安徽省安庆市第九中学高中数学《1.1 正弦定理》教案（2） 新人教A版必修5

用心 爱心 专心1 1 11 1 正弦定理正弦定理 授课类型 新授课 一 教学目标 1 知识与技能 通过对任意三角形边长和角度关系的探索 掌握正弦定理的内容及其证明方法 会运 用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 2 过程与方法 让学生从已有的几何知识出发 共同探究在任意三角形中 边与其对角的关系 引导学 生通过观察 推导 比较 由特殊到一般归纳出正弦定理 并进行定理基本应用的实践操 作 3 情感态度与价值观 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 培养学生合情推理探索数 学规律的数学思思想能力 通过三角形函数 正弦定理 向量的数量积等知识间的联系来 体现事物之间的普遍联系与辩证统一 二 教学重点 难点 1 重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用 2 难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数 三 教学过程 一 课题导入 如图 固定ABC 的边 CB 及B 使边 AC 绕着顶点 C 转动 A 思考 C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系 显然 边 AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而增大 能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来 二 新知探究 在初中 我们已学过如何解直角三角形 下面就首先来探讨直角三角形中 角与边的 等式关系 如右图 在 RtABC 中 设 BC a AC b AB c 根据锐角三角函数中正弦函数的 定义 有 又 si n a A c si n b B c si n1 c C c 则 b A c si nsi nsi n abc c ABC 从而在直角三角形 ABC 中 C a B si nsi nsi n abc ABC 思考 那么对于任意的三角形 以上关系式是否仍然成立 由学生讨论 分析 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况 如图 1 1 3 当ABC 是锐角三角形时 设边 AB 上的高是 CD 根据任意角三角函数 的定义 有 CD 则 Csi nsi naBbA si nsi n ab AB 同理可得 b a si nsi n cb CB 从而 A c B si nsi n ab AB si n c C 思考 是否可以用其它方法证明这一等式 由于涉及边长问题 从而可以考虑用向量来研 究这个问题 BC 用心 爱心 专心2 证法二 过点 A 作 CjAC 由向量的加法可得 ABACC B 则 A B jABjACC B jABjACjC B j 00 cos 900cos 90 j ABAj CBC 即sinsin cA aC sinsin ac AC 同理 过点 C 作 可得 jBC sinsin bc BC 从而 si nsi n ab AB si n c C 类似可推出 当ABC 是钝角三角形时 以上关系式仍然成立 由学生课后自己推导 从上面的研探过程 可得以下定理 正弦定理 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 si nsi n ab AB si n c C 注意 1 正弦定理说明同一三角形中 边与其对角的正弦成正比 且比例系数为同一正数 即存在正数 k 使 si nakA si nbkB si nckC 2 等价于 si nsi n ab AB si n c C si nsi n ab AB si nsi n cb CB si n a A si n c C 从而知正弦定理的基本作用为 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边 如 si n si n bA a B 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值 如 si nsi n a AB b 一般地 已知三角形的某些边和角 求其他的边和角的过程叫作解三角形解三角形 三 例题讲解 例 1 在中 已知 cm 解三角形 ABC 0 32 0 A 0 81 8 B42 9 a 解 根据三角形内角和定理 0 180 CA B 000 180 32 081 8 0 66 2 根据正弦定理 用心 爱心 专心3 0 0 sin42 9sin81 8 80 1 sin sin32 0 aB bcm A 根据正弦定理 0 0 sin42 9sin66 2 74 1 sin sin32 0 aC ccm A 评述 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 例 2 在中 已知cm cm 解三角形 角度精确到 边 ABC20 a28 b 0 40 A 0 1 长精确到 1cm 解 根据正弦定理 0 sin28sin40 sin0 8999 20 bA B a 因为 所以 或 0 0B 0 180 0 64 B 0 116 B 当时 0 64 B 00000 180 180 4064 76 CA B 0 0 sin20sin76 30 sin sin40 aC ccm A 当时 0 116 B 00000 180 180 40116 24 CA B 0 0 sin20sin24 13 sin sin40 aC ccm A 评述 应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时 可能有两解的情形 四 课堂练习 第 5 页练习第 1 1 2 1 题 补充练习 已知ABC 中 求 答案 1 2 3 si n si n si n1 2 3ABC a b c 五 课堂小结 由学生归纳总结 1 定理的表示形式 si nsi n ab AB