2017年全国1卷高考文科数学试题及答案-

绝密绝密 启用前启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷共 5 页 满分 150 分 考生注意 1 答卷前 考生务必将自己的准考证号 姓名填写在答题卡上 考生要认真核对答题 卡上粘贴的条形码的 准考证号 姓名 考试科目 与考生本人准考证号 姓名是否一致 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑 如 需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 3 考试结束后 监考员将试题卷和答题卡一并交回 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 已知集合 A B 则 2xx 320 xx A AB B AB 3 2 xx C ABD AB R 3 2 xx 2 为评估一种农作物的种植效果 选了 n 块地作试验田 这 n 块地的亩产量 单位 kg 分别为 x1 x2 xn 下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的 是 A x1 x2 xn的平均数B x1 x2 xn的标准差 C x1 x2 xn的最大值D x1 x2 xn的中位数 3 下列各式的运算结果为纯虚数的是 A i 1 i 2B i2 1 i C 1 i 2D i 1 i 4 如图 正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图 正方形内 切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 在 正方形内随机取一点 则此点取自黑色部分的概率是 A B 1 4 8 C D 1 2 4 5 已知 F 是双曲线 C x2 1 的右焦点 P 是 C 上一点 且 PF 与 x 轴垂直 点 A 的坐 2 3 y 标是 1 3 则 APF 的面积为 A B C D 1 3 1 2 2 3 3 2 6 如图 在下列四个正方体中 A B 为正方体的两个顶点 M N Q 为所在棱的中点 则在这四个正方体中 直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是 7 设 x y 满足约束条件则 z x y 的最大值为 33 1 0 xy xy y A 0B 1C 2D 3 8 函数的部分图像大致为 sin2 1 cos x y x 9 已知函数 则 lnln 2 f xxx A 在 0 2 单调递增B 在 0 2 单调递减 f x f x C y 的图像关于直线 x 1 对称D y 的图像关于点 1 0 对称 f x f x 10 如图是为了求出满足的最小偶数 n 那么在和两个空白框中 321000 nn 可以分别填入 A A 1000 和 n n 1B A 1000 和 n n 2 C A 1000 和 n n 1D A 1000 和 n n 2 11 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 sinsin sincos 0BACC a 2 c 则 C 2 A B C D 12 6 4 3 12 设 A B 是椭圆 C 长轴的两个端点 若 C 上存在点 M 满足 22 1 3 xy m AMB 120 则 m 的取值范围是 A B 0 1 9 0 3 9 C D 0 1 4 0 3 4 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知向量 a 1 2 b m 1 若向量 a b 与 a 垂直 则 m 14 曲线在点 1 2 处的切线方程为 2 1 yx x 15 已知 tan 2 则 0 2 a cos 4 16 已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上 SC 是球 O 的直径 若平面 SCA 平面 SCB SA AC SB BC 三棱锥 S ABC 的体积为 9 则球 O 的表面积为 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 60 分 17 12 分 记 Sn为等比数列的前 n 项和 已知 S2 2 S3 6 n a 1 求的通项公式 n a 2 求 Sn 并判断 Sn 1 Sn Sn 2是否成等差数列 18 12 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 AB CD 且 90BAPCDP 1 证明 平面 PAB 平面 PAD 2 若 PA PD AB DC 且四棱锥 P ABCD 的体积为 求该四棱锥的 90APD 8 3 侧面积 19 12 分 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程 检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽 取一个零件 并测量其尺寸 单位 cm 下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件 的尺寸 抽取次序12345678 零件尺寸9 9510 129 969 9610 019 929 9810 04 抽取次序910111213141516 零件尺寸10 269 9110 1310 029 2210 0410 059 95 经计算 得 16 1 1 9 97 16 i i xx 1616 222 11 11 16 0 212 1616 ii ii sxxxx 其中为抽取的第 个零件的尺 16 2 1 8 5 18 439 i i 16 1 8 5 2 78 i i xx i i x i 寸 1 2 16i 1 求的相关系数 并回答是否可以认为这一天生产的零件 i x i 1 2 16 i r 尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小 若 则可以认为零件 0 25r 的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小 2 一天内抽检零件中 如果出现了尺寸在之外的零件 就认为这条 3 3 xs xs 生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况 需对当天的生产过程进行检 查 从这一天抽检的结果看 是否需对当天的生产过程进行检查 在之外的数据称为离群值 试剔除离群值 估计这条生 3 3 xs xs 产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差 精确到 0 01 附 样本的相关系数 ii x y 1 2 in 1 22 11 n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 0 0080 09 20 12 分 设 A B 为曲线 C y 上两点 A 与 B 的横坐标之和为 4 2 4 x 1 求直线 AB 的斜率 2 设 M 为曲线 C 上一点 C 在 M 处的切线与直线 AB 平行 且 AMBM 求直线 AB 的方程 21 12 分 已知函数 ex ex a a2x f x 1 讨论的单调性 f x 2 若 求 a 的取值范围 0f x 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的 第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C 的参数方程为 为参数 直线 l 的参数 3cos sin x y 方程为 4 1 xat t yt 为参数 1 若 a 1 求 C 与 l 的交点坐标 2 若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 求 a 17 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知函数 f x x2 ax 4 g x x 1 x 1 1 当 a 1 时 求不等式 f x g x 的解集 2 若不等式 f x g x 的解集包含 1 1 求 a 的取值范围 参考答案 一 选择题 1 A2 B3 C4 D5 A6 A 7 D8 C9 C10 D11 B12 A 二 填空题 13 714 15 16 1yx 3 10 10 36 三 解答题 17 解 1 设的公比为 由题设可得 n aq 1 2 2 1 2 1 6 aq aqq 解得 1 2 2qa 故的通项公式为 n a 2 n n a 2 由 1 可得 1 1 1 22 1 133 nn n n aq S q 由于 321 21 42222 1 2 1 2 3333 nnn nn nnn SSS 故成等差数列 12 nnn SSS 18 解 1 由已知 得90BAPCDP ABAP CDPD 由于 故 从而平面 ABCDABPD AB PAD 又平面 所以平面平面AB PABPAB PAD 2 在平面内作 垂足为PADPEAD E 由 1 知 平面 故 可得平面AB PADABPE PE ABCD 设 则由已知可得ABx 2 2 2 ADx PEx 故四棱锥的体积PABCD 3 11 33 P ABCD VABAD PEx 由题设得 故 3 18 33 x 2x 从而2 2 2 2 2PAPDADBCPBPC 可得四棱锥的侧面积为PABCD 2 1111 sin6062 3 2222 PA PDPA ABPD DCBC AAA 19 解 1 由样本数据得的相关系数为 1 2 16 i x i i 16 1 1616 22 11 8 5 2 78 0 18 0 21216 18 439 8 5 i i i ii xx i r xxi 由于 因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地 0 25r 变大或变小 2 i 由于 由样本数据可以看出抽取的第 13 个零件的尺寸在9 97 0 212xs 以外 因此需对当天的生产过程进行检查 3 3 xs xs ii 剔除离群值 即第 13 个数据 剩下数据的平均数为 1 16 9 979 92 10 02 15 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为 10 02 16 222 1 16 0 21216 9 971591 134 i i x 剔除第 13 个数据 剩下数据的样本方差为 22 1 1591 1349 2215 10 02 0 008 15 这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0 0080 09 20 解 1 设 则 1122 A x yB xy 22 12 121212 4 44 xx xxyyxx 于是直线的斜率AB 1212 12 1 4 yyxx k xx 2 由 得 2 4 x y 2 x y 设 由题设知 解得 于是 33 M xy 3 1 2 x 3 2x 2 1 M 设直线的方程为代入得AByxm 2 4 x y 2 440 xxm 当 即时 16 1 0m 1m 1 2 221xm 从而 12 2 4 2 1 ABxxm 由题设知 即 解得 2 ABMN 4 2 1 2 1 mm 7m 所以直线的方程为AB7yx 21 解 1 函数的定义域为 f x 22 2 2 xxxx fxeaeaea ea 若 则 在单调递增0a 2 x f xe 若 则由得0a 0fx lnxa 当时 ln xa 0fx 当时 ln xa 0fx 故在单调递减 在单调递增 f x ln a ln a 若 则由得0a 0fx ln 2 a x 当时 ln 2 a x 0fx 当时 ln 2 a x 0fx 故在单调递减 在单调递增 f x ln 2 a ln 2 a 2 若 则 所以0a 2 x f xe 0f x 若 则由 1 得 当时 取得最小值 0a lnxa f x 最小值为 2 ln lnfaaa 从而当且仅当 即时 2 ln0aa 1a 0f x 若 则由 1 得 当时 取得最小值 0a ln 2 a x f x 最小值为 2 3 ln ln 242 aa fa 从而当且仅当 即时 2 3 ln 0 42 a a 3 4 2ae 0f x 综上 的取值范围是a 3 4 2 1 e 22 解 1 曲线的普通方程为C 2 2 1 9 x y 当时 直线 的普通方程为1a l430 xy 由解得或 2 2 430 1 9 xy x y 3 0 x y 21 25 24 25 x y 从而与 的交点坐标为Cl 21 24 3 0 25 25 2 直线 的普通方程为 故上的点到 的距离为l440 xya C 3cos sin l 3cos4sin4 17 a d 当时 的最大值为 由题设得 所以 4a d 9 17 a 9 17 17 a 8a 当时 的最大值为 由题设得 所以 4a d 1 17 a 1 17 17 a 16a 综