实际问题与二次函数

1 实际问题与二次函数 一 教学设计 教材教材 义务教育课程标准实验教科书数学九年级下册 26 3 实际问题与二次函 数 课时安排课时安排 第 1 课时 教学对象教学对象 初三学生 授课教师授课教师 吴川市第一中学 张娟 教材分析教材分析 前面我们已学习了二次函数的概念 图象和性质 并且结合了实 际问题讨论了二次函数 看到了二次函数在解决实际问题中的一些应用 本节 的问题涉及求函数的最大值 要先求出函数的解析式 再求出使函数值最大的 自变量值 学情分析学情分析 学生已经学习了二次函数的概念 图象和性质 这些内容为学习 二次函数的应用提供了知识支持 又学习了列代数式 列方程解应用题 这些 内容又为本节内容的学习提供了建模能力的基石 而作为建立二次函数模型去 解决实际问题 带有很强的综合性 灵活性 对学生的要求颇高 教学目标教学目标 1 知识与技能 通过探究实际问题与二次函数的关系 让学生掌握利用顶点 坐标解决最大值 或最小值 问题的方法 2 过程与方法 1 通过研究生活中的实际问题 让学生经历数学建模的基本 过程 体会建立数学建模的思想 2 通过学习和探究 矩形面积 销售利润 问题 渗透转化及分类的数学思想方法 3 情感 态度与价值观 体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型 感 受数学应用的价值 提高学生应用数学的意识 教学重点教学重点 探究利用二次函数的最大值 或最小值 解决实际问题的方法 教学难点教学难点 如何利用实际问题转化为二次函数的问题 并利用函数的性质 进行决策 教学方法教学方法 引导探究 讨论交流 教学手段教学手段 利用多媒体辅助教学 教学过程设计教学过程设计 2 一 教学流程设计 3 分析问题 解决问题 归纳 总结 设计意图 通过层层设问 引导学生 不断思考 积极探索 让学生感受到 数学的应用价值 设计意图 通过运用函数模型让学生 体会数学的实际价值 学会用函数的观 点认识问题 设计意图 通过矩形面积的探究 先 提出几个简单的问题 激发学习欲望 运用新知 拓展训练 设计意图 通过一道较复杂的市场营 销问题 培养学生分类讨论的思想方 法 创设情境 提出问题 练习强化 巩固提高 设计意图 1 巩固最优化问题的解题思想与方法 2 让学生见识本节内容在中考中的地位 以及中考是如何考查的 反思小结 观点提练 设计意图 1 强化数学建模理论 形成知识组块 2 培养学生全面分析问题的良好习惯 并 培养学生语言归纳能力 课后作业 与思考 设计意图 1 进一步巩固本节内容 2 引起学生学习下节内容的兴趣 4 二 教学过程设计 教学 环节教 学 内 容 教师 活动 学生 活动 设计 意图 一 创设 情境 提出 问题 预计 时间 3 分钟 活动 1 现有 60 米的篱笆要围成一个矩形场 地 1 若矩形的一边长为 10 米 它的面积 是多少 2 若矩形的一边长分别为 15 米 20 米 30 米时 它的面积分别是多少 3 从上面两个问同学们发现了什么 答案 1 200 2 225 200 0 此时的矩形不存在 3 面积随边长 的变化而变化 边长从 10m 到 30m 对应 矩形的面积先变大再变小 最后靠近 0 另外 矩形的边长的取值范围是 0 30 去掉 0 30 两个端点 教师通 过层层 设问 引 导学生 不断思 考 学生独 立回答 学生发 现两变 量并发 现矩形 的长的 取值范 围 通过矩 形面积 的探究 先提出 几个简 单的问 题 激 发学习 欲望 二 分析 问题 解决 问题 预计 时间 6 分钟 活动 2 你能找到篱笆围成的矩形的最大面积 吗 你是怎么找到的 答案 能 是 225 设一边长为 m 则另一边长为m l l 2 60 对应矩形的面积为 S 根据题意得 30 llS 即 图象如下 300 30 2 lllS 发现这个函数的 图象是一条抛物线 的一部分 这条抛 物线的顶点是函数 的最高点 即当l 取顶点的横坐标时 函数有最大值 即当时 15 1 2 30 2 a b l 取得最大值S225 1 4 30 4 4 22 a bac 教师将 学生分 为五组 引导 学生分 析与矩 形有关 的量 教师深 入小组 参与讨 论 学生小 组讨论 教师深 入小组 参与讨 论 通过运 用函数 模型让 学生体 会数学 的实际 价值 学 会用函 数的观 点认识 问题 让 学生在 合作学 习中共 同解决 问题 培 养学生 的合作 精神 S 225 200 100 302502015105 l 5 三 归纳 总结 预计 时间 2 分钟 活动 3 讨论 由矩形面积问题你有什么收获 讨论结果 1 一般地 抛物线 的顶点就是抛物线的最低cbxaxy 2 高 点 当时 二次函数 a b x 2 有最小 大 值 cbxaxy 2 a bac 4 4 2 2 二次函数是现实生活中的模型 可 以用来解决问题 3 利用函数的观点 来认识问题 解决问题 教师引 导学生 归纳 关 注 1 学生是 否能从 面积问 题中体 会到函 数模型 的的价 值 2 学生能 否用函 数的观 点认识 问题 解 决问题 学生从 上两活 动中归 纳 通过层 层设问 引导学 生不断 思考 积极探 索 让 学生感 受到数 学的应 用价值 四 运用 新知 拓展 训练 预计 时间 15 分钟 活动 4 问题 1 我班某同学的父母开了一个 小服装店 出售一种进价为 40 元的服装 现每件 60 元 每星期可卖出 300 件 该同学对市场作了如下调查 如果调整价格 每降 1 元 每星期可 多卖出 20 件 请问同学们 该如何定价 才能使一星期的利润最大 师生讨论得到 设每件降价元 每星期售出的商品的利x 润 随的变化 yx xxy23004060 600010020 2 xx 0 X 20 问题 2 能否说最大利润为 6125 元 答案 能 当 2 5 时 取得最大值xy 为 6125 问题 3 该同学又进行了如下调查 如调整价格 每涨价 1 元 每星期要少 教师展 示问题 某同学 的父母 该如何 定价 引导学 生思考 理解 学生分 组讨论 解决 本问题 中的变 量是什 么 如 何表示 赚的钱 呢 通过一 道较复 杂的市 场营销 问题 培养学 生分类 讨论的 思想方 法 6 卖出 10 件 则此时该如何定价 才能使一 星期获得的利润最大 设每件涨价 X 元 每星期售出的利润 Y 随 之的变化 10300 4060 xxy 600010010 2 xx 0 X 30 当 X 5 时 Y 取得最大值为 6250 由上述讨论可知 每件为 65 元时 每星 期的利润最大 最大为 6250 元 教师引 导学生 从另一 个角度 提出问 题 即得 问题 3 活动中 教师重 点关注 1 学生 在利用 函数模 型时是 否注意 分类 2 在每 一种情 况下 是 否注意 自变量 的取值 范围 3 是否 对两种 情况的 最大值 进行比 较 4 对问题 的讨论 是否完 整 学生分 小组练 习 学生 代表讲 解各自 的答案 通过本 问题的 设计 让 学生体 会函数 模型在 同一个 问题中 的不同 情况下 可以是 不同的 培养学 生考虑 问题的 完整性 五 练习 活动 5 1 出售某种文具盒 若每个获利元 x 教师呈 现问题 学生动 手解决 通过强 化 意图 7 强化 巩固 提高 预计 时间 14 分钟 一天可售出个 则当 元 x 6 x 时 一天出售该种文具盒的总利润最 大 2 从地面垂直向上抛出一小球 小球的 高度 米 与小球运动时间 秒 ht 的函数关系式是 那么 2 9 48 9tth 小球在运动中的最大高度是 米 3 2012 包头 将一条长为 20 的铁丝 剪成两段 并以每一段铁丝的长度为 周长各做成一个正方形 则这两个正 方形面积之和的最小值是 4 2009 哈尔滨 张大爷要围成一个矩形 花圃 花圃的一边利用足够长的墙 另 三边用总长为 32 米的篱笆恰好围成 围成的花圃是如图所示的矩形 ABCD 设 AB 边的长为米 矩形 ABCD 的面x 积为 S 平方米 1 求 S 与之间的函数关系式 不要求x 写出自变量的取值范围 x 2 当为何值时 S 有最大值 并求出其x 最大值 问 题之一是 巩固最 优化问 题的解 题思想 与方法 意图之 二是让 学生见 识本节 内容在 中考中 的地位 以及中 考是如 何考查 的 六 1 知识在线 一般地 抛物线教师讲学生内1 小结 B D C 花圃 A 8 反思 小结 观点 提练 预计 时间 3 分钟 的顶点就是抛物线的最低cbxaxy 2 高 点 当时 二次函数 a b x 2 有最小 大 值 cbxaxy 2 a bac 4 4 2 当自变量的范围不包含顶点的横坐标时 要根据抛物线的增减规律来确定 2 方法提炼 1 函数的观点 利用函数的观点来认识 问题 解决问题 2 建模思想 二次函数是现实生活中的 模型 可以用来解决实际问题 基本思路 如下循环框 解点化化数学 建模理 论 意在强 化数学 建模理 论 形成 知识组 块 2 培养学 生全面 分析问 题的良 好习惯 并培养 学生语 言归纳 能力 七 课后 作业 与思 考 预计 时间 2 分钟 1 课后作业 习题 26 3 的第 1 2 6 题 2 思考 本节课学习了利用二次函数的什 么来解决生活中的实际问题 而利用二次 函数的其他性质和图象又如何解决生活 中的另一些问题 教师呈 现问题 学生接 受新的 问题 1 为了 能使学 生进一 步巩固 本节内 容 布 置了课 后作业 2 为了 引起学 生学习 下节内 容的兴 趣 提出 了课后 思考 三 板书设计 目标 实际问题 的答案 利用二次函数的 顶点坐标求最值 实际问题 二次函数 0 2 acbxaxy 9 课题 26 3 实际问题与二次函数 一 活动 1 活动 2 活动 4 问题 1 我班某同学的父母开了一个小服装店 出售一种进价为 40 元的服装 现每件 6