2014年高考数学一轮复习 考点热身训练 8.5双曲线

1 20142014 年高考一轮复习考点热身训练 年高考一轮复习考点热身训练 8 58 5 双曲线双曲线 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 6 6 分 共分 共 3636 分 分 1 2013 福州模拟 已知双曲线 1 的一个焦点与抛物线 x2 4y 的焦点重合 且双曲线的实轴长是 22 22 yx ab 虚轴长的一半 则该双曲线的方程为 A 5y2 x2 1 B 1 5 4 22 xy 54 C 1 D 5x2 1 22 yx 54 2 5 y 4 2 2013 沈阳模拟 双曲线 y2 1 n 1 的两个焦点为 F1 F2 P 在双曲线上 且满足 PF1 PF2 2 x n 则 PF1F2的面积为 2 n2 A B 1 C 2 D 4 1 2 3 设双曲线的一个焦点为 F 虚轴的一个端点为 B 如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直 那么此 双曲线的离心率为 A B C D 23 31 2 51 2 4 预测题 已知双曲线 1 的左支上一点 M 到右焦点 F2的距离为 18 N 是线段 MF2的中点 O 是坐 2 x 25 2 y 9 标原点 则 ON 等于 A 4 B 2 C 1 D 2 3 5 2012 哈尔滨模拟 已知双曲线的右焦点为 F 过 F 作双曲线一条渐近线的垂线 垂足为 A 过 A 作 x 轴的垂线 B为垂足 且 O 为原点 则此双曲线的离心率为 OF 3OB A B C 2 D 23 3 2 6 设 F1 F2分别为双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点 若在双曲线右支上存在点 P 满足 2 2 x a 2 2 y b PF2 F1F2 且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长 则该双曲线的渐近线方程为 A 3x 4y 0 B 3x 5y 0 C 4x 3y 0 D 5x 4y 0 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 6 6 分 共分 共 1818 分 分 7 2012 厦门模拟 设 F1 F2分别是双曲线 1 的左 右焦点 若双曲线上存在点 A 使 22 22 xy ab 2 F1AF2 90 且 AF1 3 AF2 则双曲线离心率为 8 P 为双曲线 x2 1 右支上一点 M N 分别是圆 x 4 2 y2 4 和 x 4 2 y2 1 上的点 则 PM PN 的最 2 y 15 大值为 9 以下四个关于圆锥曲线的命题中 设 A B 为两个定点 k 为非零常数 若 k 则动点PA PB P 的轨迹为双曲线 过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB O 为坐标原点 若 则动OP 1 2 OA OB 点 P 的轨迹为椭圆 方程 2x2 5x 2 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 双曲线 1 2 x 25 2 y 9 与椭圆 y2 1 有相同的焦点 2 x 35 其中真命题的序号为 写出所有真命题的序号 三 解答题 每小题三 解答题 每小题 1515 分 共分 共 3030 分 分 10 点 P 是以 F1 F2为焦点的双曲线 E 1 a 0 b 0 上的一点 已知 2 2 x a 2 2 y b PF1 PF2 PF1 2 PF2 O 为坐标原点 1 求双曲线的离心率 e 2 过点 P 作直线分别与双曲线两渐近线相交于 P1 P2两点 且 求双曲线 E 的方程 1 OP 2 OP 27 4 1 2PP 2 PP 0 11 易错题 已知斜率为 1 的直线l与双曲线 C 1 a 0 b 0 相交于 B D 两点 且 BD 的中 2 2 x a 2 2 y b 点为 M 1 3 1 求 C 的离心率 2 设 C 的右顶点为 A 右焦点为 F DF BF 17 求证 过 A B D 三点的圆与 x 轴相切 探究创新探究创新 16 分 某飞船返回仓顺利返回地球后 为了及时救出航天员 地面指挥中心在返回仓预计到达的区域 内安排了三个救援中心 如图 1 分别记为 A B C B 地在 A 地正东方向上 两地相距 6 km C 地在 B 地北偏东 30 方向上 两地相距 4 km 假设 P 为航天员着陆点 某一时刻 A 救援中心接到从 P 点发出的 求救信号 经过 4 s 后 B C 两个救援中心也同时接收到这一信号 已知该信号的传播速度为 1 km s 1 求 A C 两地救援中心的距离 2 求 P 相对 A 的方向角 3 试分析信号分别从 P 点处和 P 点的正上方 Q 点 如图 2 返回仓经 Q 点垂直落至 P 点 处发出时 A B 两个救援中心收到信号的时间差的变化情况 变大还是变小 并证明你的结论 3 答案解析答案解析 1 解析 选 A 由 1 的一个焦点与 x2 4y 的焦点重合知 c 1 又 b 2a 故 22 22 yx ab a2 b2 5a2 1 a2 b2 1 5 4 5 所求双曲线方程为 5y2 x2 1 选 A 5 4 2 解析 选 B 不妨设点 P 在双曲线的右支上 则 12 12 PFPF2 n PFPF2 n2 PF1 PF2 n2n n2n 又 c n1 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 F1PF2 90 1 1 2 PFF SA 12 1 PF PF 2 3 解析 选 D 因为焦点在 x 轴上与焦点在 y 轴上的离心率一样 所以不妨设双曲线方程为 2 2 x a 1 a 0 b 0 则双曲线的渐近线的斜率 k 2 2 y b b a 一个焦点坐标为 F c 0 一个虚轴的端点为 B 0 b 所以 kFB 又因为直线 FB 与双曲线的一条渐近 b c 线垂直 所以 k kFB 1 显然不符合 bb ac b a 即 b2 ac c2 a2 ac 所以 c2 a2 ac 0 即 e2 e 1 0 解得 e 负值舍去 15 2 4 变式备选 双曲线 1 a 0 b 0 的离心率为 2 则的最小值为 2 2 x a 2 2 y b 2 b1 3a A B C 2 D 1 2 3 3 3 3 解析 选 A 因为双曲线的离心率为 2 所以 2 c a 即 c 2a c2 4a2 又因为 c2 a2 b2 所以 a2 b2 4a2 即 b 3a 因此 当且仅当 a 时等号成立 2 b1 3a 2 3a1 3a 1 a 3a 1 2 3 2 3 3 1 3a 即的最小值为 2 b1 3a 2 3 3 4 解析 选 A 设双曲线的左焦点为 F1 由双曲线的定义知 MF2 MF1 10 又因为 MF2 18 所以 MF1 8 而 ON MF1 4 1 2 5 解题指南 解答本题的关键是求出点 A 的横坐标 可先设出双曲线方程 焦点 F 的坐标 求出直线 FA 的方程从而联立方程组求 A 的坐标 解析 选 B 不妨设双曲线方程为 1 2 2 x a 2 2 y b a 0 b 0 渐近线方程为 y x F c 0 b a 则直线 FA 的方程为 y x c a b 由 得 b yx a a yxc b 2 a x c ab y c 0 由 3得 c OB 2 a c OF OB 2 3a c e2 3 2 2 c a e 3 5 6 解析 选 C 设 PF1的中点为 M 因为 PF2 F1F2 所以 F2M PF1 因为 F2M 2a 在直角三角形 F1F2M 中 F1M 2b 22 2c 2a 故 PF1 4b 根据双曲线的定义得 4b 2c 2a 即 2b c a 因为 c2 a2 b2 所以 2b a 2 a2 b2 即 3b2 4ab 0 即 3b 4a 故双曲线的渐近线方程是 y 4 x 3 即 4x 3y 0 变式备选 F1 F2是双曲线 C 1 a 0 b 0 的两个焦点 P 是 C 上一点 且 F1PF2是等腰直角 2 2 x a 2 2 y b 三角形 则双曲线 C 的离心率为 A B 12 22 C D 32 32 解析 选 A 设双曲线 C 的焦距为 2c 依题设不妨令 F1F2 PF2 即 2c 2c 2 b a 22 ca a 即 2ac c2 a2 e2 2e 1 0 e 1 2 又 e 1 e 1 2 7 解析 由双曲线的性质可知 122 222 2 122 AFAF2 AF2a AFAF10 AF4c 10a2 4c2 e 2 2 c10 a4 c10 a2 答案 10 2 8 解析 双曲线的两个焦点 F1 4 0 F2 4 0 分别为两个圆的圆心 两圆的半径分别为 r1 2 r2 1 由 题意得 PM max PF1 2 PN min PF2 1 故 PM PN 的最大值为 PF1 2 PF2 1 PF1 PF2 3 5 答案 5 6 方法技巧 圆锥曲线上的点到定点距离的和 差的最值的求法 一般不用选变量建立目标函数的方法求解 而是利用该点适合圆锥曲线的定义 将所求转化为与焦点的 距离有关的最值问题 再利用数形结合法求解 9 解析 错误 当 k 0 且 k AB 表示以 A B 为焦点的双曲线的一支 当 k 0 且 k AB 时表示一条射线 当 k 0 且 k AB 时 不表示任何图形 当 k 0 时 类似同上 错误 P 是 AB 中点 且 P 到圆心与 A 的距离的平方和为定值 故 P 的轨迹应为圆 方程两根为和 2 1 2 可以作为椭圆和双曲线的离心率 故正确 由标准方程易求双曲线和椭圆的焦点坐标都为 0 34 故正确 答案 10 解析 1 PF1 2 PF2 PF1 PF2 2a PF1 4a PF2 2a PF1 PF2 4a 2 2a 2 2c 2 即 5a2 c2 e 5 2 由 1 知双曲线的方程可设为 1 渐近线方程为 y 2x 2 2 x a 2 2 y 4a 设 P1 x1 2x1 P2 x2 2x2 P x y 3x1x2 x1x2 1 OP 2 OP 27 4 9 4 2 1 PP 2 PP 0 12 12 2xx x 3 2 2xx y 3 点 P 在双曲线上 1 2 12 2 2xx 9a 2 12 2 2xx 9a 化简得 x1x2 2 9a 8 a2 2 2 9a 8 9 4 双曲线方程为 1 2 x 2 2 y 8 11 解析 1 由题意知 l的方程为 y x 2 代入 C 的方程 并化简 得 b2 a2 x2 4a2x 4a2 a2b2 0 设 B x1 y1 D x2 y2 则 x1 x2 2 22 4a ba 7 x1 x2 222 22 4aa b ba 由 M 1 3 为 BD 的中点知 1 12 xx 2 故 1 1 2 2 22 4a ba 即 b2 3a2 故 c 2a 22 ab 所以 C 的离心率 e 2 c a 2 由 知 C 的方程为 3x2 y2 3a2 A a 0 F 2a 0 x1 x2 2 x1 x2 0 2 4 3a 2 故不妨设 x1 a x2 a BF a 2x1 22 11 x2a y 222 11 x2a 3x3a FD 2x2 a 222 2 x2a y 2 222 2 x2a 3x3a BF FD a 2x1 2x2 a 4x1x2 2a x1 x2 a2 5a2 4a 8 又 BF FD 17 故 5a2 4a 8 17 解得 a 1 或 a 舍去 9 5 故 BD x1 x2 6 22 2 1212 xx4x x 连接 MA 则由 A 1 0 M 1 3 知 MA 3 从而 MA MB MD 且 MA x 轴 因此以 M 为圆心 MA 为半径的圆经过 A B D 三点 且在点 A 处与 x 轴相切 所以过 A B D 三点的圆与 x 轴相切 探究创新 解析 1 以 AB 的中点为坐标原点 AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 则 8 A 3 0 B 3 0 C 5 2 3 则 AC km 22 53 2 3 2 19 即 A C 两个救援中心的距离为km 2 19 2 PC PB 所以 P 在 BC 线段的垂直平分线上 又 PB PA 4 所以 P 在以 A B 为焦点的双曲线的左支上 且 AB 6 双曲线方程为 1 x 0 2 x 4 2 y 5 BC 的垂直平