第三章第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1 第三章第三章 第五节第五节 两角和与差的正弦 余弦和正切公式两角和与差的正弦 余弦和正切公式 题组一三角函数的化简 求值 1 的值是 2cos10 sin20 sin70 A B C D 1 2 3 232 解析 原式 2cos 30 20 sin20 sin70 2 cos30 cos20 sin30 sin20 sin20 sin70 3cos20 cos20 3 答案 C 2 2的化简结果是 2 2cos81 sin8 A 4cos4 2sin4 B 2sin4 C 2sin4 4cos4 D 2sin4 解析 原式 2 4cos24 sin4 cos4 2 2 cos4 2 sin4 cos4 4 cos4 0 sin4 cos4 5 4 3 2 原式 2cos4 2 cos4 sin4 2sin4 答案 D 3 2010 辽宁模拟 已知 均为锐角 且 tan 则 tan cos sin cos sin 解析 tan cos sin cos sin tan tan 1 tan 1 tan 4 又 均为锐角 即 4 4 tan tan 1 4 答案 1 2 题组二给值求值问题 4 sin x 则 sin2x 的值为 4 3 5 A B C D 7 25 14 25 16 25 19 25 解析 sin x 4 3 5 cosx sinx cosx sinx 2 2 2 2 2 2 3 5 cosx sinx 3 2 5 cosx sinx 2 1 sin2x 18 25 sin2x 7 25 答案 A 5 已知 为钝角 且 sin 则 cos 的值为 12 1 3 5 12 A B C D 2 2 3 6 2 2 3 6 2 2 3 6 2 2 3 6 解析 为钝角 且 sin 12 1 3 cos 12 2 2 3 cos cos cos cos sin 5 12 12 3 12 3 12 sin 3 2 2 3 1 2 1 3 3 2 2 2 3 6 答案 C 6 已知 cos x x 4 2 10 2 3 4 1 求 sinx 的值 2 求 sin的值 2x 3 解 1 法一 因为 x 2 3 4 3 所以 x 4 4 2 sin x 4 1 cos2 x 4 7 2 10 sinx sin x 4 4 sin x cos cos x sin 4 4 4 4 7 2 10 2 2 2 10 2 2 4 5 法二 由题设得cosx sinx 2 2 2 2 2 10 即 cosx sinx 1 5 又 sin2x cos2x 1 从而 25sin2x 5sinx 12 0 解得 sinx 或 sinx 4 5 3 5 因为 x 所以 sinx 2 3 4 4 5 2 因为 x 2 3 4 故 cosx 1 sin2x 1 4 5 2 3 5 sin2x 2sinxcosx 24 25 cos2x 2cos2x 1 7 25 所以 sin sin2xcos cos2xsin 2x 3 3 3 24 7 3 50 题组三给值求角问题 7 已知 A B 均为钝角 且 sinA sinB 则 A B 等于 5 5 10 10 4 A B C 或 D 5 4 7 4 5 4 7 4 9 4 解析 由已知可得 cosA cosB 2 5 5 3 10 10 cos A B cosAcosB sinAsinB 2 2 又 A B 2 2 A B 2 A B 7 4 答案 B 8 在 ABC 中 3sinA 4cosB 6 4sinB 3cosA 1 则 C 等于 A 30 B 150 C 30 或 150 D 60 或 120 解析 已知两式两边分别平方相加 得 25 24 sinAcosB cosAsinB 25 24sin A B 37 sin A B sinC C 30 或 150 1 2 当 C 150 时 A B 30 此时 3sinA 4cosB 3sin30 4cos0 这与 11 2 3sinA 4cosB 6 相矛盾 C 30 答案 A 9 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 以 Ox 轴为始边作两个锐角 它们的终边分 别 与单位圆相交于 A B 两点 已知 A B 的横坐标分别为 2 10 2 5 5 1 求 tan 的值 2 求 2 的值 解 1 由已知条件及三角函数的定义可知 cos cos 因 为锐角 故 2 10 2 5 5 sin 0 从而 sin 同理可得 sin 因此 tan 7 tan 1 cos2 7 2 10 5 5 1 2 所以 tan 3 tan tan 1 tan tan 7 1 2 1 7 1 2 5 2 tan 2 tan 1 3 1 2 1 3 1 2 又 0 0 故 0 2 2 2 3 2 从而由 tan 2 1 得 2 3 4 题组四公式的综合应用 10 2010 晋城模拟 已知向量 a sin 1 b 4 4cos 若 a b 则 sin 63 等于 4 3 A B C D 3 4 1 4 3 4 1 4 解析 a b 4sin 4cos 63 2sin 6cos 4sin 0 333 33 sin 3 1 4 sin sin 4 3 3 1 4 答案 B 11 已知 cos sin 则 sin 的值为 6 4 5 3 7 6 解析 cos sin cos sin 6 3 2 3 2 4 5 3 cos sin 1 2 3 2 4 5 sin sin sin cos 7 6 6 3 2 1 2 4 5 答案 4 5 6 12 文 已知点 M 1 cos2x 1 N 1 sin2x a x R a R a 是常数 设 y 3 O 为坐标原点 OM ON 1 求 y 关于 x 的函数关系式 y f x 并求 f x 的最小正周期 2 若 x 0 时 f x 的最大值为 4 求 a 的值 并求 f x 在 0 上的最小值 2 2 解 1 依题意得 1 cos2x 1 1 sin2x a OM ON 3 y 1 cos2x sin2x a 2sin 2x 1 a 3 6 f x 的最小正周期为 2 若 x 0 则 2x 2 6 6 7 6 sin 2x 1 1 2 6 此时 ymax 2 1 a 4 a 1 ymin 1 1 1 1 理 已知 为锐角 向量 a cos sin b cos sin c 1 2 1 2 1 若 a b a c 求角 2 的值 2 2 3 1 4 2 若 a b c 求 tan 的值 解 1 a b cos sin cos sin cos cos sin sin cos 2 2 a c cos sin 1 2 1 2 cos sin 1 2 1 2 3 1 4 又 0 0 2 2 2 2 由 得 由 得 4 6 7 由 为锐角 5 12 从而 2 2 3 2 由 a