第三章第7节 正弦定理和余弦定理

1 第三章第七节正弦定理和余弦定理第三章第七节正弦定理和余弦定理 题组一正 余弦定理的简单应用 1 2009 广东高考 已知 ABC 中 A B C 的对边分别为 a b c 若 a c 且 A 75 则 b 62 A 2 B 4 2 C 4 2 D 3362 解析 如图所示 在 ABC 中 由正弦定理得 6262 sin30sin75sin 4530 b 4 b 2 答案 A 2 在锐角 ABC 中 BC 1 B 2A 则的值等于 AC 的取值范围为 AC cosA 解析 由正弦定理得 AC sin2A BC sinA 即 2 AC 2sinAcosA 1 sinA AC cosA ABC 是锐角三角形 0 A 0 2A 0 3A 解得 A 2 2 2 6 4 由 AC 2cosA 得 AC 的取值范围为 23 答案 2 23 3 2009 全国卷 在 ABC 中 内角 A B C 的对边长分别为 a b c 已知 a2 c2 2b 且 sinAcosC 3cosAsinC 求 b 解 由余弦定理得 a2 c2 b2 2bccosA 又 a2 c2 2b b 0 所以 b 2ccosA 2 又 sinAcosC 3cosAsinC 2 sinAcosC cosAsinC 4cosAsinC sin A C 4cosAsinC sinB 4sinCcosA 由正弦定理得 sinB sinC b c 故 b 4ccosA 由 解得 b 4 题组二利用正 余弦定理判断三角形的形状 4 2010 天津模拟 在 ABC 中 cos2 a b c 分别为角 A B C 的对边 则 B 2 a c 2c ABC 的形状为 A 正三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形或直角三角形 D 等腰直角三角形 解析 cos2 cosB B 2 a c 2c cosB 1 2 a c 2c a c a2 c2 b2 2ac a c a2 c2 b2 2a2 即 a2 b2 c2 ABC 为直角三角形 答案 B 5 在 ABC 中 已知 2sinAcosB sinC 那么 ABC 一定是 A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等腰直角三角形 D 正三角形 解析 法一 因为在 ABC 中 A B C 即 C A B 所以 sinC sin A B 由 2sinAcosB sinC 得 2sinAcosB sinAcosB cosAsinB 即 sinAcosB cosAsinB 0 即 sin A B 0 又因为 A B 所以 A B 0 即 A B 所以 ABC 是等腰三角形 法二 利用正弦定理和余弦定理 2sinAcosB sinC 可化为 3 2a c 即 a2 c2 b2 c2 即 a2 b2 0 a2 c2 b2 2ac 即 a2 b2 故 a b 所以 ABC 是等腰三角形 答案 B 题组三三角形面积公式的应用 6 在 ABC 中 AB AC 1 B 则 ABC 的面积等于 3 6 A B C 或 D 或 3 2 3 4 3 23 3 2 3 4 解析 由正弦定理知 sinC AB sinC AC sinB ABsinB AC 3 2 C 或 A 或 S 或 3 2 3 2 6 3 2 3 4 答案 D 7 在 ABC 中 面积 S a2 b c 2 则 cosA A B C D 8 17 15 17 13 15 13 17 解析 S a2 b c 2 a2 b2 c2 2bc 2bc 2bccosA bcsinA sinA 4 1 cosA 16 1 cosA 1 2 2 cos2A 1 cosA 15 17 答案 B 8 2009 浙江高考 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 且满足 cos A 2 AB AC 3 2 5 5 1 求 ABC 的面积 2 若 c 1 求 a 的值 解 1 因为 cos A 2 2 5 5 所以 cosA 2cos2 1 sinA A 2 3 5 4 5 又由AB AC 3 得 bccosA 3 所以 bc 5 4 因此 S ABC bcsinA 2 1 2 2 由 1 知 bc 5 又 c 1 所以 b 5 由余弦定理 得 a2 b2 c2 2bccosA 20 所以 a 2 5 题组四正 余弦定理的综合应用 9 若 ABC 的周长等于 20 面积是 10 A 60 则 BC 边的长是 3 A 5 B 6 C 7 D 8 解析 依题意及面积公式 S bcsinA 1 2 得 10 bcsin60 得 bc 40 3 1 2 又周长为 20 故 a b c 20 b c 20 a 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 2bccos60 b2 c2 bc b c 2 3bc 故 a2 20 a 2 120 解得 a 7 答案 C 10 文 在三角形 ABC 中 已知 B 60 最大边与最小边的比为 则三角形的 3 1 2 最大角为 A 60 B 75 C 90 D 115 解析 不妨设 a 为最大边 由题意 a c sinA sinC 3 1 2 即 sinA sin 120 A 3 1 2 sinA 3 2 cosA 1 2sinA 3 1 2 3 sinA 3 cosA 33 tanA 2 A 75 3 答案 B 理 锐角 ABC 中 若 A 2B 则 的取值范围是 a b A 1 2 B 1 C 2 D 3223 解析 ABC 为锐角三角形 且 A 2B 5 Error Error B 6 4 sinA sin2B 2sinBcosB 2cosB a b sinA sinB23 答案 D 11 已知 a b c 为 ABC 的三个内角 A B C 的对边 向量 m 1 3 n cosA sinA 若 m n 且 acosB bcosA csinC 则角 B 解析 m n cosA sinA 0 3 tanA A 3 3 acosB bcosA csinC sinAcosB sinBcosA sinCsinC sin A B sin2C sinC sin2C sinC 0 sinC 1 C B 2 6 答案 6 12 文 2010 长郡模拟 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c C 3 且 2 b a b sin2C sinA sin2C 1 判断 ABC 的性状 2 若 BA BC 2 求BA BC 的取值范围 解 1 由 及正弦定理得 sinB sin2C b a b sin2C sinA sin2C B 2C 且 B 2C 若 B 2C C 3 2 B B C 舍 2 3 B 2C 则 A C ABC 为等腰三角形 2 BA BC 2 a2 c2 2ac cosB 4 cosB a c 2 a2 a2 6 而 cosB cos2C C 3 2 cosB 1 1 2 1 a2 4 3 又BA BC accosB 2 a2 BA BC 1 2 3 理 2010 广州模拟 在 ABC 中 A B C 分别是三边 a b c 的对角 设 m cos sin n cos sin m n 的夹角为 C 2 C 2 C 2 C 2 3 1 求 C 的大小 2 已知 c 三角形的面积 S 求 a b 的值 7 2 3 3 2 解 1 m n cos2 sin2 cosC C 2 C 2 又 m n m n cos 3 1 2 故 cosC 0