山东省2012届高三数学 第二章《平面解析几何初步》单元测试 理 新人教B版必修2

1 山东省新人教山东省新人教 B B 版版 20122012 届高三单元测试届高三单元测试 5 5 必修必修 2 2 第二章第二章 平面解析几何初步平面解析几何初步 本卷共 150 分 考试时间 120 分钟 一 选择题 本大题共 12 小题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求 的 1 直线 3ax y 1 0 与直线 a x y 1 0 垂直 则a的值是 2 3 A 1 或 B 1 或 1 3 1 3 C 或 1 D 或 1 1 3 1 3 解析 选 D 由 3a a 1 1 0 得a 或a 1 2 3 1 3 2 直线l1 ax y b 0 l2 bx y a 0 a 0 b 0 a b 在同一坐标系中的图形 大致是图中的 解析 选 C 直线l1 ax y b 0 斜率为a 在y轴上的截距为b 设k1 a m1 b 直线l2 bx y a 0 斜率为b 在y轴上的截距为a 设k2 b m2 a 由 A 知 因为l1 l2 k1 k2 0 m1 m2 0 即a b 0 b a 0 矛盾 由 B 知 k1 0m2 0 即a 0a 0 矛盾 由 C 知 k1 k2 0 m2 m1 0 即a b 0 可以成立 由 D 知 k1 k2 0 m2 0 m1 即a b 0 a 0 b 矛盾 3 已知点A 1 1 和圆C x 5 2 y 7 2 4 一束光线从A经x轴反射到圆C上 的最短路程是 A 6 2 B 8 2 C 4 D 10 6 解析 选 B 点A关于x轴对称点A 1 1 A 与圆心 5 7 的距离为 10 所求最短路程为 10 2 8 5 1 2 7 1 2 4 圆x2 y2 1 与圆x2 y2 4 的位置关系是 A 相离 B 相切 C 相交 D 内含 解析 选 D 圆x2 y2 1 的圆心为 0 0 半径为 1 圆x2 y2 4 的圆心为 0 0 半径 为 2 则圆心距 00 及直线l x y 3 0 当直线l被圆C截得 2 的弦长为 2时 a的值等于 3 A B 1 22 C 2 D 1 22 解析 选 B 圆心 a 2 到直线l x y 3 0 的距离d 依题意 a 2 3 2 a 1 2 2 2 4 解得a 1 a 1 2 2 3 2 2 6 与直线 2x 3y 6 0 关于点 1 1 对称的直线是 A 3x 2y 6 0 B 2x 3y 7 0 C 3x 2y 12 0 D 2x 3y 8 0 解析 选 D 所求直线平行于直线 2x 3y 6 0 设所求直线方程为 2x 3y c 0 由 2 3 c 22 32 2 3 6 22 32 c 8 或c 6 舍去 所求直线方程为 2x 3y 8 0 7 若直线y 2 k x 1 与圆x2 y2 1 相切 则切线方程为 A y 2 1 x 3 4 B y 2 x 1 3 4 C x 1 或y 2 1 x 3 4 D x 1 或y 2 x 1 3 4 解析 选 B 数形结合答案容易错选 D 但要注意直线的表达式是点斜式 说明直线的斜 率存在 它与直线过点 1 2 要有所区分 8 圆x2 y2 2x 3 与直线y ax 1 的公共点有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 随a值变化而变化 解析 选 C 直线y ax 1 过定点 0 1 而该点一定在圆内部 9 过P 5 4 作圆C x2 y2 2x 2y 3 0 的切线 切点分别为A B 四边形PACB的 面积是 A 5 B 10 C 15 D 20 解析 选 B 圆C的圆心为 1 1 半径为 5 PC 5 5 1 2 4 1 2 PA PB 2 52 5 25 S 2 2 10 1 255 10 若直线mx 2ny 4 0 m n R R n m 始终平分圆x2 y2 4x 2y 4 0 的周长 则mn的取值范围是 A 0 1 B 0 1 C 1 D 1 解析 选 C 圆x2 y2 4x 2y 4 0 可化为 x 2 2 y 1 2 9 直线 mx 2ny 4 0 始终平分圆周 即直线过圆心 2 1 所以 2m 2n 4 0 即 m n 2 mn m 2 m m2 2m m 1 2 1 1 当m 1 时等号成立 此时n 1 与 m n 矛盾 所以mn 1 3 11 已知直线l y x m与曲线y 有两个公共点 则实数m的取值范围是 1 x2 A 2 2 B 1 1 C 1 D 222 解析 选 C 曲线y 表示单位圆的上半部分 画出直线l与曲线在同一坐标系 1 x2 中的图象 可观察出仅当直线l在过点 1 0 与点 0 1 的直线与圆的上切线之间时 直线 l与曲线有两个交点 当直线l过点 1 0 时 m 1 当直线l为圆的上切线时 m 注 m 直线l为下切线 22 12 过点P 2 4 作圆O x 2 2 y 1 2 25 的切线l 直线m ax 3y 0 与直线 l平行 则直线l与m的距离为 A 4 B 2 C D 8 5 12 5 解析 选 A 点P在圆上 切线l的斜率k 1 kOP 1 1 4 2 2 4 3 直线l的方程为y 4 x 2 4 3 即 4x 3y 20 0 又直线m与l平行 直线m的方程为 4x 3y 0 故两平行直线的距离为d 4 0 20 42 3 2 二 填空题 本大题共 4 小题 请把答案填在题中横线上 13 过点A 1 1 B 1 1 且圆心在直线x y 2 0 上的圆的方程是 解析 易求得AB的中点为 0 0 斜率为 1 从而其垂直平分线为直线y x 根据圆 的几何性质 这条直线应该过圆心 将它与直线x y 2 0 联立得到圆心O 1 1 半径 r OA 2 答案 x 1 2 y 1 2 4 14 过点P 2 0 作直线l交圆x2 y2 1 于A B两点 则 PA PB 解析 过P作圆的切线PC 切点为C 在 Rt POC中 易求 PC 由切割线定理 3 PA PB PC 2 3 答案 3 15 若垂直于直线 2x y 0 且与圆x2 y2 5 相切的切线方程为ax 2y c 0 则ac 的值为 解析 已知直线斜率k1 2 直线ax 2y c 0 的斜率为 两直线垂直 a 2 2 1 得a 1 圆心到切线的距离为 即 c 5 故 a 25 c 55 ac 5 答案 5 16 若直线 3x 4y m 0 与圆x2 y2 2x 4y 4 0 没有公共点 则实数m的取值范 围是 解析 将圆x2 y2 2x 4y 4 0 化为标准方程 4 得 x 1 2 y 2 2 1 圆心为 1 2 半径为 1 若直线与圆无公共点 即圆心到直 线的距离大于半径 即d 1 3 1 4 2 m 32 42 m 5 5 m 0 或m 10 答案 0 10 三 解答题 本大题共 6 小题 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 17 三角形ABC的边AC AB的高所在直线方程分别为 2x 3y 1 0 x y 0 顶点 A 1 2 求BC边所在的直线方程 解 AC边上的高线 2x 3y 1 0 所以kAC 3 2 所以AC的方程为y 2 x 1 3 2 即 3x 2y 7 0 同理可求直线AB的方程为x y 1 0 下面求直线BC的方程 由Error 得顶点C 7 7 由Error 得顶点B 2 1 所以kBC 直线BC y 1 x 2 2 3 2 3 即 2x 3y 7 0 18 一束光线l自A 3 3 发出 射到x轴上 被x轴反射后与圆 C x2 y2 4x 4y 7 0 有公共点 1 求反射光线通过圆心C时 光线l所在直线的方程 2 求在x轴上 反射点M的横坐标的取值范围 解 圆C的方程可化为 x 2 2 y 2 2 1 1 圆心C关于x轴的对称点为C 2 2 过点A C 的直线的方程x y 0 即为 光线l所在直线的方程 2 A关于x轴的对称点为A 3 3 设过点A 的直线为y 3 k x 3 当该直线与圆C相切时 有 1 解得k 或k 2k 2 3k 3 1 k2 4 3 3 4 所以过点A 的圆C的两条切线分别为y 3 x 3 y 3 x 3 4 3 3 4 令y 0 得x1 x2 1 3 4 所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是 1 3 4 19 已知圆x2 y2 2x 4y m 0 1 此方程表示圆 求m的取值范围 2 若 1 中的圆与直线x 2y 4 0 相交于M N两点 且OM ON O为坐标原点 求 m的值 3 在 2 的条件下 求以MN为直径的圆的方程 解 1 方程x2 y2 2x 4y m 0 可化为 x 1 2 y 2 2 5 m 此方程表示圆 5 m 0 即m 5 2 Error 消去x得 4 2y 2 y2 2 4 2y 4y m 0 化简得 5y2 16y m 8 0 5 设M x1 y1 N x2 y2 则 Error 由OM ON得y1y2 x1x2 0 即y1y2 4 2y1 4 2y2 0 16 8 y1 y2 5y1y2 0 将 两式代入上式得 16 8 5 0 16 5 m 8 5 解之得m 8 5 3 由m 代入 5y2 16y m 8 0 8 5 化简整理得 25y2 80y 48 0 解得y1 y2 12 5 4 5 x1 4 2y1 x2 4 2y2 4 5 12 5 M N 4 5 12 5 12 5 4 5 MN的中点C的坐标为 4 5 8 5 又 MN 12 5 4 5 2 4 5 12 5 2 8 5 5 所求圆的半径为 4 5 5 所求圆的方程为 2 2 x 4 5 y 8 5 16 5 20 已知圆O x2 y2 1 和定点A 2 1 由圆O外一点P a b 向圆O引切线PQ 切点 为Q PQ PA 成立 如图 1 求a b间关系 2 求 PQ 的最小值 3 以P为圆心作圆 使它与圆O有公共点 试在其中求出半径最小的圆的方程 解 1 连接OQ OP 则 OQP为直角三角形 又 PQ PA 6 所以 OP 2 OQ 2 PQ 2 1 PA 2 所以a2 b2 1 a 2 2 b 1 2 故 2a b 3 0 2 由 1 知 P在直线l 2x y 3 0 上 所以 PQ min PA min 为A到直线l的距离 所以 PQ min 2 2 1 3 22 12 2 5 5 或由 PQ 2 OP 2 1 a2 b2 1 a2 9 12a 4a2 1 5a2 12a 8 5 a 1 2 2 0 8 得 PQ min 2 5 5 3 以P为圆心的圆与圆O有公共点 半径最小时为与圆O相切的情形 而这些半径的 最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径 圆心P为过原点与l垂直的直线l 与l的 交点P0 所以r 1 1 3 22 12 3 5 5 又l x 2y 0 联立l 2x y 3 0 得P0 6 5 3 5 所以所求圆的方程为 x 2 y 2 1 2 6 5 3 5 3 5 5 21 有一圆与直线l 4x 3y 6 0 相切于点A 3 6 且经过点B 5 2 求此圆的方 程 解 法一 由题意可设所求的方程为 x 3 2 y 6 2 4x 3y 6 0 又因为此 圆过点 5 2 将坐标 5 2 代入圆的方程求得 1 所以所求圆的方程为 x2 y2 10 x 9y 39 0 法二 设圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 则圆心为C a b 由 CA CB CA l 得 Error 解得Error 所以所求圆的方程为 x 5 2 y 2 9 2 25 4 法三 设圆的方程为x2 y2 Dx Ey F 0 由CA l A 3 6 B 5 2 在圆上 得 Error 解得Error 所以所求圆的方程为x2 y2 10 x 9y 39 0 法四 设圆心为C 则CA l 又设AC与圆的另一交点为P 则CA的方程为 y 6 x 3 3 4 即 3x 4y 33 0 又因为kAB 2 6 2 3 5 所以kBP 所以直线BP的方程为x 2y 1 0 1 2 解方程组Error 得Error 所以P 7 3 所以圆心为AP的中点 5 半径为 AC 9 2 5 2 所以所求圆的方程为 x 5 2 y 2 9 2 25 4 22 如图在平面直角坐标系xOy中 已知圆C1 x 3 2 y 1 2 4 和圆C2 x 4 2 y 5 2 4 1 若直线l过点A 4 0 且被圆C1截得的弦长为 2 求直线l的方程 3 2 设P为平面上的点 满足 存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2 它们分 别与圆C1和C2相交 且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等 试求所 7 有满足条件的点P的坐标 解 1 由于直线x 4 与圆C1不相交 所以直线l的斜率存在 设直线l的方程为 y k x 4 圆C1的圆心到直线l的距离为d 因为圆C1被直线l截得的弦长为 2 所以 3 d 1 22 3 2 由点到直线的距离公式得d 1 k 3 4 1 k2 从而k 24k 7 0 即k 0 或k 7 24 所以直线l的方程为y 0 或 7x 24y 28 0 2 设点P a b 满足条件 不妨设直线l1的方程为y b k x a k 0 则直线l2 的方程为y b x a 因为圆C1和C2的半径相等 且圆C1被直线l1截