广东省两校联考2012届高三数学下学期联考试题 理

用心 爱心 专心1 20112011 20122012 学年度第二学期高三两校联考理科数学学年度第二学期高三两校联考理科数学 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 已知函数f x 则 f 0 f 1 2 67 0 100 x xxx x A 9 B C 3 D 71 10 11 10 2 cos x 1 是 sin x 0 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 下图是一个几何体的三视图 已知侧视图是一个等边三角形 根据 图中尺寸 单位 可知这个几何体的表面积是 cm A B 2 183 cm 2 21 3 2 cm C D 2 182 3 cm 2 62 3 cm 4 若 且 则下列各式中最大的是 ba 01 ba A B 1 b 2 log C D 1loglog 22 ba log 3223 2 babbaa 5 某班有 48 名学生 在一次考试中统计出平均分为 70 分 方差为 75 后来发现有 2 名 同学的分数登错了 甲实得 80 分却记成了 50 分 乙实得 70 分却记成了 100 分 则更 正后平均分和方差分别是 A 70 50B 70 75C 70 72 5D 65 70 6 已知直线 平面 且 给出下列命题 lm lm 若 则 m 若 则 m 若 m 则 若 m 则 l ll l 其中正确命题的个数是 A 1B 2 C 3 D 4 7 若复数满足方程 则 z 2 20z 3 z A B C D 2 2 2 2 2 2i 2 2i 2 2 2 2 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 3 3 用心 爱心 专心2 A B D C O M N 8 过原点O引抛物线的切线 当变化时 两个切点分别在抛物线 22 4yxaxa a 上 A B C D 22 13 22 yxyx 22 35 22 yxyx 22 3yxyx 22 3 5yxyx 第二部分 非选择题 110 分 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 一 必做题 9 13 题 9 已知平面向量等于 3 1 3 abxabx 则 10 某程序框图如图所示 则该程序运行后输出的S的值为 11 从 3 名男生和 n 名女生中 任选 3 人参加比赛 已知 3 人中至少有 1 名女生的概率为 则 n 35 34 12 设为坐标平面内一点 O 为 5 sin 3 sin 5 cos 3 cosRx xxxx M 坐标原点 记f x OM 当x变化时 函数 f x 的最小正周期是 13 已知是椭圆的左 右顶点 是椭圆 22 22 1 0 xy abM N ab P 上任意一点 且直线的斜率分别为 若PMPN 1212 0 k k k k 的最小值为 则椭圆的离心率为 12 kk 1 二 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题 若点在以点为焦点的抛物线 3 PmF 上 则 2 4 4 xt t yt 为参数 PF 15 几何证明选做题 如图 四边形 ABCD 内接于 BC 是直径 MN 切 于 A OO 则 0 25MAB D 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 在 ABC中 角A B C所对的边为a b c 已知 sin 2 C S 1 k 1 输出 S 开始 是 否 k k 1 S 2S 结束 k 2011 S 1 S S 1 8 是否 第 10 题 用心 爱心 专心3 10 4 求 cos C的值 若 ABC的面积为 且 sin2 A sin2B sin2 C 求a b及c的值 3 15 4 13 16 17 本小题满分 12 分 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案 考生从 6 道备选题 中一次性随机抽取 3 题 按照题目要求独立完成全部实验操作 规定 至少正确完成其中 2 题的便可提交通过 已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正确完成 2 题不能完成 考生乙 每题正确完成的概率都是 且每题正确完成与否互不影响 求 2 3 1 分别写出甲 乙两考生正确完成题数的概率分布列 并计算数学期望 2 试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成 2 题的概率分析比较两位考生 的实验操作能力 18 本小题满分 14 分 如图直角梯形 OABC 中 SO 1 以 OC OA OS 分别为 OABCSOABOAOCOABCOA平面 1 2 2 x轴 y轴 z轴建立直角坐标系 O xyz 求的余弦值 SCOB 与的夹角 设 1 求平面满足SBCnqpn n 的坐标 设 OA 与平面 SBC 所成的角为 求 sin z O A B C S y x 用心 爱心 专心4 19 本小题满分 14 分 已知数列满足 n a 1 5a 2 5a 11 6 2 nnn aaan 1 求证 是等比数列 1 2 nn aa 2 求证 是等比数列并求数列的通项公式 3n n a n a 3 设 且对于恒成立 求的取值范3 3 nn nn bna 12n bbbm nN m 围 20 本小题满分 14 分 已知椭圆 22 22 0 yx Cab ab 1 的离心率为 6 3 过右顶点A的 直线l与椭圆C相交于A B两点 且 13 B 1 求椭圆C和直线l的方程 2 记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域 含边界 为D 若曲线 222 2440 xmxyym 与D有公共点 试求实数m的最小值 21 本小题满分 14 分 已知函数 x 0 2 lnf xaxbx 1 若a 1 f x 在 0 上是单调增函数 求b的取值范围 2 若a 2 b 1 求方程在 0 1 上解的个数 1 f x x 用心 爱心 专心5 2011 2012 学年度第二学期高三两校联考理科数学 一 选择题答案表 题号 12345678 答案 CACBABDB 二 填空题 9 9 10 11 4 12 15 13 14 1 2 3 2 4 15 1150 16 解 因为 sin 所以 cos C 1 2sin2 2 C 10 42 C 1 4 4 分 解 因为 sin2 A sin2B sin2 C 由正弦定理得a2 b2 c2 13 16 13 16 6 分 由余弦定理得a2 b2 c2 2abcos C 将 cos C 代入 得ab c2 1 4 3 8 8 分 由S ABC 及 sin C 得ab 6 3 15 4 2 1cos C 15 4 10 分 用心 爱心 专心6 由 得 或 经检验 满足题意 所以 或 12 分 2 3 4 a b c 3 2 4 a b c 2 3 4 a b c 3 2 4 a b c 17 解 1 设考生甲 乙正确完成实验操作的题数分别为 则 取值分别为 1 2 3 取值分别为 0 1 2 3 2 分 5 1 1 3 6 2 2 1 4 C CC P 5 3 2 3 6 1 2 2 4 C CC P 5 1 3 3 6 0 2 3 4 C CC P 考生甲正确完成题数的概率分布列为 2 5 1 3 5 3 2 5 1 1 E 5 分 0 P 27 1 3 2 1 30 3 C 同理 27 6 1 P 27 12 2 P 27 8 3 P 考生乙正确完成题数的概率分布列为 2 27 8 3 27 12 2 27 6 1 27 1 0 E 8 分 2 8 0 5 1 5 3 2 P 74 0 27 8 27 12 2 P 2 2 PP 10 分 从做对题数的数学期望考察 两人水平相当 从至少完成 2 题的概率考察 甲获得通 过的可能性大 因此可以判断甲的实验操作能力较强 12 分 18 解 如图所示 C 2 0 0 S 0 0 1 O 0 0 0 B 1 1 0 3 分 2 0 1 1 1 0 SCOB 6 分 210 cos 552 SC OB 1 1 1 1 1 0 SBCBnSBC 平面 10 分 10 10 1 2 1 1 2 nSB nCBn SBpqn CBppqn 解得 为平面 SBC 的法向量 0 1 0 OA 1 1 2 n 16 sin cos 66 OA n 123 p 5 1 5 3 5 1 0123 p 27 1 27 6 27 12 27 8 用心 爱心 专心7 14 分 19 解 1 由 an 1 an 6an 1 an 1 2an 3 an 2an 1 n 2 a1 5 a2 5 a2 2a1 15 故数列 an 1 2an 是以 15 为首项 3 为公比的等比数列 5 分 2 由 1 得 an 1 2an 5 3n an 1 3n 1 2 an 3n 故数列是以 2 为首项 2 为公比的等比数列 an 3n 2 2 n 1 3n n a 即 an 3n 2 2 n 1 3n 2 n 9 分 3 由 3nbn n 3n an n 3n 3n 2 n n 2 n bn n n 2 3 令 Sn b1 b2 bn 2 2 3 3 n n 2 3 2 3 2 3 2 3 Sn 2 2 3 n 1 n n n 1 11 分 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 得 Sn 2 3 n n n 1 n n 1 2 1 n n n 1 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 Sn 6 1 n 3n n 1 6 要使得 b1 b2 bn m 对于 n N 恒成立 2 3 2 3 只须 m 6 14 分 20 解 1 由离心率 6 3 e 得 22 6 3 ab a 即 22 3ab 2 分 又点 13 B 在椭圆 22 22 1 yx C ab 上 即 22 22 3 1 1 ab 4 分 解 得 22 124ab 故所求椭圆方程为 22 1 124 yx 5 分 由 2 0 13 AB 得直线l的方程为2yx 6 分 2 曲线 222 2440 xmxyym 即圆 22 2 8xmy 其圆心坐标为 2 G m 半径2 2r 表示圆心在直线2y 上 半径为2 2的动圆 由于要求实数 m的最小值 由图可知 只须考虑0m 的情形 设GA与直线l相切于点T 则由 得4m 10 分 22 2 2 2 m 当4m 时 过点 42 G 与直线l垂直的直线 l 的方程为60 xy 解方程组 用心 爱心 专心8 60 20 xy xy 得 24 T 12 分 因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为1 2 所以切点TD 由图可知当 GA过点B时 m取得最小值 即 22 1 32 8m 解得 min 71m 14 分 21 解 2ln 02 2 ln 2ln 2 xbxx f xxbx xbxx 当 0 x 2 时 由条件 得恒成立 2lnf xxbx 1 b fx x 10 b x 即b x恒成立 b 2 2 分 当x 2 时 由条件 得恒成立 2lnf xxbx 1 b fx x 10 b x 即b x恒成立 b 2 4 分 综合 得b的取值范围是b 2 5 分 2 令 即 1 2 lng xaxx x 12 2ln 0 12 2ln axxx xa g x axxx xa 当时 2 0 x a 1 2lng xaxx x 2 11 g xa xx 则 0 2 0 x a 1 2 a x 2 2 244 aaa a g x