江苏石榴高级中学2010年高三物理第一轮复习 第六章 机械能教案 人教版

专心 爱心 用心1 第五章第五章 机械能机械能 知识网络 知识网络 单元切块 单元切块 按照考纲的要求 本章内容可以分成四个单元 即 功和功率 动能 势能 动能 定理 机械能守恒定律及其应用 功能关系 动量能量综合 其中重点是对动能定理 机械能守恒定律的理解 能够熟练运用动能定理 机械能守恒定律分析解决力学问题 难点是动量能量综合应用问题 1 1 功和功率功和功率 教学目标 教学目标 理解功和功率的概念 会计算有关功和功率的问题培养学生分析问题的基本方法和 基本技能 教学重点 教学重点 功和功率的概念 教学难点 教学难点 功和功率的计算 教学方法 教学方法 讲练结合 计算机辅助教学 教学过程 教学过程 一 功一 功 1 功 功是力的空间积累效应 它和位移相对应 也和时间相对应 计算功的方法有两种 专心 爱心 用心2 1 按照定义求功 即 W Fscos 在高中阶段 这种方法只适用于恒力做功 当时F做正功 当时F不做功 当时F做负功 2 0 2 2 这种方法也可以说成是 功等于恒力和沿该恒力方向上的位移的乘积 2 用动能定理W Ek或功能关系求功 当F为变力时 高中阶段往往考虑用这 种方法求功 这里求得的功是该过程中外力对物体做的总功 或者说是合外力 做的功 这种方法的依据是 做功的过程就是能量转化的过程 功是能的转化的量度 如 果知道某一过程中能量转化的数值 那么也就知道了该过程中对应的功的数值 例 1 如图所示 质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置 在下 列三种情况下 分别用水平拉力F将小球拉到细线与竖直方向成 角的位置 在此过程 中 拉力F做的功各是多少 用F缓慢地拉 F为恒力 若F为恒力 而且拉到该位置时小球的速度刚好为零 可供选择的答案有 A B C D cosFL sinFL cos1 FL cos1 mgL 解析 若用F缓慢地拉 则显然F为变力 只能用动能定理求解 F做的功等于该过程 克服重力做的功 选 D 若F为恒力 则可以直接按定义求功 选 B 若F为恒力 而且拉到该位置时小球的速度刚好为零 那么按定义直接求功和按 动能定理求功都是正确的 选 B D 在第三种情况下 由 可以得到 可 sinFL cos1 mgL 2 tan sin cos1 mg F 见在摆角为时小球的速度最大 实际上 因为F与mg的合力也是恒力 而绳的拉力 2 始终不做功 所以其效果相当于一个摆 我们可以把这样的装置叫做 歪摆 例 2 如图所示 线拴小球在光滑水平面上做匀速圆周运动 圆的半径是 1m 球 的质量是 0 1kg 线速度v 1m s 小球由A点运动到B点恰好是半个圆周 那么在这段 运动中线的拉力做的功是 m 专心 爱心 用心3 A 0 B 0 1J C 0 314J D 无法确定 解析 小球做匀速圆周运动 线的拉力为小球做圆周运动的向心力 由于它总是与 运动方向垂直 所以 这个力不做功 故 A 是正确的 例 3 下面列举的哪几种情况下所做的功是零 A 卫星做匀速圆周运动 地球引力对卫星做的功 B 平抛运动中 重力对物体做的功 C 举重运动员 扛着杠铃在头上的上方停留 10s 运动员对杠铃做的功 D 木块在粗糙水平面上滑动 支持力对木块做的功 解析 引力作为卫星做圆周运动的向心力 向心力与卫星运动速度方向垂直 所以 这个力不做功 杠铃在此时间内位移为零 支持力与位移方向垂直 所以 支持力不做 功 故 A C D 是正确的 例 4 用力将重物竖直提起 先是从静止开始匀加速上升 紧接着匀速上升 如 果前后两过程的运动时间相同 不计空气阻力 则 A 加速过程中拉力做的功比匀速过程中拉力做的功大 B 匀速过程中拉力做的功比加速过程中拉力做的功大 C 两过程中拉力做的功一样大 D 上述三种情况都有可能 解析 应先分别求出两过程中拉力做的功 再进行比较 重物在竖直方向上仅受两 个力作用 重力mg 拉力F 匀加速提升重物时 设拉力为F1 物体向上的加速度为a 根据牛顿第二定律 得F1 mg ma 拉力F1所做的功 2 111 2 1 atagmsFW 2 2 1 atagm 匀速提升重物时 设拉力为F2 根据平衡条件得F2 mg 匀速运动的位移 2 2 attatvts 专心 爱心 用心4 所以匀速提升重物时拉力的功 2 222 mgatsFW 比较 式知 当 a g 时 当 a g 时 当 a g 时 21 WW 21 WW 21 WW 故 D 选项正确 点评 点评 可见 力对物体所做的功的多少 只决定于力 位移 力和位移间夹角的大 小 而跟物体的运动状态无关 在一定的条件下 物体做匀加速运动时力对物体所做的 功 可以大于 等于或小于物体做匀速直线运动时该力的功 2 功的物理含义 关于功我们不仅要从定义式W Fs cos 进行理解和计算 还应理解它的物理含 义 功是能量转化的量度 即 做功的过程是能量的一个转化过程 这个过程做了多少 功 就有多少能量发生了转化 对物体做正功 物体的能量增加 做了多少正功 物体 的能量就增加了多少 对物体做负功 也称物体克服阻力做功 物体的能量减少 做了 多少负功 物体的能量就减少多少 因此功的正 负表示能的转化情况 表示物体是输 入了能量还是输出了能量 例 5 质量为 m 的物体 受水平力 F 的作用 在粗糙的水平面上运动 下列说法 中正确的是 A 如果物体做加速直线运动 F 一定做正功 B 如果物体做减速直线运动 F 一定做负功 C 如果物体做减速直线运动 F 可能做正功 D 如果物体做匀速直线运动 F 一定做正功 解析 物体在粗糙水平面上运动 它必将受到滑动摩擦力 其方向和物体相对水平 面的运动方向相反 当物体做加速运动时 其力 F 方向必与物体运动方向夹锐角 含方 向相同 这样才能使加速度方向与物体运动的方向相同 此时 力 F 与物体位移的方向 夹锐角 所以 力 F 对物体做正功 A 对 当物体做减速运动时 力 F 的方向可以与物体的运动方向夹锐角也可以夹钝角 含 方向相反 只要物体所受合力与物体运动方向相反即可 可见 物体做减速运动时 力 F 可能对物体做正功 也可能对物体做负功 B 错 C 对 当物体做匀速运动时 力 F 的方向必与滑动摩擦力的方向相反 即与物体位移方向 相同 所以 力 F 做正功 D 对 故 A C D 是正确的 专心 爱心 用心5 例 6 如图所示 均匀长直木板长L 40cm 放在水平桌面上 它的右端与桌边相 齐 木板质量m 2kg 与桌面间的摩擦因数 0 2 今用水平推力F将其推下桌子 则 水平推力至少做功为 g 取 10 s2 A 0 8J B 1 6J C 8J D 4J 解析 将木板推下桌子即木块的重心要通过桌子边缘 水平推力做的功至少等于克 服滑动摩擦力做的功 J 故 A 是正确的 8 0 2 4 0 202 0 2 L mgFsW 3 一对作用力和反作用力做功的特点 1 一对作用力和反作用力在同一段时间内 可以都做正功 或者都做负功 或者 一个做正功 一个做负功 或者都不做功 2 一对作用力和反作用力在同一段时间内做的总功可能为正 可能为负 也可能 为零 3 一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零 静摩擦力 可能为负 滑 动摩擦力 但不可能为正 点评 点评 一对作用力和反作用力在同一段时间内的冲量一定大小相等 方向相反 矢 量和为零 例 7 关于力对物体做功 以下说法正确的是 A 一对作用力和反作用力在相同时间内做的功一定大小相等 正负相反 B 不论怎样的力对物体做功 都可以用W Fscos C 合外力对物体不作功 物体必定做匀速直线运动 D 滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做正功或负功 解析 一对作用力和反作用力一定大小相等 方向相反 而相互作用的两物体所发 生的位移不一定相等 它们所做的功不一定大小相等 所以 它们所做的功不一定大小 相等 正负相反 公式W Fscos 只适用于恒力功的计算 合外力不做功 物体可以 处于静止 滑动摩擦力 静摩擦力都可以做正功或负功 如 在一加速行驶的卡车上的 箱子 若箱子在车上打滑 有相对运动 箱子受滑动摩擦力 此力对箱子做正功 若箱 子不打滑 无相对运动 箱子受静摩擦力 对箱子也做正功 故 D 是正确的 二 功率二 功率 功率是描述做功快慢的物理量 专心 爱心 用心6 1 功率的定义式 所求出的功率是时间t内的平均功率 t W P 2 功率的计算式 P Fvcos 其中 是力与速度间的夹角 该公式有两种用法 求某一时刻的瞬时功率 这时F是该时刻的作用力大小 v取瞬时值 对应 的P为F在该时刻的瞬时功率 当v为某段位移 时间 内的平均速度时 则要求这段位移 时间 内F必 须为恒力 对应的P为F在该段时间内的平均功率 重力的功率可表示为PG mgvy 即重力的瞬时功率等于重力和物体在该时刻的竖直 分速度之积 汽车的两种加速问题 当汽车从静止开始沿水平面加速 运动时 有两种不同的加速过程 但分析时采用的基本公式都 是P Fv和F f ma 恒定功率的加速 由公式P Fv和F f ma知 由于P恒定 随着v的增大 F必 将减小 a也必将减小 汽车做加速度不断减小的加速运动 直到F f a 0 这时v达 到最大值 可见恒定功率的加速一定不是匀加速 这种加速过程发动机做 f P F P v mm m 的功只能用W Pt计算 不能用W Fs计算 因为F为变力 恒定牵引力的加速 由公式P Fv和F f ma知 由于F恒定 所以a恒定 汽车 做匀加速运动 而随着v的增大 P也将不断增大 直到P达到额定功率Pm 功率不能 再增大了 这时匀加速运动结束 其最大速度为 此后汽车要想继 m mm m v f P F P v 续加速就只能做恒定功率的变加速运动了 可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定 这种加速过程发动机做的功只能用W F s计算 不能用W P t计算 因为P为变功率 要注意两种加速运动过程的最大速度的区别 例 8 质量为 2t 的农用汽车 发动机额定功率为 30kW 汽车在水平路面行驶时 能达到的最大时速为 54km h 若汽车以额定功率从静止开始加速 当其速度达到 v 36km h 时的瞬时加速度是多大 解析 汽车在水平路面行驶达到最大速度时牵引力F等于阻力f 即Pm f vm 而速 度为v时的牵引力F Pm v 再利用F f ma 可以求得这时的a 0 50m s2 例 9 卡车在平直公路上从静止开始加速行驶 经时间t前进距离s 速度达到最 大值vm 设此过程中发动机功率恒为P 卡车所受阻力为f 则这段时间内 发动机所 做的功为 A Pt B fs C Pt fs D fvmt 解析 发动机所做的功是指牵引力的功 由于卡车以恒定功率运动 所以发动机所 做的功应等于发动机的功率乘以卡车行驶的时间 A 对 B 项给出的是卡车克服阻力做 v a f 专心 爱心 用心7 的功 在这段时间内 牵引力的功除了克服阻力做功外还要增加卡车的功能 B 错 C 项给出的是卡车所受外力的总功 D 项中 卡车以恒功率前进 将做加速度逐渐减小的 加速运动 达到最大速度时牵引力等于阻力 阻力 f 乘以最大速度 m v 是发动机的功率 再乘以 t 恰是发动机在 t 时间内做的功 故 A D 是正确的 例 10 质量为m 额定功率为P的汽车在平直公路上行驶 若汽车行驶时所受阻 力大小不变 并以额定功率行驶 汽车最大速度为v1 当汽车以速率v2 v2t2 21 PP 5 C 由速度一时间图像可得加速度a 0 5m s2 由牛顿第二定律 2F mg ma N 5 10 2 mamg F P Fv 10 5 2 2 42W W t Fs t W p21 4 42 5 10 故选项 C 正确 6 C 飞机匀速飞行时 发动机牵引力等于飞机所受阻力 当飞机飞行速度为原来的 2 倍时 阻力为原来的 4 倍 发动机产生的牵引力亦为原来的 4 倍 由 P Fv 此时发 动机的功率为原来的 8 倍 7 解 设物体质量为m 受恒力F1时 F1 ma1 则a1 F1 m 经 t 时间的位移 mtFtas 2 1 2 1 2 1 2 1 此时速度 之后受恒力向左 与v方向相反 则物体做匀减速mtFtav 11 2 F 直线运动 F2 ma2 加速度a2 F2 m 经t时间又回到原出发点 此过程位移为s 方 专心 爱心 用心11 向向左 则力2 F 做正功 因位移与v的方向相反 则有 2 2 2 1 tavts 即 t m tF t m F vttas 1222 2 2 1 2 1 与 式联立可得 12 3FF 则力F2做的功 12 3WW 所以 3 1 2 1 W W 8 解 在功的定义式W Fscos 中 s是指力F的作用点的位移 当物块从A点运 动到B点时 连接物块的绳子在定滑轮左侧的长度变小 由于绳不 sinsin HH s 能伸缩 故力F的作用点的位移大小等于s 而这里物块移动的位移大小为 Hcot Hcot 可见本题力F作用点的位移大小不等于物块移动的位移大小 根据功的定义式 有J100 sinsin HH FFsW 教学后记教学后记 内容简单 学生掌握较好 功的计算方法很多 关键是引导学生掌握不同的工的计 算方法 还有汽车启动的两种模型 动能动能 势能势能 动能定理动能定理 教学目标 教学目标 理解功和能的概念 掌握动能定理 会熟练地运用动能定理解答有关问题 教学重点 教学重点 动能定理 教学难点 教学难点 动能定理的应用 教学方法 教学方法 讲练结合 计算机辅助教学 教学过程 教学过程 一 动能一 动能 专心 爱心 用心12 1 定义 物体由于运动而具有的能 叫动能 其表达式为 2 2 1 mvEk 2 对动能的理解 1 动能是一个状态量 它与物体的运动状态对应 动能是标量 它只有大小 没 有方向 而且物体的动能总是大于等于零 不会出现负值 2 动能是相对的 它与参照物的选取密切相关 如行驶中的汽车上的物品 对汽 车上的乘客 物品动能是零 但对路边的行人 物品的动能就不为零 3 动能与动量的比较 1 动能和动量都是由质量和速度共同决定的物理量 或 2 2 1 mvEk m p 2 2 k mEp2 2 动能和动量都是用于描述物体机械运动的状态量 3 动能是标量 动量是矢量 物体的动能变化 则其动量一定变化 物体的动量 变化 则其动量不一定变化 4 动能决定了物体克服一定的阻力能运动多么远 动量则决定着物体克服一定的 阻力能运动多长时间 动能的变化决定于合外力对物体做多少功 动量的变化 决定于合外力对物体施加的冲量 5 动能是从能量观点出发描述机械运动的 动量是从机械运动本身出发描述机械 运动状态的 二 重力势能二 重力势能 1 定义 物体和地球由相对位置决定的能叫重力势能 是物体和地球共有的 表达 式 与零势能面的选取有关 mghEp 2 对重力势能的理解 1 重力势能是物体和地球这一系统共同所有 单独一个物体谈不上具有势能 即 如果没有地球 物体谈不上有重力势能 平时说物体具有多少重力势能 是一 种习惯上的简称 重力势能是相对的 它随参考点的选择不同而不同 要说明物体具有多少重力 势能 首先要指明参考点 即零点 2 重力势能是标量 它没有方向 但是重力势能有正 负 此处正 负不是表示 方向 而是表示比零点的能量状态高还是低 势能大于零表示比零点的能量状 态高 势能小于零表示比零点的能量状态低 零点的选择不同虽对势能值表述 不同 但对物理过程没有影响 即势能是相对的 势能的变化是绝对的 势能 专心 爱心 用心13 的变化与零点的选择无关 3 重力做功与重力势能 重力做正功 物体高度下降 重力势能降低 重力做负功 物体高度上升 重力势 能升高 可以证明 重力做功与路径无关 由物体所受的重力和物体初 末位置所 在水平面的高度差决定 即 WG mg h 所以重力做的功等于重力势能增量的负值 即WG Ep mgh2 mgh1 三 动能定理三 动能定理 1 动能定理的表述 合外力做的功等于物体动能的变化 这里的合外力指物体受到的所有外力的合力 包括重力 表达式为W EK 动能定理也可以表述为 外力对物体做的总功等于物体动能的变化 实际应用时 后一种表述比较好操作 不必求合力 特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下 只要把各个力在各个阶段所做的功都按照代数和加起来 就可以得到总功 和动量定理一样 动能定理也建立起过程量 功 和状态量 动能 间的联系 这 样 无论求合外力做的功还是求物体动能的变化 就都有了两个可供选择的途径 和动 量定理不同的是 功和动能都是标量 动能定理表达式是一个标量式 不能在某一个方 向上应用动能定理 例 1 一个质量为m的物体静止放在光滑水平面上 在互成 60 角的大小相等的 两个水平恒力作用下 经过一段时间 物体获得的速度为v 在力的方向上获得的速度 分别为v1 v2 那么在这段时间内 其中一个力做的功为 A B C D 2 6 1 mv 2 4 1 mv 2 3 1 mv 2 2 1 mv 错解 在分力F1的方向上 由动动能定理得 故 A 正确 22 2 11 6 1 30cos2 2 1 2 1 mv v mmvW 正解 在合力F的方向上 由动动能定理得 某个分力的功为 2 2 1 mvFsW 故 B 正确 2 11 4 1 2 1 30cos 30cos2 30cosmvFss F sFW 2 2 对外力做功与动能变化关系的理解 对外力做功与动能变化关系的理解 外力对物体做正功 物体的动能增加 这一外力有助于物体的运动 是动力 外力 对物体做负功 物体的动能减少 这一外力是阻碍物体的运动 是阻力 外力对物体做 负功往往又称物体克服阻力做功 功是能量转化的量度 外力对物体做了多少功 就有 多少动能与其它形式的能发生了转化 所以外力对物体所做的功就等于物体动能的变化 量 即 专心 爱心 用心14 3 3 应用动能定理解题的步骤 应用动能定理解题的步骤 1 确定研究对象和研究过程 和动量定理不同 动能定理的研究对象只能是单个 物体 如果是系统 那么系统内的物体间不能有相对运动 原因是 系统内所 有内力的总冲量一定是零 而系统内所有内力做的总功不一定是零 2 对研究对象进行受力分析 研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析 含 重力 3 写出该过程中合外力做的功 或分别写出各个力做的功 注意功的正负 如 果研究过程中物体受力情况有变化 要分别写出该力在各个阶段做的功 4 写出物体的初 末动能 5 按照动能定理列式求解 例 2 如图所示 斜面倾角为 长为L AB段光滑 BC段粗糙 且BC 2 AB 质量为m的木块从斜面顶端无初速下滑 到达C端时速度刚好减小到零 求物体和斜面 BC段间的动摩擦因数 解 以木块为对象 在下滑全过程中用动能定理 重力做的功为mgLsin 摩擦力 做的功为 支持力不做功 初 末动能均 cos 3 2 mgL 为零 mgLsin 0 cos 3 2 mgL tan 2 3 点评 点评 从本例题可以看出 由于用动能定理列方程时不牵扯过程中不同阶段的加速 度 所以比用牛顿定律和运动学方程解题简洁得多 例 3 将小球以初速度v0竖直上抛 在不计空气阻力的理想状况下 小球将上升 到某一最大高度 由于有空气阻力 小球实际上升的最大高度只有该理想高度的 80 设空气阻力大小恒定 求小球落回抛出点时的速度大小v 解 有空气阻力和无空气阻力两种情况下分别在上升过程对小球用动能 定 理 和 可得H v02 2g 2 0 2 1 mvmgH 2 0 2 1 8 0mvHfmg mgf 4 1 再以小球为对象 在有空气阻力的情况下对上升和下落的全过程用动能 定理 全过程重力做的功为零 所以有 解得 22 0 2 1 2 1 8 02mvmvHf 0 5 3v v B v v f f 专心 爱心 用心15 h 点评 点评 从本题可以看出 根据题意灵活地选取研究过程可以使问题变得简单 有时 取全过程简单 有时则取某一阶段简单 原则是尽量使做功的力减少 各个力的功计算 方便 或使初 末动能等于零 例 4 如图所示 质量为m的钢珠从高出地面h处由静止自由下落 落到地面进入沙坑h 10 停止 则 1 钢珠在沙坑中受到的平均阻力是重力的多少倍 2 若让钢珠进入沙坑h 8 则钢珠在h处的动能应为多少 设钢珠 在沙坑中所受平均阻力大小不随深度改变 解析 1 取钢珠为研究对象 对它的整个运动过程 由动能定理得 W WF WG EK 0 取钢珠停止处所在水平面为重力势能的零参考平面 则重力的功WG mgh 阻力的功WF Ff h 代入得mghFf h 0 故有Ff mg 11 即所求 10 11 10 1 10 11 10 1 倍数为 11 2 设钢珠在h处的动能为EK 则对钢珠的整个运动过程 由动能定理得 W WF WG EK 0 进一步展开为 9mgh 8 Ff h 8 EK 得EK mgh 4 点评 点评 对第 2 问 有的学生这样做 h 8 h 10 h 40 在h 40 中阻力所做的功 为 Ff h 40 11mgh 40 因而钢珠在h处的动能EK 11mgh 40 这样做对吗 请思考 例 5 质量为M的木块放在水平台面上 台面比水平地面高出h 0 20m 木块离 台的右端L 1 7m 质量为m 0 10M的子弹以v0 180m s 的速度水平射向木块 并以 v 90m s 的速度水平射出 木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为 s 1 6m 求木块与台面间的动摩擦因数为 解 本题的物理过程可以分为三个阶段 在其中两个阶段中有机械能损失 子弹射 穿木块阶段和木块在台面上滑行阶段 所以本题必须分三个阶段列方程 子弹射穿木块阶段 对系统用动量守恒 设木块末 速度为v1 mv0 mv Mv1 木块在台面上滑行阶段对木块用动能定理 设木块 离开台面时的速度为v2 有 2 2 2 1 2 1 2 1 MvMvMgL 木块离开台面后的平抛阶段 g h vs 2 2 由 可得 0 50 h 10 h 专心 爱心 用心16 点评 点评 从本题应引起注意的是 凡是有机械能损失的过程 都应该分段处理 从本题还应引起注意的是 不要对系统用动能定理 在子弹穿过木块阶段 子弹和 木块间的一对摩擦力做的总功为负功 如果对系统在全过程用动能定理 就会把这个负 功漏掉 四 动能定理的综合应用四 动能定理的综合应用 动能定理可以由牛顿定律推导出来 原则上讲用动能定律能解决物理问题都可以利 用牛顿定律解决 但在处理动力学问题中 若用牛顿第二定律和运动学公式来解 则要 分阶段考虑 且必须分别求每个阶段中的加速度和末速度 计算较繁琐 但是 我们用 动能定理来解就比较简捷 我们通过下面的例子再来体会一下用动能定理解决某些动力 学问题的优越性 1 1 应用动能定理巧求变力的功 应用动能定理巧求变力的功 如果我们所研究的问题中有多个力做功 其中只有一个力是变力 其余的都是恒力 而且这些恒力所做的功比较容易计算 研究对象本身的动能增量也比较容易计算时 用 动能定理就可以求出这个变力所做的功 例 6 如图所示 AB为 1 4 圆弧轨道 半径为R 0 8m BC是水平轨道 长 S 3m BC处的摩擦系数为 1 15 今有质量m 1kg 的物体 自A点从静止起下滑到C 点刚好停止 求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功 解析 解析 物体在从A滑到C的过程中 有重力 AB段的阻力 BC段的摩擦力共三个 力做功 WG mgR fBC mg 由于物体在AB段受的阻力是变力 做的功不能直接求 根 据动能定理可知 W外 0 所以mgR mgS WAB 0 即WAB mgR mgS 1 10 0 8 1 10 3 15 6 J 例 7 一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体 如图所 示 绳的P端拴在车后的挂钩上 Q端拴在物体上 设绳的总长不变 绳的质量 定滑 轮的质量和尺寸 滑轮上的摩擦都忽略不计 开始时 车在A点 左右两侧绳都已绷紧 并且是竖直的 左侧绳长为H 提升时 车加速向左运动 沿水平方向从A经过B驶向 C 设A到B的距离也为H 车过B点时的速度为vB 求在车由A移到B的过程中 绳Q 端的拉力对物体做的功 专心 爱心 用心17 解析 设绳的P端到达B处时 左边绳与水平地面所成夹角为 物体从井底上升 的高度为h 速度为v 所求的功为W 则据动能定理可得 2 2 1 mvmghW 因绳总长不变 所以 H H h sin 根据绳联物体的速度关系得 v vBcos 由几何关系得 4 由以上四式求得 HmgmvW B 12 4 1 2 2 2 应用动能定理简解多过程问题 应用动能定理简解多过程问题 物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程 如加速 减速的过程 此时可以分段考虑 也可以对全过程考虑 但如能对整个过程利用动能定理列式则使问 题简化 例 8 如图所示 斜面足够长 其倾角为 质量为 m 的滑块 距挡板P为 s0 以初速度v0沿斜面上滑 滑块与斜面间的动摩擦因数为 滑块所受摩擦力小于滑 块沿斜面方向的重力分力 若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失 求滑块在斜面上经 过的总路程为多少 解析 滑块在滑动过程中 要克服摩擦力做功 其机械能不断减少 又因为滑块所 受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力 所以最终会停在斜面底端 在整个过程中 受重力 摩擦力和斜面支持力作用 其中支持力不做功 设其经过 和总路程为 L 对全过程 由动能定理得 专心 爱心 用心18 得 2 00 2 1 0cossinmvmgLmgS cos sin 2 02 1 0 mg mvmgS L 3 3 利用动能定理巧求动摩擦因数 利用动能定理巧求动摩擦因数 例 9 如图所示 小滑块从斜面顶点A由静止滑至水平部分C点而停止 已知 斜面高为h 滑块运动的整个水平距离为 s 设转角B处无动能损失 斜面和水平部分与 小滑块的动摩擦因数相同 求此动摩擦因数 解析 滑块从A点滑到C点 只有重力和摩擦力做功 设滑块质量为m 动摩擦因 数为 斜面倾角为 斜面底边长 s1 水平部分长 s2 由动能定理得 0 cos cos 2 1 mgs s mgmgh sss 21 由以上两式得 s h 从计算结果可以看出 只要测出斜面高和水平部分长度 即可计算出动摩擦因数 4 4 利用动能定理巧求机车脱钩问题 利用动能定理巧求机车脱钩问题 例 10 总质量为M的列车 沿水平直线轨道匀速前进 其末节车厢质量为m 中 途脱节 司机发觉时 机车已行驶L的距离 于是立即关闭油门 除去牵引力 设运动 的阻力与质量成正比 机车的牵引力是恒定的 当列车的两部分都停止时 它们的距离 是多少 解析 此题用动能定理求解比用运动学 牛顿第二定律求解简便 对车头 脱钩后的全过程用动能定理得 2 01 2 1 vmMgsmMkFL 对车尾 脱钩后用动能定理得 2 02 2 1 mvkmgs 而 由于原来列车是匀速前进的 所以F kMg 21 sss 专心 爱心 用心19 由以上方程解得 mM ML s 五 针对训练五 针对训练 1 质量为m的物体 在距地面h高处以g 3 的加速度由静止竖直下落到地面 下列 说法中正确的是 A 物体的重力势能减少mgh 3 1 B 物体的动能增加mgh 3 1 C 物体的机械能减少mgh 3 1 D 重力做功mgh 3 1 2 质量为m的小球用长度为L的轻绳系住 在竖直平面内做圆周运动 运动过程中 小球受空气阻力作用 已知小球经过最低点时轻绳受的拉力为 7mg 经过半周小球恰好能 通过最高点 则此过程中小球克服空气阻力做的功为 A mgL 4 B mgL 3 C mgL 2 D mgL 3 如图所示 木板长为l 板的A端放一质量为m的小物块 物块与板间的动摩擦 因数为 开始时板水平 在绕O点缓慢转过一个小角度 的过程中 若物块始终保 持与板相对静止 对于这个过程中各力做功的情况 下列说法正确的是 A 摩擦力对物块所做的功为mglsin 1 cos B 弹力对物块所做的功为mglsin cos C 木板对物块所做的功为mglsin D 合力对物块所做的功为mgl cos 4 如图所示 小球以大小为v0的初速度由A端向右运动 到B端时的速度减小为 vB 若以同样大小的初速度由B端向左运动 到A端时的速度减小为vA 已知小球运动 过程中始终未离开该粗糙轨道 比较vA vB的大小 结论是 A 专心 爱心 用心20 A vA vB B vA vB C vA2 R 已知列车的车轮是卡在导轨上的 光滑槽中只能使列车沿着圆周运动 在轨道的任何地方都不能脱轨 试问 在没有任何 动力的情况下 列车在水平轨道上应具有多大初速度v0 才能使列车通过圆形轨道而运 动到右边的水平轨道上 解析 当游乐车灌满整个圆形轨道时 游乐车的速度最小 设此时速度为v 游乐 车的质量为m 则据机械能守恒定律得 22 0 2 1 2 2 1 mvgR L m Rmv 要游乐车能通过圆形轨道 则必有v 0 所以有 L g Rv 2 0 例 7 质量为 0 02 kg 的小球 用细线拴着吊在沿直线行驶着的汽车顶棚上 在汽车 距车站 15 m 处开始刹车 在刹车过程中 拴球的细线与竖直方向夹角 37 保持不变 如图所示 汽车到车站恰好停住 求 1 开始刹车时汽车的速度 专心 爱心 用心27 2 汽车在到站停住以后 拴小球细线的最大拉力 取g 10 m s2 sin37 0 6 cos37 0 8 解析 1 小球受力分析如图 因为F合 mgtan ma 所以a gtan 10 m s2 7 5 m s2 8 0 6 0 对汽车 由 v02 2as 得v0 m s 15 m s as2155 72 2 小球摆到最低点时 拉力最大 设为T 绳长设为l 根据机械能守恒定律 有mg l lcos mv2 2 1 在最低点 有T mg m l v2 T mg 2mg 1 一 cos 代人数值解得T 0 28 N 例 8 如图所示 一根长为 可绕轴在竖直平面内无摩擦转动的细杆 m1OAB 已知 质量相等的两个球分别固定在杆的端 由水平位mOBmOA4 0 6 0 BA 置自由释放 求轻杆转到竖直位置时两球的速度 解析 球在同一杆上具有相同的角速度 BA 2 3 BABA RRvv 专心 爱心 用心28 组成一个系统 系统重力势能的改变量等于动能的增加量 选取水平位置为零势BA 能面 则 mgRRmgmgRmgREEE PBPAP 2 0 2121 22 2 2 1 22 2 1 2 1 2 1 RRmmvmvEEE BAKBKAK KP EE 2 26 0 2 0 mmg 解得 s m v s m v s rad BA 1 165 1 13 10 例 9 小球在外力作用下 由静止开始从A点出发做匀加速直线运动 到B点时 消除外力 然后 小球冲上竖直平面内半径为R的光滑半圆环 恰能维持在圆环上做圆 周运动 到达最高点C后抛出 最后落回到原来的出发点A处 如图所示 试求小球在 AB段运动的加速度为多大 解析 要题的物理过程可分三段 从A到孤匀加速直线运动过程 从B沿圆环运动 到C的圆周运动 且注意恰能维持在圆环上做圆周运动 在最高点满足重力全部用来提 供向心力 从C回到A的平抛运动 根据题意 在C点时 满足 R v mmg 2 从B到C过程 由机械能守恒定律得 22 2 1 2 1 2 B mvmvRmg 由 式得 gRvB5 从 C 回到 A 过程 满足 2 2 1 2gtR 专心 爱心 用心29 水平位移s vt gRv 由 式可得s 2R 从A到B过程 满足 2 2 B vas ga 4 5 例 10 如图所示 半径分别为R和r的甲 乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖 直平面上 轨道之间有一条水平轨道CD相通 一小球以一定的速度先滑上甲轨道 通过 动摩擦因数为 的CD段 又滑上乙轨道 最后离开两圆轨道 若小球在两圆轨道的最 高点对轨道压力都恰好为零 试求水平CD段的长度 解析 1 小球在光滑圆轨道上滑行时 机械能守恒 设小球滑过C点时的速度 为 通过甲环最高点速度为v 根据小球对最高点压力为零 由圆周运动公式有 R v mmg 2 取轨道最低点为零势能点 由机械守恒定律 22 2 1 2 2 1 vmRmgmvC 由 两式消去v 可得 gRvC5 同理可得小球滑过D点时的速度 grvD5 设CD段的长度为l 对小球滑过CD 段过程应用动能定理 22 2 1 2 1 CD mvmvmgl 将 C v D v 代入 专心 爱心 用心30 可得 2 5rR l 三 针对训练三 针对训练 1 如图所示 两物体A B从同一点出发以同样大小的初速度v0分别沿光滑水平面 和凹面到达另一端 则 A A先到 B B先到 C A B同时到达 D 条件不足 无法确 定 2 将一球竖直上抛 若该球所受的空气阻力大小不变 则其力大小不变 则其上升 和下降两过程的时间及损失的机械能的关系是 A B 上 t 下 tE 上 E 下上 t 下 tE 上 E 下 C m时 相对静止是的共同速度必向左 不会再次与墙相碰 可求得摩擦生热是 当M m时 显然最终共同速度为零 当M m时 相对静止时的共同速度 mM Mmv Q 2 2 必向右 再次与墙相碰 直到小车停在墙边 后两种情况的摩擦生热都等于系统的初动 能 2 2 1 vmMQ 例 9 一传送带装置示意图如图 其中传送带经过AB区域时是水平的 经过BC 区域时变为圆弧形 圆弧由光滑模板形成 为画出 经过CD区域时是倾斜的 AB和CD 都与BC相切 现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上 放置时初 速为零 经传送带运送到D处 D和A的高度差为h 稳定工作时传送带速度不变 CD 段上各箱等距排列 相邻两箱的距离为L 每个箱子在A处投放后 在到达B之前已经 相对于传送带静止 且以后也不再滑动 忽略经BC 段时的微小滑动 已知在一段相当长的时间T内 共运送小货箱的数目为N 这装置由电动机带动 传 送带与轮子间无相对滑动 不计轮轴处的摩擦 求 电动机的平均输出功率P 解析 电动机做功的过程 电能除了转化为小货箱的机械能 还有一部分由于小货 箱和传送带间的滑动摩擦而转化成内能 摩擦生热可以由Q f d求得 其中f是相对滑 动的两个物体间的摩擦力大小 d是这两个物体间相对滑动的路程 本题中设传送带速 度一直是v 则相对滑动过程中传送带的平均速度就是小货箱的 2 倍 相对滑动路程d 和小货箱的实际位移s大小相同 故摩擦生热和小货箱的末动能大小相同Q mv2 2 因 此有W mv2 mgh 又由已知 在一段相当长的时间T内 共运送小货箱的数目为N 所以 有 vT NL 带入后得到 NWTP gh T LN T Nm P 2 22 例 10 用轻弹簧相连的质量均为 2 kg 的A B两物块都以v 6 m s 的速 度在光滑的水平地面上运动 弹簧处于原长 质量 4 kg 的物块C静止在前方 如图所示 B 与C碰撞后二者粘在一起运动 求 在以后的运动中 1 当弹簧的弹性势能最大时 物体A的速度多大 2 弹性势能的最大值是多大 3 A的速度有可能向左吗 为什么 解析 1 当A B C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大 由于A B C三者组成的系统动量守恒 mA mB v mA mB mC vA B L L A C D 专心 爱心 用心39 解得 vA m s 3 m s 422 6 22 2 B C碰撞时B C组成的系统动量守恒 设碰后瞬间B C两者速度为v 则 mBv mB mC v v 2 m s 42 62 设物A速度为vA 时弹簧的弹性势能最大为Ep 根据能量守恒Ep mB mC mAv2 mA mB mC 2 1 2 v 2 1 2 1 2 A v 2 4 22 2 62 2 2 4 32 12 J 2 1 2 1 2 1 3 A不可能向左运动 系统动量守恒 mAv mBv mAvA mB mC vB 设 A向左 vA 0 vB 4 m s 则作用后A B C动能之和 E mAvA2 mB mC vB2 mB mC vB2 48 J 2 1 2 1 2 1 实际上系统的机械能 E Ep mA mB mC 12 36 48 J 2 1 2 A v 根据能量守恒定律 E是不可能的 E 例 11 如图所示 滑块A的质量m 0 01 kg 与水平地面间的动摩擦因数 0 2 用细线悬挂的小球质量均为m 0 01 kg 沿x轴排列 A与第 1 只小球及相邻两 小球间距离均为s 2 m 线长分别为L1 L2 L3 图中只画出三只小球 且小球可视为 质点 开始时 滑块以速度v0 10 m s 沿x轴正方向运动 设滑块与小球碰撞时不损 失机械能 碰撞后小球均恰能在竖直平面内完成完整的圆 周运动并再次与滑块正碰 g取 10 m s2 求 1 滑块能与几个小球碰撞 2 求出碰撞中第n个小球悬线长Ln的表达式 解析 1 因滑块与小球质量相等且碰撞中机械能守恒 滑块与小球相碰撞会互换速度 小球在竖直平面内转动 机械能守恒 设滑块滑行总距离为s0 有 2 00 2 1 0mvmgs 专心 爱心 用心40 得s0 25 m 个 12 0 s s n 2 滑块与第n个球碰撞 设小球运动到最高点时速度为vn 对小球 有 nnn mgLvmmv2 2 1 2 1 22 n n L v mmg 2 对滑块 有 2 0 2 2 1 2 1 mvmvmgns n 解 三式 25 450 5 2 2 0 n g gsnv Ln 例 12 如图所示 两个小球A和B质量分别是mA 2 0 kg mB 1 6 kg 球A静止 在光滑水平面上的M点 球B在水平面上从远处沿两球的中心连线向着球A运动 假设两 球相距L 18 m 时存在着恒定的斥力F L 18 m 时无相互作用力 当两球相距最近时 它们间的距离为d 2 m 此时球B的速度是 4 m s 求 1 球B的初速度 2 两球之间的斥力大小 3 两球从开始相互作用到相距最近时所经历的时间 解析 1 设两球之间的斥力大小是F 两球从开始相互作用到两球相距最近时的时间是 t0当两球相距最近时球B的速度是vB 4 m s 此时球A的速度与球B的速度大小相等 vA vB 4 m s 由动量守恒定律可得 mBvB0 mAvA mBvB 代人数据解得vB0 9 m s 1 分 2 两球从开始相互作用到它们之间距离最近时它们之间的相对位移 s L d 专心 爱心 用心41 由功能关系可得 F s mBvB02 mAvA2 mBvB2 2 1 2 1 2 1 代人数据解得F 2 25 N 3 根据动量定理 对A球有 Ft mAvA 0 t F vm AA 代入数值解得t s 3 56 s 9 32 例 13 在原子核物理中 研究核子与核子关联的最有效途径是 双电荷交换反 应 这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似 两个小球A和B用轻质弹簧相连 在光滑的水平直轨道上处于静止状态 在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P 右边有 一小球C沿轨道以速度v0射向B球 如图所示 C与B发生碰 撞并立即结成一个整体D 在它们继续向左运动的过程中 当弹 簧长度变到最短时 长度突然被锁定 不再改变 然后 A球与 挡板P发生碰撞 然后A D都静止不动 A与P接触但不粘接 过一段时间 突然解除锁定 锁定及解除锁定均无机械能损失 已知A B C三球的质量均为m 求 1 弹簧长度刚被锁定后A球的速度 2 在A球离开挡板P之后的运动过程中 弹簧的最大弹性势能 解析 1 设C球与B球碰撞结成D时 D的速度为v1 由动量守恒定律有 mv0 2mv1 当弹簧压至最低时 D与A有共同速度 设此速度为v2 由动量守恒定律有 2mv1 3mv2 两式联立求得A的速度 v2 v0 3 1 2 设弹簧长度被锁定后 储存在弹簧中的弹性势能为Ep 由能量守恒有 Ep 2mv12 3mv22 2 1 2 1 撞击P后 A D均静止 解除锁定后 当弹簧刚恢复到原长时 弹性势能全部转为D 球的动能 设此时D的速度为v3 由能量守恒有 2mv32 Ep 2 1 专心 爱心 用心42 以后弹簧伸长 A球离开挡板P 当A D速度相等时 弹簧伸长到最长 设此时 A D速度为v4 由动量守恒定律有 2mv3 2mv4 当弹簧最长时 弹性势能最大 设其为Ep 由能量守恒有 Ep 2mv32 3mv42 2 1 2 1 联立以上各式 可得 Ep mv02 36 1 例 14 如图所示 一轻质弹簧一端固定 一端与质量为 m 的小物块A相联 原 来A静止在光滑水平面上 弹簧没有形变 质量为m的物块B在大小为F的水平恒力 作用下由C处从静止开始沿光滑水平面向 右运动 在O点与物块A相碰并一起向右 运动 设碰撞时间极短 运动到 D 点时 将外力F撤去 已知CO 4s OD s 则撤去 外力后 根据力学规律和题中提供的信息 你能求得哪些物理量 弹簧的弹性势能等 的最大值 并求出定量的结果 解析 物块B在F的作用下 从C运动到O点的过程中 设B到达O点的速度为 v0 由动能定理得 F 4s 2 0 2 1 mv 对于A与B在O点的碰撞动量守恒 设碰后的共同速度为v 由动量守恒定律可得 mv0 2mv 当A B一起向右运动停止时 弹簧的弹性势能最大 设弹性势能的最大值为 Epm 据 能量守恒定律可得 Epm Fs Fsmv32 2 1 2 撤去外力后 系统的机械能守恒 根据机械能守恒定律可求得A B的最大速度为 m Fs vv BmAm 3 三 针对训练三 针对训练 1 如图所示 一轻弹簧左端固定在长木板M的左端 右端与小木块m连接 且 m M及M与地面间接触光滑 开始时 m和M均静止 现同时对m M施加等大反向的水 A B s4s D OC F 专心 爱心 用心43 平恒力F1和F2 从两物体开始运动以后的整个运动过程中 弹簧形变不超过其弹性限度 对于m M和弹簧组成的系统 A 由于F1 F2等大反向 故系统机械能守恒 B 当弹簧弹力大小与F1 F2大小相等时 m M各自的动能最大 C 由于F1 F2大小不变 所以m M各自一直做匀加速运动 D 由于F1 F2等大反向 故系统的动量始终为零 2 物体在恒定的合力作用下做直线运动 在时间 t1内动能由 0 增大到E1 在时 间 t2内动能由E1增大到E2 设合力在 t1内做的功是W1 冲量是I1 在 t2内做的 功是W2 冲量是I2 那么 A I1 I2 W1 W2B I1 I2 W1 W2 C I1 I2 W1 W2 D I1 I2 W1 W2 3 有一种硬气功表演 表演者平卧地面 将一大石板置于他的身体上 另一人将重 锤举到高处并砸向石板 石板被砸碎 而表演者却安然无恙 假设重锤与石板撞击后二者 具有相同的速度 表演者在表演时尽量挑选质量较大的石板 对这一现象 下面的说法中 正确的是 A 重锤在与石板撞击的过程中 重锤与石板的总机械能守恒 B 石板的质量越大 石板获得的动量就越小 C 石板的质量越大 石板所受到的打击力就越小 D 石板的质量越大 石板获得的速度就越小 4 如图所示 分别用两个恒力F1和F2先后两次将质量为m的物体从静止开始 沿 着同一个粗糙的固定斜面由底端推到顶端 第一次力F1的方向沿斜面向上