD的中点 沿AE将ADE 折起 使二面 角 BAED 为 60 则四棱锥ABCED 的体积是 A A 13 399 B 13 3927 C 9 13 13 D 13 1327 2 2010 年年 3 月广东省广州市高三一模数学理科试题 月广东省广州市高三一模数学理科试题 设一地球仪的球心为空间直角坐标 系的原点O 球面上有两个点A B的坐标分别为 1 2 2A 2 2 1B 则 AB C A 18B 12C 3 2D 2 3 用心 爱心 专心 2 5 2010年年3月广东省广州市高三一模数学理科试题 月广东省广州市高三一模数学理科试题 已知p 直线a与平面 内无数条直 线垂直 q 直线a与平面 垂直 则p是q的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由线面垂直的判定定理容易得出答案 B 考点定位 本题考查立体几何中垂直关系的判定以及简易逻辑的有关知识 这两部分知识 都是高考的重点 在高考中选择题 填空题和解答题出现 同时在知识的交汇点命题也是高考 的热点 备考要点 立足课本 务实基础 同时要注意各部分知识的整合 3 2010 2010 年年 3 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科 如图 1 一个简单组合体的正 视图和侧视图都是 由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形 俯视图是一个半径为3的圆 包括圆心 则该 组合体的表面积 各个面的面积的和 等于 C A 15 B 18 C 21 D 24 5 2010 2010 年年 3 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科 如图 一 个简单空间几何体的三 视图其主视图与侧视图都是边 长为 2 的正三角形 俯视图轮廓为正 方形 则此几何体的表面积是 B A 44 3 B 12 C 4 3 D 8 2 2010 2010 年年 3 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科 已知E F G H是空间四点 命题甲 E F G H四点不共面 命题乙 直线 EF 和 GH不相交 则甲是乙成立的 A A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 二 填空题二 填空题 11 20102010 年广东省揭阳市高考一模试题理科 年广东省揭阳市高考一模试题理科 某师傅用铁皮制作一封闭的工件 其直观图的三视 图如右图示 单位长度 cm 图中水平线与竖线垂直 则制作该工件用去的铁皮的面积为 2 cm 制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计 用心 爱心 专心 3 D C B A P 答案 2 100 35 cm 解析 由三视图可知 该几何体的形状如图 它是底面为正方形 各个侧面均为直角三角形 的四棱锥 用去的铁皮的面积即该棱锥的 表面积为100 35 S 2 cm 考点定位 本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图 三视图是新课标的新增内容 在以后的高考中有加在的力度 13 2010 年年 3 月广东省广州市高三一模数学理科试题 月广东省广州市高三一模数学理科试题 如图 4 点O为正方体 ABCDA B C D 的中心 点E为面B BCC 的中心 点F为B C 的中点 则空间四 边形D OEF 在该正方体的面上的正投影可能是 填出所有可能的序号 三 解答题三 解答题 18 2010年年3月广东省广州市高三一模数学理科试题 月广东省广州市高三一模数学理科试题 本小题满分本小题满分14分分 如图 6 正方形ABCD所在平面与圆O所在平面 相交于CD 线段CD为圆O的弦 AE垂直于圆 O所在平面 垂足E是圆O上异于C D的点 3AE 圆O的直径为 9 1 求证 平面ABCD 平面ADE 2 求二面角DBCE 的平面角的正切值 18 本小题满分本小题满分14分分 本小题主要考查空间线面关系 空间向量及坐标运算 本小题主要考查空间线面关系 空间向量及坐标运算 等知识 考查数形结合 化归与转化的数学思想方法 等知识 考查数形结合 化归与转化的数学思想方法 以及空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力以及空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力 1 证明 证明 AE垂直于圆O所在平面 CD在圆O所在平面上 AE CD 在正方形ABCD中 CDAD ADAEA CD 平面ADE CD 平面ABCD 平面ABCD 平面ADE 用心 爱心 专心 4 2 解法解法 1 CD 平面ADE DE 平面ADE CDDE CE为圆O的直径 即9CE 设正方形ABCD的边长为a 在Rt CDE中 2222 81DECECDa 在Rt ADE中 2222 9DEADAEa 由 22 819aa 解得 3 5a 22 6DEADAE 过点E作EFAD 于点F 作FGABA交BC于点G 连结GE 由于AB 平面ADE EF 平面ADE EFAB ADABA EF 平面ABCD BC 平面ABCD BCEF BCFG EFFGF BC 平面EFG EG 平面EFG BCEG FGE 是二面角DBCE 的平面角 在Rt ADE中 3 5AD 3AE 6DE AD EFAE DE 3 66 5 53 5 AE DE EF AD 在Rt EFG中 3 5FGAB 2 tan 5 EF EGF FG 故二面角DBCE 的平面角的正切值为 2 5 解法解法 2 CD 平面ADE DE 平面ADE CDDE CE为圆O的直径 即9CE 设正方形ABCD的边长为a 在Rt CDE中 2222 81DECECDa G F 用心 爱心 专心 5 在Rt ADE中 2222 9DEADAEa 由 22 819aa 解得 3 5a 22 6DEADAE 以D为坐标原点 分别以ED CD所在的直线为x轴 y轴建立如图所示的空间直角 坐标系 则 0 0 0D 6 0 0E 0 3 5 0C 6 0 3A 来源 学 科 6 3 5 3B 设平面ABCD的法向量为 1111 x y z n 则 1 1 0 0 DA DC A A n n 即 11 1 630 3 50 xz y 取 1 1x 则 1 1 0 2 n是平面ABCD的一个法向量 设平面BCE的法向量为 2222 xyz n 则 2 2 0 0 EB EC A A n n 即 22 22 3 530 63 50 yz xy 取 2 2y 则 2 5 2 2 5 n是平面ABCD的一个法向量 12 12 12 1 0 25 2 2 5 5 cos 1 04542029 A An n n n nn 12 2 sin 29 n n 12 2 tan 5 n n 故二面角DBCE 的平面角的正切值为 2 5 17 2010年年3月广东省广州市高三一模数学文科试题 月广东省广州市高三一模数学文科试题 本小题满本小题满 分分14分分 如图 6 正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交 于CD AE 平面CDE 且3AE 6AB 1 求证 AB 平面ADE 2 求凸多面体ABCDE的体积 xy z A B C D E 图 5 用心 爱心 专心 6 17 本小题满分本小题满分14分分 本小题主要考查空间线面关系 几何体的体积等知识 考查数形结合 化归与转化的数学 本小题主要考查空间线面关系 几何体的体积等知识 考查数形结合 化归与转化的数学 思想方法 以及空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力思想方法 以及空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力 1 证明 证明 AE 平面CDE CD 平面CDE AE CD 在正方形ABCD中 CDAD ADAEA CD 平面ADE ABCDA AB 平面ADE 故所求凸多面体ABCDE的体积为18 3 解法解法 2 在Rt ADE中 3AE 6AD 22 3 3DEADAE 连接BD 则凸多面体ABCDE分割为三棱锥BCDE 和三棱锥BADE 由 1 知 CD DE 11 6 3 39 3 22 CDE SCDDE 又ABCDA AB 平面CDE CD 平面CDE ABA平面CDE A B C D E 用心 爱心 专心 7 点B到平面CDE的距离为AE的长度 11 9 3 39 3 33 B CDECDE VSAE AB 平面ADE 119 3 69 3 332 B ADEADE VSAB ABCDEB CDEB ADE VVV 9 39 318 3 故所求凸多面体ABCDE的体积为18 3 18 广东省惠州市 广东省惠州市 20102010 届高三第三次调研理科 届高三第三次调研理科 本小题满分 14 分 如图所示 在正 方体 1111 ABCDABC D 中 E 为 AB 的中点 1 若F为 1 AA的中点 求证 EF 面 11 DDC C 2 若F为 1 AA的中点 求二面角 1 AECD 的余弦值 3 若F在 1 AA上运动时 F与A 1 A不重合 求当半平面 1 D EF与半平面ADE成 4 的角时 线段 1 AFFA与的比 为等腰梯形 5 分 又 1 13 29 3 2 222 EFD C S 梯形 1 2 33 2 ADCE S 梯形 7 分 1 32 cos 9 3 2 ADCE EFD C S S 梯形 梯形 二面角 1 AECD 的余弦值为 2 3 9 分 3 建立如图所示的坐标系 设正方体的棱长为 2 20 xxAF 则 A1 A B1 C1 D1 B C D F E 用心 爱心 专心 8 1 0 0 0 2 0 0 2 1 0 0 0 2 2 0 DAEDFx 1 DDADE 面 取 的法向量为面ADEDD2 0 0 1 11 分 设面 1 D EF的法向量为 n 111 x y z 1 D EEF 2 1 20 1 x 111 11 220 0 xyz yxz 取 1 2z 则 n 2 x 2x 2 半平面 1 D EF与半平面ADE成 4 角 1 222 1 42 cos 4 548 2224 DD n DDnxx xx 13 分 4 5 x 即 1 446 2 555 FAAF 线段 1 AFFA与的比为 3 2 14 分 注 本题的方法多样 不同的方法请酌情给分 18 广东省惠州市 广东省惠州市 20102010 届高三第三次调研文科 届高三第三次调研文科 本题满分 14 分 证明 1 ABCDACABCDPA面面 ACPA 2 分 又PABABPABPAAACPAACAB面面 PABABPABPAAACPAACAB面面 5 分 PABAC面 PBAC 7 分 2 连结BD交AC于点O 并连结 EO 四边形ABCD 为平行四边形 A1 A B1 C1 D1 B C D F E x z y P B C A D E 用心 爱心 专心 9 N E D C B A P F z y x N E D C B A P P A B C D E O为BD的中点 又E 为PD的中点 在PDB 中 EO 为中位线 PBEO AECEOAECPB面面 AECPB面 14 分 18 20102010 年广东省揭阳市高考一模试题理科 年广东省揭阳市高考一模试题理科 本题满分 本题满分 14 分 分 右图为一简单组合体 其底面 ABCD 为正方形 PD 平面ABCD ECPD 且2PDEC 1 求证 BE 平面 PDA 2 若 N 为线段PB的中点 求证 EN 平面PDB 3 若2 PD AD 求平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角的大小 18 解 1 证明 ECPD PD 平面PDA EC 平面PDA EC 平面PDA 同理可得 BC 平面PDA 2 分 EC 平面 EBC BC 平面 EBC 且ECBCC 平面BEC 平面PDA 3 分 又 BE 平面 EBC BE 平面 PDA 4 分 2 证法 1 连结 AC 与 BD 交于点 F 连结 NF F 为 BD 的中点 NFPD且 1 2 NFPD 6 分 又 ECPD且 1 2 ECPD NFEC且NFEC 四边形 NFCE 为平行四边形 7 分 NEFC DBAC PD 平面ABCD AC 面ABCD ACPD 又PDBDD AC 面PBD NE 面PDB 9 分 证法 2 如图以点 D 为坐标原点 以 AD 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如图示 设该简单组合体的底面边长为 1 PDa 则 1 1 0 0 1 0 0 0 BCPa 用心 爱心 专心 10 P A B C D E 0 1 2 a E 1 1 2 2 2 a N 6 分 11 0 22 EN 1 1 PBa 1 1 0 DB 11 1100 22 EN PBa 11 11 0 00 22 EN DB 17 20102010 年广东省揭阳市高考一模试题文科 年广东省揭阳市高考一模试题文科 本题满分 本题满分 1414 分 分 右图为一简单组合体 其底面 ABCD 为正方形 PD 平面ABCD ECPD 且2PDADEC 2 用心 爱心 专心 11 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 1 答题卡指定的方框内已给出了该几何体的俯视图 请在方框 内画出该几何体的正 主 视图和侧 左 视图 2 求四棱锥 B CEPD 的体积 3 求证 BE平面PDA 17 解 1 该组合体的主视图和侧视图如右图示 3 分 2 PD 平面ABCD PD 平面PDCE 平面PDCE 平面 ABCD BCCD BC 平面PDCE 5 分 11 3 23 22 SPDECDC 梯形PD C E 6 分 四棱锥 B CEPD 的体积 11 3 22 33 B CEPDPDCE VSBC 梯形 8 分 3 证明 ECPD PD 平面PDA EC 平面PDA EC 平面PDA 10 分 同理可得 BC 平面PDA 11 分 EC 平面 EBC BC 平面 EBC 且ECBCC 平面BEC 平面PDA 13 分 又 BE 平面 EBC BE 平面 PDA 14 分 18 广东省江门市 广东省江门市 20102010 届高三数学理科届高三数学理科 3 3 月质量检测试题 月质量检测试题 本题满分 14 分 如图 棱 锥 P ABCD 的底面 ABCD 是矩形 PA 平面 ABCD PA AD 2 BD 22 求点 C 到平面 PBD 的距离 在线段PD上是否存在一点Q 使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为 9 62 若存在 指出点Q的位置 若不存在 说明理由 18 在 Rt BAD中 AD 2 BD 22 AB 2 ABCD 为正方形 因此 BD AC 1 分 PA AB AD 2 PB PD BD 22 2 分 设 C 到面 PBD 的距离为 d 由 PBDCBCDP VV 有 11 33 BCDPBD SPASd 即 20 111 1 2 2 2 2 2 sin60 323 2 d 4 分 得3 3 2 d 5 分 如图建立空间直角坐标系 y z D P A C x D P A C 用心 爱心 专心 12 因为Q在DP上 所以可设 10 DPDQ 6 分 又 2 2 0 DP 2 22 02 2 00 2 0 DPADDQADAQ 2 22 0 Q 122 2 2 CQ 8 分 易求平面PBD的法向量为 1 1 1 n 10 分 应有过程 所以设CQ与平面PBD所成的角为 则有 2 213 1 cossin nCQ nCQ nCQ 12 分 所以有6 9 2 213 1 2 16 1 2 10 4 1 13 分 所以存在且DPDQ 4 1 14 分 18 广东省深圳高级中学 广东省深圳高级中学 20102010 届高三一模理科 届高三一模理科 本题满分 本题满分 1414 分 分 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是一直角梯 aBCABBCADBAD 90 PDABCDPAaAD 2底面 与底面成 30 角 1 若EPDAE 为垂足 求证 PDBE 2 在 1 的条件下 求异面直线AE与CD所成 角的余弦值 3 求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值 18 本小题满分本小题满分 14 分分 解法一 1 ADBABAD 90 BAEPD AAEBAAEPDBAPD PADPD PADBA AADPAPABAABCDPA 平面 且又 平面 平面 又底面 PDBEBEPD 即 4 分 2 过点E作EM CD交PC于M 连结AM 则AE与ME所成角即为AE与CD所成角 用心 爱心 专心 13 4 2 3 34 3 3 2 2 3 3 3 34 3 32 3 34 2 3 32 3 34 3 32 2 30 90 30 30 2 2 a a aa PD PECD ME aCDa a a PD PA PE a a aa PD ADPA AE aPDaPA aADPDAPADPADRt PDA ABCDPDABCDPA 中在 角成与底面且底面 4 2 cos 90 2 2 2 222 AE ME MEAAMERt AMME PACMAPACME PAMECDPA ABCDPA ACMEACCDACD CDACAD aCDaACaADACD AC 中在 平面平面 底面又 中在 连结 异面直线AE与CD所成角的余弦值为 4 2 9 分 3 延长AB与DC相交于G点 连PG 则面PAB 与面PCD的交线为PG 易知CB 平面PAB 过B作 PGCFCFFPGBF 则连点于 2 1 ADCB APGCCFB 的平面角为二面角 用心 爱心 专心 14 2 2 tan 22 1 30 2 3 32 30 a a BFC a GBBF PGA aAGaPAPDAaABGB 3 易知 PACBABCB 则PABBCPABCB是平面平面 的法向量 用心 爱心 专心 15 2 tan 5 5 5 3 1100 30110 cos 3 1 1 1 3 0 0 3 32 0 0 0 3 32 0 0 222222 a a a a mBC mBC mBC my yz yx ayax azayax CDmPCm aaCDaaaPCCDmPCm zyxmPCD aBC 则 所成角为与设向量 令 得 由 而则 的一个法向量为又设平面 平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的正切值为 2 14 分 17 2010 2010 年年 3 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科 本小题满分 12 分 如图 5 已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC 90BACACD 60EAC ABACAE 1 在直线BC上是否存在一点P 使得 DP平面EAB 请证明你的结论 2 求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角 的余弦值 A B C DE 5图 用心 爱心 专心 16 解解 1 线段BC的中点就是满足条件的点P 1 分 证明如下 取AB的中点F连结DPPFEF 则 ACFP ACFP 2 1 2 分 取AC的中点M 连结EMEC ACAE 且60EAC EAC是正三角形 ACEM 四边形EMCD为矩形 ACMCED 2 1 又 ACED 3 分 FPED 且EDFP 四边形EF