多元复合函数及隐函数的微分法.ppt

一 多元复合函数求导法则 二 隐函数的求导公式 5 2 3多元复合函数的求导法则 多元函数微分学 1 基本形式的复合函数偏导数的链式法则 定理 设函数u u x y v v x y 在点 x y 处可导 在对应 x y 的点 u v 处 函数z f u v 有连续偏导数 则复合函数f u x y v x y 在点 x y 处也可导 且 多元复合函数的微分法 其中 将y固定 给自变量x以增量 x 证 于是函数u x y v x y 相应有增量 u v 从而函数z f u v 也有相应增量 z 由于f u v 可微 所以 以 x 0除上式两端 得 当 x 0时 对上式两端取极限 由定理条件即得 同理可证 上述复合函数求导法则可以推广到二元以上的多元函数 在满足定理的相应条件下 有 例如 对三元复合函数Q f u v w 其中u u x y z v v x y z w x y z 其结构图为 例 设z eucosv 解 因为 可得 2 其它形式复合函数偏导数的链式法则 例 解 故 2sinxcosx 2cosxsinx 2sin2x 2 若z f u 可导 u u x y 有连续偏导数 结构如右下图 则对复合函数z f u x y 有 3 若z f x u u x y 均具有连续偏导数 则对复合函数z f x u x y 有 例3 解 于是 因为 所以 式中的fi表示z对第i个中间变量的偏导数 i 1 2 3 有了这种记法 就不一定要明显地写出中间变量u v w 类似地 可求得 例4 设 解 在这个函数的表达式中 乘法中有复合函数 所以先用乘法求导公式 2 多元复合函数的全微分 设函数 的全微分为 可见无论u v是自变量还是中间变量 则复合函数 都可微 其全微分表达 形式都一样 这性质叫做全微分形式不变性 解 所以 5 2 4 隐函数微分法 一般地说 能用y f x z f x y 等已将因变量解出的函数 称之为显函数 如果由方程形式 F x y 0 F x y z 0 能确定出函数y f x z f x y 这种未解出因变量 只是由方程形式确定的函数称为隐函数 对于隐函数的求导或求偏导 有下面的 例 设 求 解 则 由公式得 例设函数z f x y 由方程sinz xyz确定 求 解法1 则 故 设F x y z sinz xyz 解法2 故 同理可得 方程sinz xyz两边分别对x求偏导 得 解 欲求 应先求出 再求 故 所以 所以 设F 最后以x 1 y 2 z 1代入即可 由z f x y 是由方程确定的隐函数 故 例 设 其中a b c为常数 函数可微 证 两边对x求导 解得 证明 同理 a b 于是有 即为所证 隐函数的情况是多种多样的 例如求由方程组确定的一元或多元隐函数的导数或偏导数 基本思想和方法也完全类似 在满足一定条件下 确定了隐函数 求 利用复合函数求导法则 在方程F x y u v 0及G x y u v 0两端同时对x求偏导数 但要注意到u v是自变量x y的函数 我们得到 例如 方程组 将视为未知量 用消元法解上面的线性方程组 即可求得 同理可求得 解法1方程组两端分别对x求偏导数 用消元法解此方程组得 同理 方程组两端分别对y求偏导数 解相应的未