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塑性力学 第1章应力分析 应力状态三维应力状态分析三维应力状态的主应力最大剪应力等倾面上的正应力和剪应力应力罗德参数与应力罗德角应力张量的分解平衡微分方程 1 外力 体力 面力 1 体力 弹性体内单位体积上所受的外力 体力分布集度 矢量 X Y Z为体力矢量在坐标轴上的投影 单位 N m3 kN m3 说明 1 F是坐标的连续分布函数 2 F的加载方式是任意的 如 重力 磁场力 惯性力等 3 X Y Z的正负号由坐标方向确定 1 1应力状态 2 面力 作用于物体表面单位面积上的外力 面力分布集度 矢量 面力矢量在坐标轴上投影 单位 1N m2 1Pa 帕 1MN m2 106Pa 1MPa 兆帕 说明 1 F是坐标的连续分布函数 2 F的加载方式是任意的 3 的正负号由坐标方向确定 2 应力 1 一点应力的概念 内力 1 物体内部分子或原子间的相互作用力 2 由于外力作用引起的相互作用力 不考虑 M 1 M点的内力面分布集度 2 应力矢量 M点的应力 的极限方向 由外力引起的在P点的某一面上内力分布集度 应力分量 应力的法向分量 正应力 应力的切向分量 剪应力 单位 与面力相同 MPa 兆帕 应力关于坐标连续分布的 斜截面上的应力 斜截面上的总应力斜截面上的正应力和剪应力 平面应力状态 主应力与应力主向最大剪应力 摩尔应力圆 x面的应力 y面的应力 z面的应力 1 2三维应力状态 用矩阵表示 其中 只有6个量独立 剪应力互等定理 应力符号的意义 第1个下标x表示 所在面的法线方向 第2个下标y表示 的方向 应力正负号的规定 正应力 拉为正 压为负 剪应力 坐标正面上 与坐标正向一致时为正 坐标负面上 与坐标正向相反时为正 与材力中剪应力 正负号规定的区别 规定使得单元体顺时转的剪应力 为正 反之为负 在用应力莫尔圆时必须用此规定求解问题 四面体受力图 在某点处取出一无限小四面体 它的三个面分别与x y z三个轴相垂直 另一面即为任意倾斜面 其法线为v 其方向余弦为l m n pv 利用力的平衡条件 可得任意斜截面上的应力pv作用于任一斜截面上的应力向量分量可以用作用在与坐标轴垂直的三个面上的应力向量分量来表示 上式可作为力的边界条件的表达式 1 3三维应力状态的主应力 在过任一点所作任意方向的单元面积上都有正应力和剪应力 如果在某一方向剪应力为零 则此方向即称为主方向 应力主向 而这时在该面上的正应力便称为主应力 如果v方向为主应力平面的方向 则有pvx xl pvy ym pvz zn 则得几何关系 l m n不能同时为零 因此前式为包括三个未知量l m n的线性齐次方程 若有非零解 则此方程组的系数行列式应当等于零 即展开行列式得到其中 I1 I2 I3不随坐标方向不同而变 称为应力张量不变量 分别称为应力张量第一 一次 不变量 第二 二次 不变量与第三 三次 不变量 解一元三次方程 得三个主应力 1 2 3 I1 I2 I3可用主应力表示如下 求解主应力时 先求出各应力张量不变量 再解一元三次方程 例 已知一点的应力状态由如下应力分量确定 即试求主应力的值 解 求各应力张量不变量 I1 3 I2 6 I3 8 代入一元三次方程得解得 斜截面上的正应力和剪应力 设斜截面上的正应力为 v 则由投影可得若三个坐标轴的方向为主方向 且主应力大小顺序按x y z排列 则总应力为斜截面上的剪应力为 三维应力圆 三维应力状态下任意斜截面上的正应力和剪应力 在以三个主应力组成的应力圆所围成的阴影的范围之内 最大剪应力等于最大和最小正应力值之差的一半 1 4最大剪应力 主应力平面上的剪应力为零 最大剪应力位于坐标轴分角面上 而三个最大剪应力分别等于三个主应力两两之差的一半 在主应力坐标系中 1 2 3分别代表 1 2 3 主应力与最大剪应力作用面及其方向余弦 1 5等倾面上的正应力和剪应力 等倾面就是和三个主应力轴成相同角度 54 44 的面 等倾面的法线方向也与三个主应力轴成相同的角度 法线v为空间对角线 也称为等倾线 等倾面法线的方向余弦l m n可由下式确定则等倾面上的正应力和剪应力 主应力空间 以三个主应力为轴而组成的笛卡儿坐标系 若将 1 2 3轴在等倾面上投影 则在等倾面上可以得到互相成120 角的三个坐标轴 等倾面及其上应力 向量在等倾线上的投影 0向量在等倾面上的投影 0 0与轴 1在等倾面上的投影之间的夹角 称为应力状态的特征角 cos 为应力形式指数 等倾面上一点的应力状态 偏平面 如果等倾面上的正应力 0 0 如果 0 0 等倾面过原点 则此等倾面称为 平面 平面上没有正应力 只有剪应力 只有应力偏张量 所以 平面又叫偏平面 应力强度或广义剪应力 0为平均应力或静水压力 只引起物体体积的变化 i或 0只引起物体形状的变化 与应力状态有关 应力偏量分量 主应力用应力强度 平均应力与应力状态状态角表示 应力偏量主应力s1 s2 s3 0 1 2 3 3 0 应力星圆 应力星圆是以距原点O为 0的一点为圆心 以2 i 3为半径所画的圆 由圆心O 点开始作与轴O 成 角的直线 则此直线与圆的交点在O 轴上的投影即为 1 由O A线顺时针旋转120 作一直线 此直线与圆的交点在 轴上的投影即为 2 而由O A线顺时针旋转240 所作的直线与圆的交点在 轴上的投影即为 3 应力星圆 应力状态与应力星圆 例 已知应力状态为 1 150MPa 2 50MPa 3 50MPa 试画出应力星圆 解 0 150 50 50 3 50MPa故 30 应力星圆 最大剪应力用 i和 表示 应力星圆 剪应力 2的绝对值最大 1 6应力罗德参数与应力罗德角 在 平面上建立直角坐标系Oxy 取y轴方向与 2轴在 平面上投影2 一致 矢量Op在坐标轴1 上的投影长度为O p1 1 在2 上的投影长度为O p2 2 在3 上的投影长度为O p3 3 矢量Op与x轴夹角为应力罗德角 应力罗德参数与应力罗德角和应力状态特征角的关系 r r 应力罗德参数与应力罗德角 应力罗德角 应力罗德参数 洛德角 平面上的剪应力 与2 轴的垂线间的夹角 洛德参数 应力罗德参数 30 30 1 1 应力状态与应力罗德角 例 已知一点的主应力 1 3 2 3 3 试求该点的应力形式指数cos 应力罗德参数 应力状态特征角 应力罗德角 并在 平面 等倾面 上画出两个角度之间的关系 如果 1 3 3 2 2 3 则 1 3 2 3 3 1 7应力张量的分解 一点的应力状态可以用6个应力分量来表示 在给定的受力情况下 各应力分量的大小与坐标轴的方向有关 而它们作为一个整体用来表示一点应力状态的这一物理量 称为应力张量 则与坐标的选择无关 所谓张量是指在坐标变换时 按某种指定形式变化的量 张量的分量随坐标的变换而变化 应力张量是二阶张量 应力张量是二阶对称张量 应力张量 应力分