第六章第三节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

1 第六章第六章 第三节第三节 二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 题组一二元一次不等式 组 表示的平面区域 1 2009 福建高考 在平面直角坐标系中 若不等式组Error Error a 为常数 所表示的平面区域 的面积等于 2 则 a 的值为 A 5 B 1 C 2 D 3 解析 不等式组Error Error 所围成的区域如图所示 则 A 1 0 B 0 1 C 1 1 a 且 a 1 S ABC 2 1 a 1 2 解得 a 3 1 2 答案 D 2 已知 D 是由不等式组Error Error 所确定的平面区域 则圆 x2 y2 4 在区域 D 内的弧长为 A B C D 4 2 3 4 3 2 解析 如图 l1 l2的斜率分别是 k1 k2 不等式组表示的平面区域为阴影 1 2 1 3 部分 tan AOB 1 1 2 1 3 1 1 2 1 3 AOB 弧长 2 4 4 2 答案 B 3 点 3 1 和 4 6 在直线 3x 2y a 0 的两侧 则 a 的取值范围是 解析 点 3 1 和 4 6 在直线 3x 2y a 0 的两侧 说明将这两点坐标代入 3x 2y a 后 符号相反 所以 9 2 a 12 12 a 0 2 解之得 7 a 24 答案 7 24 题组二求目标函数的最值 4 2009 天津高考 设变量 x y 满足约束条件Error Error 则目标函数 z 2x 3y 的 最小值为 A 6 B 7 C 8 D 23 解析 约束条件 Error Error 表示的平面区域如图 易知过 C 2 1 时 目标函数 z 2x 3y 取得最小值 zmin 2 2 3 1 7 答案 B 5 2009 陕西高考 若 x y 满足约束条件Error Error 目标函数 z ax 2y 仅在点 1 0 处取得最 小值 则 a 的取值范围是 A 1 2 B 4 2 C 4 0 D 2 4 解析 可行域为 ABC 如图 当 a 0 时 显然成立 当 a 0 时 直线 ax 2y z 0 的斜率 k kAC 1 a 2 a 2 当 a 0 时 k kAB 2 a 4 综合得 4 a 2 a 2 答案 B 6 已知关于 x y 的二元一次不等式组Error Error 1 求函数 u 3x y 的最大值和最小值 2 求函数 z x 2y 2 的最大值和最小值 解 1 作出二元一次不等式组Error Error 表示的平面区域 如图所示 3 由 u 3x y 得 y 3x u 得到斜率为 3 在 y 轴上的截距为 u 随 u 变化的一组 平行线 由图可知 当直线经过可行域上的 C 点时 截距 u 最大 即 u 最小 解方程组Error Error 得 C 2 3 umin 3 2 3 9 当直线经过可行域上的 B 点时 截距 u 最小 即 u 最大 解方程组Error Error 得 B 2 1 umax 3 2 1 5 u 3x y 的最大值是 5 最小值是 9 2 作出二元一次不等式组Error Error 表示的平面区域 如图所示 由 z x 2y 2 得 y x z 1 得到斜率为 在 y 轴上的截距为 z 1 随 1 2 1 2 1 2 1 2 z 变化的一组平行线 由图可知 当直线经过可行域上的 A 点时 截距 z 1 最小 即 z 最小 1 2 解方程组Error Error 得 A 2 3 zmin 2 2 3 2 6 当直线与直线 x 2y 4 重合时 截距 z 1 最大 即 z 最大 1 2 zmax 4 2 6 4 z x 2y 2 的最大值是 6 最小值是 6 题组三线性规划的实际应用 7 2009 湖北高考 在 家电下乡 活动中 某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇 现 有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用 每辆甲型货车运输费用 400 元 可装洗衣 机 20 台 每辆乙型货车运输费用 300 元 可装洗衣机 10 台 若每辆车至多只运一次 则该厂所花的最少运输费用为 A 2 000 元 B 2 200 元 C 2 400 元 D 2 800 元 解析 设需使用甲型货车 x 辆 乙型货车 y 辆 运输费用 z 元 根据题意 得线性约 束条件Error Error 求线性目标函数 z 400 x 300y 的最小值 解得当Error Error 时 zmin 2 200 答案 B 8 2009 四川高考 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨 B 原料 2 吨 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨 B 原料 3 吨 销售每吨甲产品可获得 利润 5 万元 每吨乙产品可获得利润 3 万元 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不 超过 13 吨 B 原料不超过 18 吨 那么该企业可获得最大利润是 A 12 万元 B 20 万元 C 25 万元 D 27 万元 解析 设该企业生产甲产品为 x 吨 乙产品为 y 吨 则该企业可获得利润为 z 5x 3y 且Error Error 联立Error Error 解得Error Error 由图可知 最优解为 P 3 4 z 的最大值为 z 5 3 3 4 27 万元 答案 D 9 某人上午 7 时乘摩托艇以匀速 v km h 4 v 20 从 A 港出发到距 50 km 的 B 港去 然后乘汽车以匀速 w km h 30 w 100 自 B 港向距 300 km 的 C 市驶去 应该在同 5 一天下午 4 至 9 点到达 C 市 设乘摩托艇 汽车去所需要的时间分别是 x h y h 若所需的经费 p 100 3 5 y 2 8 x 元 那么 v w 分别为多少时 所需经 费最少 并求出这时所花的经费 解 依题意Error Error 考查 z 2x 3y 的最大值 作出可行域 平移直线 2x 3y 0 当 直线经过点 4 10 时 z 取得最大值 38 故当 v 12 5 w 30 时所需要经费最少 此时所花的经费为 93 元 题组四线性规划问题的综合应用 10 2010 诸城模拟 若 2m 4n 2 则点 m n 必在 2 A 直线 x y 1 的左下方 B 直线 x y 1 的右上方 C 直线 x 2y 1 的左下方 D 直线 x 2y 1 的右上方 解析 2m 4n 2m 22n 2 2m 2n 2 2 2m 2n2 即 m 2n0 则可行域取到 x 5 的点 不能在圆内 故 m 0 即 m 0 当 mx y 0 绕坐标原点旋转时 直线过 B 点时为边界位置 此时 m 4 3 m 0 m 4 3 4 3 答案 0 m 4 3 12 已知 O 为坐标原点 A 2 1 P x y 满足Error Error 则 cos AOP 的最大值等于 OP 解析 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域 如图 由于 cos AOPOP cosOP OAAOP OA A A 而 2 1 OP OA OA A A OA x y 所以 cos AOP OP OP 2x y 5 令 z 2x y