上海市复兴中学、建平中学、上师大附中等六校2011届高三数学联考 理 新人教版

1 0123 P0 1ab0 1 六校联考数学学科试题 理科 六校联考数学学科试题 理科 满分 150 分 时间 14 00 16 00 一 填空题 本题共 14 小题 每小题 4 分 共 56 分 1 函数 的定义域为 xxflg1 2 2 过 以为法向量的点法向式直线方程为 1 2 P 3 4 n 3 若复数z满足 1 12 z i ii 则z等于 4 设集合 若 则的取值范围 0 12 axxBxxA BA a 为 5 若函数 0 sin2 2 xxf的最小正周期与函数的最小正周期相 2 tan x xg 等 则正实数的值为 6 现有 2010 年上海世博会各展览馆卡片 5 张 卡片正面分别是中国馆 台湾馆 沙特馆 日 本馆 韩国馆 每张卡片大小 质地和背面图案均相同 将卡片正面朝下反扣在桌子上 从中一次性随机抽出两张 则抽到台湾馆的概率是 7 设 3 2 4 4 3 3 2 210 4 xaxaxaxaax 则的值为 2 31 2 420 aaaaa 8 已知 且 则的最小值为 0y x0y 9 y xxy x 9 已知 与的夹角为 则 在上的投影为 a b 2a b 3 a b a 10 在锐角 ABC 中 角 B 所对的边长 ABC 的面积为 外接圆半径 01b 0131R 则 ABC 的周长为 11 一离散型随机变量 的概率分布律为 且其数学期望 E 1 5 则a b 12 如右图所示 已知0为矩形ABCD的边CD上一点 以直线CD为旋转轴 旋转这个矩形所得的几何体 CB O 2 体积为 其中以OA为母线的圆锥体积为 1 4 1 则以OB为母线的圆锥体积为 13 在正整数数列中 由 1 开始依次按如下规则将某些数染成红色 先染 1 再染两个偶数 2 4 再染 4 后面最邻近的三个连续奇数 5 7 9 再染 9 后面最邻近的四个连续偶数 10 12 14 16 再染此后最邻近的五个连续奇数 17 19 21 23 25 按此规则一直 染下去 得到一红色子数列 1 2 4 5 7 9 10 12 14 16 17 则在这个红色子数列中 由 1 开始的第 2011 个数是 14 我们把形如的函数因其图像类似于汉字 囧 字 故生动 0 0 ba ax b y 地称为 囧函数 并把其与轴的交点关于原点的对称点称为 囧点 以 囧点 为y 圆心凡是与 囧函数 有公共点的圆 皆称之为 囧圆 则当 时 所有1 a1 b 的 囧圆 中 面积的最小值为 二 选择题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 15 是 的 Zkk 2 sinsin A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 16 某流程图如右图所示 现输入如下四个函数 则可以输出的函数是 A B 2 xxf x x xf C D xx xx ee ee xf xxf 17 已知函数的图象的一部分如下方左图 则下方右图的函数图象所对 xxf sin 应的函数解析式为 A B 2 1 2 xfy 12 xfy 否 存在零点 xf 输出函数 f x 结束 是 开始 输入函数 f x 0 f xfx 是 否 AD 0 5 1 1 y x 0 1 1 1 1 y x 0 1 1 3 C D 1 2 x fy 2 1 2 x fy 18 数列满足 记 n a1 1 a14 1 2 1 n n a a Nn 22 2 2 1nn aaaS 若对恒成立 则正整数的最小值为 30 12 m SS nn Nnm A 10 B 9 C 8 D 7 三 解答题 本大题满分 74 分 本大题共有 5 题 解答下列各题必须在答题纸 相应编号的规定区域内写出必要的步骤 19 本题满分 12 分 本题共有 2 个小题 第一个小题满分 6 分 第 2 个小题满分 6 分 如右图 直三棱柱 ABC A1B1C1中 CA CB 2 BCA 90 AA1 4 E 是 A1B1的中点 求 CE 与平面 ACB 所成的角 求异面直线 BA1与 CB1所成的角 20 本题满分 12 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 5 分 第 2 小题满分 7 分 设 2 cos 22 cos 2 sin 22 sin 2 22 xxxx xf 若 求的最小值 2 0 x xf 设 若有两个零点 xg 8 7 4 2 4 2 xmxf xg 求实数的取值范围 m 21 本题满分 14 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 4 分 第 3 小 题满分 6 分 在平面直角坐标系中 直线 L 恒过一定点 且与以原点为R m4m 3 mx y 圆心的圆 C 恒有公共点 求出直线 L 恒过的定点坐标 当圆 C 的面积最小时 求圆 C 的方程 已知定点 直线 L 与 中的圆 C 交于 M N 两点 试问Q 3 4 是否存在最大值 若存在则求出该最大值 并求出此时直线 L 的MQNQNQM tan 方程 若不存在请说明理由 22 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小 题满分 8 分 已知点满足 且 nnn baP 2 111 1 n n nnnn a b bbaa 3 2 3 1 0 NnP A E C C1 A1 B B1 4 求点坐标 并写出过点的直线 L 的方程 1 P 10 P P 猜测点与直线 L 的位置关系 并加以证明 2 nPn 求数列的通项公式 并求的最小值 nn ba 与 1 nn OPOP 其中为坐标原点 O Nn 23 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小 题满分 8 分 已知函数 Rxexfexf axax 1 2 12 1 若 求 在 2 3 上的最小值 2 a xf 1 xf 2 xf x 若对于任意的实数恒成立 求的取值范围 21 xfxf 12 xfxf Rx a 当时 求函数在 1 6 上的61 a xg 2 2 2121 xfxfxfxf x 最小值 高三数学六校联考参考答案 理科 高三数学六校联考参考答案 理科 一 填空题一 填空题 4 分 14 56 分 5 1 0 10 2 3 1 i 4 0 2 4 1 3 yx1 a 5 6 7 1 8 16 2 12 5 9 3 10 11 0 12 31010 12 1 13 3959 14 3 二 选择题二 选择题 5 分 4 20 分 15 A 16 C 17 B 18 A 三 解答题三 解答题 12 分 12 分 14 分 18 分 18 分 74 分 19 解 1 过点 E 作 EH 垂直于 AB 于 H 连接 CH 则 ECH 就是所求的CE 与平面 ACB 所成的角 2 EH 4 CH 2 ECH arctan 5 22 即 CE 与平面 ACB 所成的角为arctan 6 22 2 在直三棱柱的下方补上一个全等的直三棱柱 CB1 C2B A1BC2或其补角就是异面直线 BA1与 CB1所成的角 8 BA1 C2B A1C2 6252172 在 A1BC2中 由余弦定理可得 A1BC2 arccos 11 10 30 异面直线 BA1与 CB1所成的角为arccos 12 10 30 20 解 3 4 sin 2cossin xxxxf 5 4 3 44 xx2 4 min f 设 g 7 x 8 7 4 22sin2 xmx 函数 g 有两个零点x 方程时有两个解 9 8 7 4 022sin2 xmx当 y 与 y 图象有两个交点m2 8 7 4 2sin2 xx 由图象得 12 122 m 2 1 2 2 m C1 C2 C A E B A1 B1 A2 B2 6 21 解 直线 L y mx 3 4m 可化简为 y m x 4 3 2 所以直线恒过定点 T 4 3 4 由题意 要使圆 C 的面积最小 定点 T 4 3 在圆上 所以圆 C 的方程为 8 25 22 yx MQNQNQM tan MQNMQNQNQM tancos MQNQNQM sin 10 MQN S 2 由题意得直线 L 与圆 C 的一个交点为 M 4 3 又知定点 Q 4 3 直线 LMQ y 3 MQ 8 则当 N 0 5 时 SMQN有最大值 32 即有最大值为 64 13 MQNQNQM tan 此时直线 L 的方程为 2x y 5 0 14 22 解 由得 得坐标为 2 3 2 3 1 00 ba 4 3 4 1 11 ba 1 P 4 3 4 1 显然直线 L 的方程为 x y 1 4 由得 点 4 3 4 1 11 ba 5 4 5 1 22 baLP 2 猜想点在直线 L 上 6 2 NnnPn 以下用数学归纳法证明 当 n 2 时 点LP 2 当 n k k2 时 点 即 1 LPk k a k b 则当 n k 1 时 1 k a 1 k b k a 1 k b 1 k b1 11 1 2 k k k k k a b a b a 点 点 10 LPk 1 2 nLPn 由 1 n a n a 1 n b 1 n b 2 1 n n a b 1 nn ba 得 1 n a 0 11 1 1 22 n n n n n n n n n a a a a a a a b a 7 1 xF 2 xF 2 xF 2 xF 2a 12a 2 a01 1 12 1 11 1 nn aa 是等差数列 14 n a 1 3 2 3 1 3 11 0 n n b n ann aa nn n 16 127 52 1 2 111 nn n bbaaOPOP nnnnnn 令 2n 5 t 则 n 上式可化简化 2 5 t 4 3 4 1 34 4 1 2 t t tt t 由单调性可得当 t 7 n 1 时 上式有最小值为 20 13 所以 n N 的最小值为 18 127 52 1 2 nn n 20 13 23 解 对于 2 x 2 3 f x e x 3 e x 2 1 e3 x ex 1 2 a 2 2e 13 xx ee 当且仅当 e3 x ex 1 即 x 2 时等号成立 f x min 2e 4 对于任意的实数 x 恒成立 即 对于任意的实 21 xfxf 12 xfxf 1 xf 2 xf 数 x 恒成立 亦即 e x 2a 1 e x a 1对于任意的实数 x 恒成立 x 2 1 x 1 即aa x 2 1 x 1 对于任意的实数 x 恒成立 7 aa 又 x 2 1 x x 2 1 x 1 对于任意的实数 x 恒成立 故只需aaaaa 1 1 解得 0 2 的取值范围为 0 2 10 aaaa g x 11 2 2 2121 xfxfxfxf 212 211 xfxfxf xfxfxf 的底数都同为 e 外函数都单调递增 21 xfxf与 比较的大小关系 只须比较 x 2 1 与 x 1 的大小关系 21 xfxf与aa 令 x 2 1 x 1 1 xFa 2 xFa G x 其中 1 6 12 212 211 xFxFxF xFxFxF 61 a x 2 1 61 aaa 令 2 1 x