江苏省徐州市2012-2013学年高三数学上学期期中试卷 理（解析版）苏教版

1 2012 20132012 2013 学年江苏省徐州市高三 上 期中数学试卷 理科 学年江苏省徐州市高三 上 期中数学试卷 理科 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1616 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共计分 共计 7070 分 请把答案填写在答题卡相应位分 请把答案填写在答题卡相应位 置上 置上 1 5 分 A 1 0 1 B 0 1 2 3 A B 0 1 考点 交集及其运算 专题 计算题 分析 根据交集的定义 由集合 A B 分析 A B 的公共元素 并用集合表示即可得答案 解答 解 根据题意 A 1 0 1 B 0 1 2 3 集合 A B 的公共元素为 0 1 则 A B 0 1 故答案为 0 1 点评 本题考查交集的计算 关键是理解交集的定义 2 5 分 命题 x 1 2 x2 1 的否定是 x 1 2 x2 1 考点 全称命题 命题的否定 专题 计算题 分析 利用全称命题的否定是特称命题 直接写出命题的否定即可 解答 解 因为全称命题的否定是特称命题 所以命题 x 1 2 x2 1 的否定是 x 1 2 x2 1 故答案为 x 1 2 x2 1 点评 本题考查命题的否定的应用 全称命题与特称命题互为否定关系 考查基本知识的 应用 3 5 分 设 i 为虚数单位 则 a b 考点 复数代数形式的乘除运算 专题 计算题 分析 利用复数的分母实数化 然后通过复数的相等求出 a b 即可求解 a b 的值 解答 解 因为 2 所以 a b a b 故答案为 点评 本题考查复数的相等 复数代数形式的混合运算 考查计算能力 4 5 分 在等差数列 an 中 已知该数列前 10 项的和为 S10 120 那么 a5 a6 24 考点 等差数列的前 n 项和 等差数列的性质 专题 等差数列与等比数列 分析 由等差数列的前 n 项和公式结合 S10 120 可得 a1 a10 24 然后由等差数列的性质可 得 a5 a6 a1 a10 可得答案 解答 解 由题意可得 S10 5 a1 a10 120 故 a1 a10 24 而由等差数列的性质可得 a5 a6 a1 a10 故 a5 a6 24 故答案为 24 点评 本题考查等差数列的性质以及求和公式 正确运用性质和公式是解决问题的关键 属基础题 5 5 分 已知 1 2m 2 m 则 m 1 是 的 充分不必要 条 件 填 充分不必要 必要不充分 充分必要 既不充分也不必要 之一 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 专题 探究型 分析 若 可得 0 可以求出 m 的值 再根据充分必要条件的定义进行求解 解答 解 已知 1 2m 2 m 0 2 2m2 0 解得 m 1 m 1 m 1 是 的充分不必要条件 故答案为 充分不必要 点评 此题主要考查向量垂直的性质以及内积的运算法则 是一道基础题 3 6 5 分 设直线是 y 3x b 是曲线 y ex的一条切线 则实数 b 的值是 3 3ln3 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题 计算题 导数的概念及应用 分析 先设出切点坐标 P x0 ex0 再利用导数的几何意义写出过 P 的切线方程 最后由 直线是 y 3x b 是曲线 y ex的一条切线 求出实数 b 的值 解答 解 y ex y ex 设切点为 P x0 ex0 则过 P 的切线方程为 y ex0 ex0 x x0 整理 得 y x0 直线是 y 3x b 是曲线 y ex的一条切线 3 x0 ln3 b x0 3 3ln3 故答案为 3 3ln3 点评 本题考察了导数的几何意义 解题时要注意发现隐含条件 辨别切线的类型 分别 采用不同策略解决问题 7 5 分 在 ABC 中 a 14 b 7 B 60 则边 c 7 1 考点 正弦定理 专题 计算题 解三角形 分析 在 ABC 中 a 14 b 7 B 60 利用正弦定理可求得 A 从而可求 C 再利用 正弦定理即可求得 c 解答 解 在 ABC 中 a 14 b 7 B 60 即 sinA 又 a b A B 故 A 45 C 75 由正弦定理得 14 c 14sin75 14sin 30 45 14 4 7 1 故答案为 7 1 点评 本题考查正弦定理 求得角 A 是关键 考查分析与运算能力 属于中档题 8 5 分 理 已知函数 f x x2 5x 数列 an 的通项公式 为 当 f an 14 取得最小值时 n 的所有可能取值集合为 1 6 考点 数列的函数特性 元素与集合关系的判断 专题 计算题 分析 令 g n f an 14 对其进行配方 数列 an 的通项公式为 利用均值不等式求出最小值 当 f an 14 取得最小值 时 说明 f an 越接近 14 此时 f an 14 取得最小值 从而求出 n 的所有可 能取值集合 解答 解 令 g n f an 14 an2 5an 14 an 2 20 25 可得 an n 2 要使 g n 最小 n 2要尽量接近 20 25 令 n 2 20 25 n an 2 n 2 5 7 解得 n 1 或 6 n 的所有可能取值集合为 1 6 故答案为 1 6 点评 本题主要考查了数列与函数的综合应用 同时考查了基本不等式 是一道综合性较 强的题目 属于难题 9 文 动点 P a b 在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动 则的取值范围是 7 3 考点 简单线性规划的应用 5 专题 计算题 分析 本题是不等式中线性规划的延伸题 不再求线性目标函数的最值 转而求 的取值范围 可看成是某两点的斜率问题 从而求解 解答 解 1 在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动 作出可行域的图 分析可得 P 在可行域内 B解得 B 3 3 B解得 A 3 7 W 1 是点 P a b 与点 M 4 1 连成直线的斜率值的大小变化 W 1 的最大值为斜率 kBM的值 kBM 2 W 1 的最小值为斜率 kAM的值 kAM 8 wmax 2 1 3 wmin 8 1 7 7 w 3 故答案为 7 3 点评 此题主要考查简单的线性规划问题 解题过程中用到了转化的思想 将求 w 的最值 6 问题 转化为直线的斜率问题 是一道中档题 10 5 分 下列四个命题 函数 f x xsinx 是偶函数 函数 f x sin4x cos4x 的最小正周期是 把函数 f x 3sin 2x 的图象向右平移个单位长度可以得到 f x 3sin2x 的图象 函数 f x sin x 在区间 0 上是减函数 其中是真命题的是 写出所有真命题的序号 考点 命题的真假判断与应用 专题 探究型 函数的性质及应用 分析 研究函数的奇偶性 可用偶函数的定义来证明之 先化简表达式 变成一个角的三角函数 再根据公式求出周期 函数 f x 3sin 2x 3sin 2 x 由此结合函数图象平移的规律 即可得到结论 化简函数 利用余弦函数的单调性 可得结论 解答 解 对于 由于 f x xsin x xsinx f x 故函数 f x 是偶函数 正确 对于 f x sin4x cos4x sin2x cos2x sin2x cos2x sin2x cos2x cos2x f x 的最小正周期是 T 故 正确 对于 函数 f x 3sin 2x 3sin 2 x 图象向右平移个单位 长度可以得到 f x 3sin2x 的图象 故 正确 对于 函数 f x sin x cosx 在区间 0 上是增函数 故 不 正确 综上 真命题为 故答案为 点评 本题考查函数的奇偶性 周期性 单调性 图象的变换规律 涉及知识点多 综合 性强 11 5 分 若函数在 1 1 上是单调增函数 则实 数 a 的取值范围是 考点 对数函数的单调性与特殊点 专题 计算题 分类讨论 7 分析 利用函数的单调性 确定对数的底数的范围 真数的范围以及单调性 利用分类讨 论求出结果 解答 解 因为函数在 1 1 上是单调增函数 所以当 a2 3 1 并且 x 1 时 a 4 0 a 0 函数是增函数 解得 a 2 4 当 1 a2 3 0 时 ax 4 是减函数 且 a 4 0 a 0 解得 a 综上实数 a 的取值范围是 故答案为 点评 本题考查对数函数的单调性的应用 分类讨论思想的应用 注意真数必须大于 0 防 晒霜的单调性的判断 12 2008 长宁区二模 函数 y loga x 3 1 a 0 a 1 的图象恒过定点 A 若点 A 在直线 mx ny 1 0 上 其中 mn 0 则 的最小值为 8 考点 基本不等式 专题 计算题 压轴题 分析 由题意可得定点 A 2 1 2m n 1 把要求的式子化为 4 利用基本不 等式求得结果 解答 解 由题意可得定点 A 2 1 又点 A 在直线 mx ny 1 0 上 2m n 1 则 4 4 2 8 当且仅当 时 等号成立 故答案为 8 点评 本题考查基本不等式的应用 函数图象过定点问题 把要求的式子化为 4 是解题的关键 13 5 分 已知数列 an 满足 a1 1 a2 2 对于任意的正整数 n 都有 an an 1 1 anan 1an 2 an an 1 an 2 则 S2012 4023 考点 数列的应用 数列的求和 专题 综合题 等差数列与等比数列 分析 再写一式 两式相减可推断出 an 3 an 进而可知数列 an 是以 3 为周期的数列 通 过 a1 1 a2 2 求得 a3 而 2012 3 670 2 故可知 S2012的答案 解答 解 依题意可知 anan 1an 2 an an 1 an 2 an 1anan 1 an 1 an an 1 两式相减得 anan 1 an 2 an 1 an 2 an 1 8 an an 1 1 an 2 an 1 0 即 an 3 an 数列 an 是以 3 为周期的数列 a1a2a3 a1 a2 a3 a3 3 S2012 670 1 2 3 1 2 4023 故答案为 4023 点评 本题考查数列的递推式和数列的求和问题 解题的关键是找出数列的周期性 14 5 分 已知 ABC 中 AB 边上的中线 CM 2 若动点 P 满足 则的最小值是 2 考点 平面向量数量积的运算 专题 平面向量及应用 分析 由向量式变形可推得点 P 在 CM 上 而而 故 2 又夹角为 由数量积的定义结合基本不等式可得答案 解答 解 由题意可得 又 sin2 cos2 1 所以 P M C 三点共线 即点 P 在 CM 上 而 故 2 2cos 2 由基本不等式可得 1 故 2 2 故答案为 2 点评 本题考查向量的数量积的运算和基本不等式的应用 由题意得出 P M C 三点共线 是解决问题的关键 属中档题 9 15 5 分 若函数 f x x3 ax a 0 的零点都在区间 10 10 上 则使得方程 f x 1000 有正整数解的实数 a 的取值的个数为 3 考点 函数的零点 专题 函数的性质及应用 分析 由题意根据函数 f x x3 ax a 0 的零点都在区间 10 10 上可得 a 的范围 然后对 f x 进行求导 求出函数在区间 10 10 上的最大值 然后再进行判 断 解答 解 函数 f x x3 ax a 0 的零点都在区间 10 10 上 又 f x x3 ax x x2 a 0 令 f x 0 x 0 或 x 函数 f x x3 ax a 0 的零点都在区间 10 10 上 10 a 100 f x 3x2 a 令 f x 0 解得 x 当 x 或 x 时 f x 0 函数 f x 是增函数 当 x 时 f x 0 函数 f x 是减函数 故当 x 时 函数取得极大值为 f 1000 f 10 1000 10a 1000 结合函数的单调性以及 f x x3 ax a 0 知方程 f x 1000 有正整数解在区间 10 上 此时令 x3 ax 1000 可得 x2 a 此时有 a x2 由于 x 为大于 10 的整数 由上知 x2 100 令 x 11 12 13 时 不等式成立 当 x 14 时 有 142 196 71 100 故可得 a 的值有三个 故答案为 3 点评 此题考查函数的零点与方程根的关系 解题的关键是求出 f x 在区间 10 10 上的值域 是一道好题 属于基础题 16 5 分 设 a b 均为大于 1 的自然数 函数 f x a b sinx g x b cosx 若 存在实数 m 使得 f m g m 则 a b 4 考点 两角和与差的正弦函数 专题 计算题 压轴题 10 分析 利用 f m g m 推出 sin m b 1 a 利用三角函数的有界性 推出 a b 的关系 结合 a b 均为大于 1 的自然数 讨论 a b 的范围 求出 a b 的值即可 解答 解 由 f m g m 即 a b sinm b cosm asinm cosm b ab sin m b 1 a 注 sin 1 sin m 1 b 1 a a b 均为大于 1 的自然数 1 a 0 b 1 a 0 b 1 a b a 1 b a 4 时 b 2 a 4 当 a 2 时 b b 2 当 a 3 时 b 无解 综上 a 2 b 2 a b 4 故答案为 4 点评 本题考查三角函数的有界性 基本不等式的应用 考查计算能力 转化思想 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 8 8 小题 共计小题 共计 9090 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文 字说明 证明过程或演算步骤 字说明 证明过程或演算步骤 17 14 分 2010 苏州一模 已知数列 an 满足 a1 1 a2 a a 0 数列 bn 满足 bn anan 1 n N 1 若 an 是等差数列 且 b3 12 求 a 的值及 an 的通项公式 2 若 an 是等比数列 求 bn 的前项和 Sn 考点 等比关系的确定 等差关系的确定 专题 计算题 11 分析 1 先根据 an 是等差数列表示出通项公式 再根据 b3 12 求得 a3a4的值从而可确 定 a 的值 求得 an 的通项公式 2 先根据 an 是等比数列表示出通项公式 进而可表示出 bn的表达式 根据 a2可确定数列 bn 是首项为 a 公比为 a2的等比数列 再对公比 a 等于 1 和不 等于 1 进行讨论 即可得到最后答案 解答 解 1 an 是等差数列 a1 1 a2 a a 0 an 1 n 1 a 1 又 b3 12 a3a4 12 即 2a 1 3a 2 12 解得 a 2 或 a a 0 a 2 从而 an n 2 an 是等比数列 a1 1 a2 a a 0 an an 1 则 bn anan 1 a2n 1 a2 数列 bn 是首项为 a 公比为 a2的等比数列 当 a 1 时 Sn n 当 a 1 时 Sn 点评 本题主要考查数列的通项公式的求法和数列求和 高考对数列的考查无外乎通项公 式的求法和前 n 项和的求法 对经常用到的常用方法要熟练掌握 18 14 分 在锐角 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且满足 2a c cosB bcosC 1 求角 B 的大小 2 设 试求的取值范围 考点 正弦函数的定义域和值域 二次函数在闭区间上的最值 平面向量数量积的运算 两角和与差的正弦函数 专题 计算题 分析 1 因为 2a c cosB bcosC 所以 2sinA sinC cosB sinBcosC 由 sinA 0 所以 cosB 由此能求出 B 的大小 2 因为 所以 3sinA cos2A 2 sinA 2 由 得 12 30 A 90 从而 由此能求出的取值范围 解答 解 1 因为 2a c cosB bcosC 所以 2sinA sinC cosB sinBcosC 3 分 即 2sinAcosB sinCcosB sinBcosC sin C B sinA 而 sinA 0 所以 cosB 6 分 故 B 60 7 分 2 因为 所以 3sinA cos2A 8 分 3sinA 1 2sin2A 2 sinA 2 10 分 由 得 所以 30 A 90 从而 12 分 故的取值范围是 14 分 点评 本题考查正弦函数的性质和应用 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答 注意 三角函数恒等式的合理运用 19 14 分 在边长为 a 的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形 再把它的边沿 虚线折起 如图 做成一个无盖的正三角形底铁皮箱 当箱底边长为多少时 箱子容积最 大 最大容积是多少 考点 棱柱 棱锥 棱台的体积 分析 设箱底边长为 x 根据已知中箱子的制作方法 我们可求出容积 V x 的解析式 13 求出其导函数 分析其单调性 可得到函数的最值点 代入可得答案 解答 解 设箱底边长为 x 则箱高为 h 0 x a 2 分 箱子的容积为 V x 0 x a 6 分 由 V x 0 解得 x 0 舍 x 8 分 且当 x 0 时 V x 0 当 x a 时 V x 0 所以函数 V x 在 x 处取得极大值 10 分 这个极大值就是函数 V x 的最大值 V 12 分 答 当箱子底边长为时 箱子容积最大 最大值为 14 分 点评 本题考查的知识点是棱柱的体积 导数法求最值 其中根据已知求出容积 V x 的 解析式 是解答的关键 20 16 分 理 设函数 f x x2 2x a x R a 为常数 1 当 a 2 时 讨论函数 f x 的单调性 2 若 a 2 且函数 f x 的最小值为 2 求 a 的值 3 若 a 2 不等式 f x ab2恒成立 求实数 b 的取值范围 考点 函数最值的应用 函数单调性的判断与证明 专题 综合题 函数的性质及应用 分析 1 利用绝对值的几何意义 将函数写出分段函数 即可得到函数 f x 的单调区 间 2 根据 a 2 分类讨论 确定函数的最小值 利用函数 f x 的最小值为 2 可求 a 的值 3 利用 2 的结论 问题等价于 a 1 ab2 a 2 恒成立 构造以 a 为参数的 函数 即可求得结论 解答 解 1 a 2 时 2 分 函数 y f x 的单调增区间为 1 减区间为 1 6 分 14 2 8 分 a 2 当 a 2 时 函数 y f x 的最小值为 f 1 a 1 2 解得 a 3 符合题意 10 分 当 2 a 2 时 函数 y f x 的最小值为 无解 综上 a 3 12 分 3 由 2 知 当 a 2 时函数 y f x 的最小值为 f 1 a 1 所以 a 1 ab2 a 2 恒成立 令 g a a b2 1 1 a 2 14 分 有 故 16 分 点评 本题考查分段函数 考查函数的单调性与最值 考查恒成立问题 考查学生分析解 决问题的能力 属于中档题 21 已知二次函数 f x ax2 bx 1 1 若 f x 0 的解集是 求实数 a b 的值 2 若 a 为正整数 b a 2 且函数 f x 在 0 1 上的最小值为 1 求 a 的值 考点 一元二次不等式的解法 二次函数在闭区间上的最值 专题 计算题 分析 1 由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系可以得出 ax2 bx 1 0 的解是 x1 x2 由根系关系即可求得实数 a b 的值 1 将已知中函数 f x 化为顶点式的形式 再结合函数 f x 的最小值为 1 易得一个关于 a 的方程 解方程即可求出答案 解答 解 1 不等式 ax2 bx 1 0 的解集是 故方程 ax2 bx 1 0 的两根是 x1 x2 所以 x1x2 x1 x2 所以 a 12 b 7 2 b a 2 15 f x ax2 a 2 x 1 a x 2 1 对称轴 x 当 a 2 时 x 1 f x min f 1 1 a 2 当 a 1 时 x f x min f 1 1 成立 综上可得 a 1 或 a 2 点评 本题考查的知识点是二次函数的性质 二次函数在闭区间上的最值 其中熟练掌握 二次函数的性质是解答本题的关键 22 16 分 各项为正数的数列 an 的前 n 项和为 Sn 且满足 Sn 2 n N 1 求 an 2 设函数 f n cn f 2n 4 n N 求数列 cn 的前 n 项和 Tn 3 设 为实数 对满足 m n 3k 且 m n 的任意正整数 m n k 不等式 Sm Sn Sk恒 成立 求实数 的最大值 考点 数列与不等式的综合 分段函数的解析式求法及其图象的作法 数列的函数特性 专题 计算题 压轴题 分析 1 由已知可得 Sn 2 n N 从而导出 an an 1 an an 1 2 0 而 an为正数 所以 an an 1 2 n 2 由此推出 an的通项公式 2 先求出 cn 的通项公式 然后利用等比数列求和公式求解即可 注意讨论 n 3 根据不等式 Sm Sn Sk恒成立 将参数 分离出来 研究不等式另一侧的最 值 又 m n 3k 且 m n 利用基本不等式即可求出最值 从而求出实数 的最大 值 解答 解 1 由 Sn 2 n N 得 n 2 时 Sn 1 2 n N 化简可得 an an 1 an an 1 2 0 16 又 an 0 所以当 n 2 时 an an 1 2 数列 an 成等差数列 公差为 2 又则 a1 1 an 2n 1 2 由 f n 可得 c1 f 6 f 3 a3 5 c2 f 8 f 4 f 2 f 1 a1 1 当 n 3 时 cn f 2n 4 f 2n 1 2 f 2n 2 1 2 2n 1 1 1 2n 1 1 故当 n 3 时 Tn 2n n 3 Sm Sn Sk m2d2 n2d2 c k2d2 m2 n2 k2 恒成立 又 m n 3k 且 m n 故 即 的最大值为 点评 本题考查数列的性质和应用 以及最值的研究 解题时要认真审题 注意计算能力 的培养 属于中档题 23 16 分 理 已知函数 f x x2 aln x 1 1 若函数 f x 在定义域内既有极大值又有极小值 求实数 a 的取值范围 2 证明 a 1 时 对于任意的 x1 x2 1 且 x1 x2 都有 3 是否存在最小的正整数 N 使得当 n N 时 不等式恒成立 考点 函数在某点取得极值的条件 利用导数研究函数的单调性 专题 导数的综合应用 分析 1 若函数 f x 在定义域内既有极大值又有极小值 即函数 f x 在定义域内 17 有两个不等的实根 根据二次方程根的个数与 的关系可构造关于 a 的不等式组 解出实数 a 的取值范围 2 将 a 1 代入可得函数 f x 解析式 构造函数 分析 函数 g x 在 1 上的单调性 进而根据单调性的定义可得结论 3 构造函数 h x x3 x2 ln x 1 利用导法分析函数的单调性 进而得到使 不等式恒成立的最小的正整数 N 解答 解 1 函数 f x 在定义域内既有极大值又有极小值 在 1 有两个不等实根 即 2x2 2x a 0 在 1 有两个不等实根 2 分 设 F x 2x2 2x a 则 解之得 4 分 证明 2 a 1 时 f x x2 ln x 1 令 6 分 则 当 x 1 时 g x 0 所以函数 g x 在 1 上是增函数 8 分 由已知 不妨设 1 x1 x2 则 g x1 g x2 所以 即 10 分 3 令函数 h x x3 x2 ln x 1 12 分 则 当 x 0 时 h x 0 函数 h x 在 0 上单调递增 14 分 又 h 0 0 所以当 x 0 时 恒有 h x h 0 0 即 ln x 1