辽宁省沈阳二中11-12学年高二数学下学期期中考试 理

用心 爱心 专心 1 沈阳二中沈阳二中 20112011 20122012 学年度下学期期中考试学年度下学期期中考试 高二 高二 1313 届 数学 理 试题届 数学 理 试题 说明 1 测试时间 120 分钟 总分 150 分 2 客观题涂在答题卡上 主观题答在答题纸上 第第 卷卷 满分 满分 6060 分 分 一一 选择题 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 可导函数在闭区间的最大值必在 取得 A 极值点 B 导数为零的点 C 极值点或区间端点 D 区间端点 2 已知向量 使成立的 x 与使成立的 x 分别为 2 4 3 1 2 xba a b a b A B 6 C 6 D 6 10 6 3 10 6 3 10 6 3 10 6 3 3 设f x 在 a b 上连续 将 a b n等分 在每个小区间上任取 i 则f x dx是 b a A i B i C i i lim n n 1 i 0 f lim n n 1 i 0 f b a n lim n n 1 i 0 f D i i 1 i lim n n 1 i 0 f 4 空间四边形中 则的值是 OABCOBOC 3 AOBAOC cos OA BC A B C D 2 1 2 2 2 1 0 5 函数的图象如图所示 下列数值排序正确的是 f x A 0 2 3 3 2 ffff B 0 3 3 2 2 ffff C 0 3 2 3 2 ffff x y O 用心 爱心 专心 2 D 0 3 2 2 3 ffff 6 下列命题中 真命题是 A 若直线 m n 都平行于 则nm B 设 l是直二面角 若直线 lm 则 m C 若 m n 在平面 内的射影依次是一个点和一条直线 且nm 则 n或 n D 若直线 m n 是异面直线 m 则 n 与 相交 7 已知函数有极大值和极小值 则a的取值范围是 1 6 23 xaaxxxf A B C D 21 a63 a63 aa或21 aa或 8 若 A B C 则 ABC 的形状是 1 2 1 3 2 4 4 1 6 A 不等边锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等边三角形 9 已知函数 f x在 R 上满足 2 2 2 88f xfxxx 则曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程是 A 21yx B yx C 32yx D 23yx 10111 10 已知 1 2 3 OA 2 1 2 OB 1 1 2 OP 点 Q 在直线 OP 上运动 则当QA QB 取得最小值时 点 Q 的坐标为 A 1 3 1 2 4 3 B 1 2 3 2 3 4 C 4 4 8 3 3 3 D 4 4 7 3 3 3 11 若函数在区间内单调递增 则a的取值范 1 0 log 3 aaaxxxf a 0 2 1 围是 A B C D 1 4 1 1 4 3 4 9 4 9 1 12 正三棱柱 111 CBAABC 的底面边长为 3 侧棱3 2 3 1 AA D 是 CB 延长线上一点 且 BCBD 则二面角BADB 1 的大小 A 3 B 6 C 6 5 D 3 2 用心 爱心 专心 3 第第 卷卷 满分 满分 9090 分 分 二二 填空题 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 1 2 1 1 x dx 14 已知 S 是 ABC 所在平面外一点 D 是 SC 的中点 若 则 x y z BD xAByACzAS 15 已知函数 则 f x ln 3x 8x 0 1 lim x fxf x A A A 12 16 二面角 EF 是直二面角 C EF AC BC ACF 30 ACB 60 则 BCF 等于 三 解答题三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本题满分 10 分 设 2 1 x f xe axx 且曲线 y f x 在 x 1 处的切线与 x 轴平行 求的值 并讨论 xf的单调性 a 证明 当 0 f cos f sin 2 2 时 18 本题满分 12 分 已知为空间的一个基底 且 123 eee 123 23OP eee 123 2OA eee 123 32OB eee 123 OC eee 1 判断四点是否共面 PABC 2 能否以作为空间的一个基底 若不能 说明理由 若能 试以这一基 OAOBOC 底表示向量 OP 19 本题满分 12 分 设 函数 a R 23 3 xaxxf 若是函数的极值点 求实数的值 2 x xfy a 用心 爱心 专心 4 若函数在上是单调减函数 求实数的取值范围 x g xe f x 0 2 a 20 本题满分 12 分 如图所示 在直三棱柱中 111 ABCABC 90ACB 2AB 1BC 点是棱的中点 1 6AA D 1 CC 证明 平面 AA1C1C平面 11 ABC 求二面角的余弦值 11 BABC 21 本题满分 12 分 已知函数 32 1 0 3 1 0 x xmxx f x ex 1 讨论函数f x 的极值情况 2 设g x ln x 1 当x1 x2 0 时 试比较f x1 x2 与g x1 x2 及g x1 g x2 三者的大小 并说明理由 22 本题满分 12 分 如图 在三棱锥A BCD中 侧面ABD ACD是全等的直角三角形 AD是公共的斜边 且 AD 3 BD CD 1 另一个侧面是正三角形 1 求证 AD BC 2 求二面角B AC D的大小 3 在直线AC上是否存在一点E 使ED与面 BCD成 30 角 若存在 确定E的位置 若 不存在 说明理由 A B C A1 B1 C1D B A D C 用心 爱心 专心 5 沈阳二中沈阳二中 20112011 20122012 学年度下学期期中考试学年度下学期期中考试 高二 高二 1313 届 数学 理 参考答案届 数学 理 参考答案 一 选择题 123456789101112 CABDBCCAACBA 二 填空题 13 14 0 15 18 16 2 3 arccos 3 三 解答题 17 解 2 21 2 x fxe axax 由题知 所以 1 2 分 1 0f a 此时 2 2 x fxexx 021fxx 令 令令 令 所以函数的增区间为 减区间为 5 分 2 1令 令令 令令 令 1 1 由 知 f x在 0 1 单调增加 故 f x在 0 1 的最大值为 1 fe 最小值为 0 1f 从而对任意 1 x 2 x 0 1 有 12 12f xf xe 而当 0 2 时 cos sin 0 1 从而 cos sin 2ff 10 分 18 解 1 假设四点共面 则存在实数使 xyz OPxOAyOBzOC 且 1xyz 即 4 分 123123123123 23 2 32 xyz eeeeeeeeeeee 比较对应的系数 得一关于的方程组xyz 32 21 23 xyz xyz xyz 用心 爱心 专心 6 解得 17 5 30 x y z 与矛盾 故四点不共面 6 分1xyz 2 若向量 共面 则存在实数使 OA OB OC mn OAmOBnOC 同 1 可证 这不可能 因此可以作为空间的一个基底 OAOBOC 令 OA aOB bOC c 由 联立得到方程组 123 2 eeea 123 32 eeeb 123 eeec 从中解得 10 分 1 2 2 3 4 eabc eac eabc 所以 12 分17530OPOAOBOC 19 解 2 363 2 fxaxxx ax 因为是函数的极值点 所以 即 2x yf x 2 0 f 6 22 0a 所以 经检验 当时 是函数的极值点 1a 1a 2x yf x 即 6 分1a 由题设 又 322 336 x g xe axxaxx 0 x e 所以 0 2 x 322 3360axxaxx 这等价于 不等式对恒成立 2 322 3636 33 xxx a xxxx 0 2 x 令 2 36 3 x h x xx 0 2 x 则 22 2222 3 46 3 2 2 0 3 3 xxx h x xxxx 所以在区间上是减函数 h x0 2 用心 爱心 专心 7 所以的最小值为 h x 6 2 5 h 所以 即实数的取值范围为 12 分 6 5 a a 6 5 20 解 解法一 解法一 90ACB BCAC 三棱柱为直三棱柱 111 ABCABC 1 BCCC 平面 1 ACCCC BC 11 ACC A 平面 而 则 4 分 1 AD 11 ACC A 1 BCAD 11 BCBCA 111 BCAD 在中 1 Rt ACC 1 1 32 tan 26 AC AC C CC 在中 11 Rt DC A 1 11 11 6 2 2 tan 23 DC DAC AC 同理可得 111 AC CDAC 111 CACC DA 或 或 在与中 1 Rt ACC 11 Rt DC A 1 111 36 2 63 2 C CAC DCAC 1 Rt ACC 11 Rt DC A 111 AC CDAC 111 CACC DA 即 11 90AC CCAC 111 90AC CC DA 11 ADAC 平面 6 分 1111 BCACC 1 AD 11 ABC 如图 过作的垂线 垂足为 在平面 1 C 1 ABH 内作交于点 连 则 1 ABB 1 GHAB 1 BBG 1 GC 为二面角的平面角 8 分 1 C HG 11 BABC 在中 11 Rt ABC 111 1 1 3 13 10 1010 ACBC C H AB 则 1 10 10 B H 1 Rt B HG 1 Rt B BA 11 11 B HBGGH ABB BB A 15 15 GH H G A B C A1 B1 C1D 用心 爱心 专心 8 在中 求得 1 6 6 BG 11 Rt BC G 1 42 6 C G 在中 由余弦定理 得 1 C HG 222 11 1 1 6 cos 26 C HGHC G C HG C H GH 故二面角的余弦值为 12 分 11 BABC 6 6 解法二 解法二 90ACB BCAC 三棱柱为直三棱柱 111 ABCABC 1 BCCC 平面 2 分 1 ACCCC BC 11 ACC A 以为坐标原点 所在的直线分别CCB 1 CCCA 为轴 轴 轴建立如图所示的空间直角坐标系 则xyz 0 0 0C 1 0 0B 0 0 3A 1 0 6 0C 1 1 6 0B 1 0 6 3A 6 0 0 2 D 4 分 1 6 0 3 2 AD 11 1 0 0BC 1 1 6 3AB 111 0AD BC A 11 0AD AB A 即 111 ADBC 11 ADAB 111 ADBC 11 ADAB 平面 6 分 1111 BCABB 1 AD 11 ABC 设是平面的法向量 由得 x y z n 1 ABB 1 1 0 0 AB BB A A n n 630 60 xyz y 取 则是平面的一个法向量 8 分1z 3 0 1 n 1 ABB 又是平面的一个法向量 10 分 1 6 0 3 2 AD 11 ABC y z x A B C A1 B1 C1D 用心 爱心 专心 9 且与二面角的大小相等 1 AD 11 BABC 由 1 1 1 6 0 33 0 1 2 6 cos 63 2 2 2 AD AD AD A A n n 故二面角的余弦值为 12 分 11 BABC 6 6 21 解 1 当x 0 时 f x ex 1 在 0 单调递增 且f x 0 当x 0 时 2 2fxxmx 若m 0 f x x2 0 f x 在 0 上单调递增 且f x 3 1 3 x 3 1 0 3 x 又f 0 0 f x 在 R 上是增函数 无极植 若m0 则f x 在 0 单调递增 同 可 32 1 3 xmx 知f x 在 R 上也是增函数 无极值 4 分 若m 0 f x 在 2m 上单调递增 在 2m 0 单调递减 又f x 在 0 上递增 故f x 有极小值f 0 0 f x 有极大值 6 分 3 4 2 3 fmm 2 当x 0 时 先比较ex 1 与 ln x 1 的大小 设h x ex 1 ln x 1 x 0 h x 恒成立 1 0 1 x e x h x 在 0 是增函数 h x h 0 0 ex 1 ln x 1 0 即ex 1 ln x 1 也就是f x g x 成立 0 x 故当x1 x2 0 时 f x1 x2 g x1 x2 10 分 再比较与g x1 g x2 ln x1 1 ln x2 1 的大 1212 ln 1 g xxxx 小 用心 爱心 专心 10 1212 g xxg xg x 1212 ln 1 ln 1 ln 1 xxxx 122212 11 1 1 lnln 1 0 11 xxxxxx xx g x1 x2 g x1 g x2 f x1 x2 g x1 x2 g x1 g x2 12 分 22 解 1 方法一 作AH 面BCD于H 连 DH ABBDHBBD 3 1ADBD 2ABBCACBDDC 又BDCD 则BHCD是正方形 则 DHBCADBC 方法二 取BC的中点O 连AO DO 则有 AOBC DOBC BCAODBCAD 面 A B H F O C D M N E 2 作BMAC 于M 作MNAC 交AD于N 则BMN 就是二面角BACD 的平面角 2 ABACBC M是AC的中点 且MN CD 则 61113 22222 BMMNCDBNAD 由余弦定理得 222 66 cos arccos 233 BMMNBN BMNBMN BM MN 3 设E为所求的点 作EFCH 于F 连FD 则EF AH EFBCDEDF 面就是ED与面BCD所成的角