广西陆川县中学高二数学下学期 第9章 立体几何 立几典型例题同步作业 大纲人教版

1 立体几何立体几何 立几典型立几典型 如图 正方体中 为异面直线和的公垂线 求证 1111 ABCDABC D EF 1 ADAC 1 EFBD 如图 已知平面 相交于直线 异面直线 满足 异面直线 lab ab 的公垂线为直线 求证 a bAB lAB 证明 过点 A 作直线的平行线 设直线确定的平面为 b b a b ABbAB b 又 ABaAB alal bllb llAB 如图 长方体中 求点到平面的距离 1111 ABCDABC D 1 4 3ADAA C 11 ABC D C C1 D1 B1 A1 A B D E F A Bl b a 2 答案 12 5 中 是平面外一点 且到 ABC 90 2 4 3 2 ACBACcm BCcm P ABCPA 三点的距离都等于 求点到平面的距离 BC2 5cmPABC 答案 1 5cm 已知正方体的棱长为 求到平面的距离 1111 ABCDABC D a 1 BC 11 ADC 答案 3 3 a 在棱长为的正方体中 分别为的中点 a 1111 ABCDABC D EF 1111 DC C B 1 求证 四点共面 B D E F 2 求点到平面的距离 1 DBDEF C C1 D1 B1 A1 A B D E P A B C C1 C D B A A1 B1 D1 E C C1 D1 B1 A1 A B D F E 3 答案 1 略 2 1 3 a 如图中 平面 且 求点到平ABC 4 90 ABACBACPA ABC2PA A 面的距离 PBC 答案 2 6 3 如果直线平面 斜线与平面所成的角为 垂足BC AB 1 ABCAA 为 求证 A 2 A BC 12 coscoscos 设异面直线与所成的角为 为空间一定点 试讨论 过点与 所成的角ab50 OOab 都是的直线 有且仅有几条 090 l 答案 过点作 则相交直线的夹角为或 设直线与O 1 aa 1 bb 11 a b50 130 OA 均为角 作面于点 于点 于点 记 11 a b AB B 1 BCa C 1 BDb D 或 则有 12 AOBBOC 2 25 65 12 coscoscos A P C B 4 当时 由 得 2 25 0coscos25 2590 当时 由 得 2 65 0coscos65 6590 故当时 直线 不存在 25 l 当或时 直线 有且仅有 1 条 25 90 l 当时 直线 有且仅有 2 条 2565 l 当时 直线 有且仅有 3 条 65 l 当时 直线 有且仅有 4 条 6590 l 设异面直线与所成的角为 为空间一定点 试讨论 过点与 所成的角都ab OOab 是的直线 有且仅有 1 条 则的取值范围是 25 l 答案 50 设异面直线与所成的角为 为空间一定点 试讨论 过点与 所成的角都ab OOab 是的直线 有且仅有 2 条 则的取值范围是 40 l 答案 5080 设异面直线与所成的角为 为空间一定点 试讨论 过点与 所成的角都ab OOab 是的直线 有且仅有 3 条 则的取值范围是 40 l 答案 80 设异面直线与所成的角为 为空间一定点 试讨论 过点与 所成的角都ab OOab 是的直线 有且仅有 4 条 则的取值范围是 50 l 答案 8090 设异面直线与所成的角为 为空间一定点 试讨论 过点与 所成的角ab50 OOab 都是的直线 有且仅有 1 条 则的取值范围是 l 答案 或25 90 设异面直线与所成的角为 为空间一定点 试讨论 过点与 所成的角ab50 OOab 都是的直线 有且仅有 2 条 则的取值范围是 l 答案 2565 设异面直线与所成的角为 为空间一定点 试讨论 过点与 所成的角ab50 OOab 都是的直线 有且仅有 3 条 则的取值范围是 l 答案 65 设异面直线与所成的角为 为空间一定点 试讨论 过点与 所成的角ab50 OOab 都是的直线 有且仅有 4 条 则的取值范围是 l 答案 6590 如图 正方体中 为的中点 求证 1111 ABCDABC D P 1 DDACBDO 1 BOPA C C1 D1 B1 A1 A B D P O 5 如图 为直角梯形 且为平面外ABCD90AD 2 ABAD DCAB S ABCD 一点 平面 求证 SD ABCD SAAB SBBC 在空间四边形中 如果 那么与的关系如何 ABCD ABCD ADBC ACBD 如图 已知于 于 求证 1 90 ABCBCBB 1 B 1 CC 1 C 11 90ABC 如图 在正方体中 点在上 点在上 且 1111 ABCDABC D NBDM 1 BCCMDN 求证 平面 MN 11 AAB B S D AB C A BC C1VB1V 6 如图所示 在空间四边形中 已知平面 为的中点 PABC PAPB CB PABMPC 在上 则当在的什么位置上时 有 NABNABMNAB 答案 当在的位置使时有 NAB3 AN NB MNAB 一个四面体的所有棱长都是 四个顶点在同一个球面上 则此球的表面积为 2 答案 3 已知正四面体内接于半径为的球 求该正四面体的棱长 ABCDRO 答案 2 6 3 R 设有四个命题 底面是矩形的平行六面体是长方体 棱长相等的直四棱柱是正方体 有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 对角线相等的平行六面体是直平行六面体 以上四个命题中 真命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 A 只有 是正确的 C C1 D1 B1 A1 A B D M N P A B C M N 7 有四个命题 各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 棱锥的所有面可能都是直角三角形 四棱锥中侧面最多有四个直角三角形 正确的命题有 答案 把半径为 1 的 4 个球垒成两层放在桌上 下层 3 个 上层 1 个 两两相切 求上层小球的 球心到桌面的距离 答案 2 6 1 3 求棱长为的正四面体的外接球和内切球的表面积 a 答案 66 124 ra Ra 22 13 62 SaSa 外内 表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上 则此球的体积为 2 3 答案 2 3 在球面上有四个点 如果 两两垂直且PABCPAPBPC 求这个球的体积 PAPBPCa 答案 构造正方体 求得半径 3 2 Ra 3 3 2 Va 正方体的全面积是 它的顶点都在球面上 则这个球的表面积是 2 a 答案 2 2 a 已知过球面上三点 的截面到球心的距离等于半径的一半 且ABC 求球面面积 6 4ACBCAB 答案 3 6 54 2 RS 在半径为的球内有两个面积分别为和的平行截面 求这两个平行截10cm 2 36 cm 2 64 cm 8 面间的距离 答案 2 或 14 在半径为 1 的球面上有 三点 和 和的球面距离都是 和的ABCABAC 2 BC 球面距离是 过 作截面 求球心到截面的距离 3 ABC 答案 21 7 在四棱锥中 底面 ABCDE AD BCDE ACBC AEBE 1 求证 五点在同一个球面上 ABCDE 2 若 求 两点的球面距离 90 3 1CBECEAD BD 答案 1 略 2 2 3 用一平面截正三棱锥及其外接球 所得截面如图所示 图中为球心 若球的半径为 2 O 那么 三棱锥的侧面积是 答案 3 15 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上 若过该球球心的一个截面如图 则图 中三角形 正四面体的截面 的面积是 A B C D 2 2 3 2 23 答案 C 下列结论中 正确的是 A 过球面上两点可确定一个球大圆 B 过球面上三点可确定一个球大圆 C 过球面上两点只有一个球小圆 D 过球面上两点 这两点之间的距离小于球直径 只有一个半径最小的球小圆 答案 D 有下列命题 过球面上任意两点只能作一个球的厣 球的任意两个大圆的交点的连结是球的直径 用不过球心的截面截球 球心和截面圆心的连线垂直于截面 P AD O O 9 球面是与定点的距离等于定长的所有点的集合 其中正确的是 A B C D 答案 B 给出下列命题 正四棱柱是下多面体 直四棱柱是简单多面体 简单多面体就是凸多面体 以正四面体 各面中心为顶点的四面体仍为正四面体 其中真命题的个数为 答案 C 只有 不正确 一个多面体 每个面的边数相同 每个顶点出发的棱数也相同 若各个面的内角总和为 求这个多面体的面数 顶点数及棱数 3600 答案 每个面的边数为 3 每一个顶点的棱数为 5 30 20 12EFV 设正四面体的棱长为 将各棱长三等分 过分点将原正四面体各顶点附近截去一个小正a 四面体 试问留下的多面体是不是正多面体 答案 因为截去四个小正四面体后 各棱长虽相等 但是有 4 个面是正六边形 另 4 个面 是正三角形 不满足正多面体的定义 所以不是正多面体 在正三棱锥中 如图所示 已知 过作截面与 SABC 1 30ABASB AADESB 交于 求截面周长的最小值 SCDE 答案 截面展开 截面周长的最小值为 31 给出下列六个命题 S A B C E D 10 一个底面为多边形的棱锥内接于一个圆中 它的侧棱长都相等 一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直 一个棱锥可以有两个侧面与底面垂直 底面是正多边的棱锥 一定是正棱锥 所有侧棱长都相等的棱锥 一定是正棱锥 各侧面和底面所成二面角都相等的棱锥一定是正棱锥 其中正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 B 给出下列四个命题 两相邻侧棱所成角相等的棱锥是正棱锥 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥 侧棱与底面所成角相等的棱锥是正棱锥 侧面与底面所成角相等的棱锥是正棱锥 其中真命题的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 答案 D 设有三个命题 甲 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体 乙 底央是矩形的平行六面体是长方体 丙 直四棱柱是直平行六面体 丁 有两个面平行 其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 以上命题中 真命题的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 答案 A 有下列几个命题 有两个侧面都与底面垂直的棱柱是直棱柱 有两个对角面是矩形的棱柱是直棱柱 有一条侧棱垂直于底面两条边的棱柱是直棱柱 底面是正多边形的棱柱是正棱柱 高与侧棱 底面边长都相等的三棱柱是正棱柱 其中正确命题的序号是 答案 下面是关于四棱柱的四个命题 若有两个侧面垂直于底面 则该四棱柱为直四棱柱 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面 则该四棱柱为直四棱柱 若四个侧面两两全等 则该四棱柱为直四棱柱 若四棱柱的四条对角线两两相等 则该四棱柱为直四棱柱 其中真命题的编号是 答案 已知长方体共点的三条棱长之和为 14 对角线长为 8 那么 A 其全面积是 66 B 其全面积为 132 C 其全面积不能确定 D 这样的长方体不存在 答案 答案 D D 在正方体中 是的中点 求平面与平面所成角的 1111 ABCDABC D E 1 BB 1 AECABCD 11 大小 即平面与平面所成的角为 1 AECABCD 6 arccos 3 如下图 是正方形 是平面外一点 且 求二面角ABCDVABCDVAVBVCAB 的大小 A VBC 答案 二面角的大小为A VBC 1 arccos 3 如果二面角的平面角是锐角 点到 和棱 的距离分别为 4 和l P l2 2 那么二面角的大小为 4 2 A 或 B 或 C 或 D 或45 30 15 75 30 60 15 60 答案 B 在二面角的一个平面内有一条直线 它与棱 所成的角为 与平面l ABl45 所成的角为 则这个二面角的大小是 30 答案 或45 135 C C1 D1 B1 A1 A B D E AB C V D E 12 把长 宽分别为 4 3 的长方形沿对角线折成直二面角 求顶点和的距离 ABCDACBD 答案 337 5 已知中 平面 与平面成角 ABC 30 ABCPA ABCPCBC PBABC45 求二面角的正弦值 APBC 答案 二面角的正弦值为 APBC 10 5 如图一 在矩形中 沿对角线把矩形折成二面角ABCD4 3ABBC AC 并且点在平面内的射影落在上 DACB DABCAB 1 求证 平面 2 求二面角的大小 AD DBCDACB 答案 1 略 2 二面角的大小为DACB 5 7 arcsin 16 已知正方形外一点 满足条件的中点为 且ABCDP2 PAPDADBC E P AB C D B C A E H D A B C 13 求证 平面平面 7PE PAD ABCD 已知正方形外一点 满足条件 求证 平面ABCDP2PAPDAD 2 2PB 平面 PAD ABCD 过点引三条不共面的直线 如图 SSASBSC 若截取 90 60BSCASCASB SASBSCa 1 求证 平面平面 ABC BSC 2 求到平面的距离 SABC 答案 1 略 2 到平面的距离为 SABC 2 2 a 为平面外一点 若SABC 2 2 2SASBSCASBBSCCSA 求证 平面平面 222 sinsinsin ASC ABC D P AB C E D P AB C S C B A 14 提示 为直角三角形 在底面的射影为的外心 且外心必是斜边ABC SABC ABC 的中点 AC 如图 长方体中 并且 求沿 1111 ABCDABC D 1 ABa BCb BBc 0abc 着长