高中数学解析几何专题之椭圆(汇总解析版)

高中数学讲义之解析几何 1 圆锥曲线第圆锥曲线第 1 讲讲 椭圆椭圆 知识要点知识要点 1 椭圆的定义椭圆的定义 1 椭圆的第一定义 椭圆的第一定义 平面内到两个定点 1 F 2 F 的距离之和等于定长 a2 21 2FFa 的点的轨迹叫椭圆 这 两个定点叫做椭圆的焦点 两个焦点之间的距离叫做焦距 注注 1 在椭圆的定义中 必须强调 到两个定点的距离之和 记作 a2 大于这两个定点之 间的距离 21F F 记作 c2 否则点的轨迹就不是一个椭圆 具体情形如下 当 ca22 时 点的轨迹是椭圆 当 ca22 时 点的轨迹是线段 21F F 当 ca22 时 点的轨迹不存在 注注 2 若用表示动点 则椭圆轨迹的几何描述法为 aMFMF2 21 ca22 M cFF2 21 即 2121 FFMFMF 注注 3 凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题 通常可利用椭圆的第一定义求解 即隐含 条件 aMFMF2 21 千万不可忘记 2 椭圆的第二定义 椭圆的第二定义 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e 10 e 的点的轨迹叫 做椭圆 2 椭圆的标准方程椭圆的标准方程 1 焦点在x轴 中心在坐标原点的椭圆的标准方程是 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 2 焦点在 y 轴 中心在坐标原点的椭圆的标准方程是 1 2 2 2 2 b x a y 0 ba 注注 1 若题目已给出椭圆的标准方程 那其焦点究竟是在x轴还是在 y 轴 主要看长半轴 高中数学讲义之解析几何 2 跟谁走 长半轴跟x走 椭圆的焦点在x轴 长半轴跟 y 走 椭圆的焦点在 y 轴 1 注注 2 求椭圆的方程通常采用待定系数法 若题目已指明椭圆的焦点的位置 则可设 其方程为 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 或 1 2 2 2 2 b x a y 0 ba 若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在x轴上还是 y 轴上 则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 1 22 nymx 0 m 0 n 且 nm 3 椭圆的性质椭圆的性质 以标准方程 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 为例 其他形式的方程可用同样的方法得到相关结 论 1 范围 axa byb 2 对称性 关于x轴 y 轴轴对称 关于坐标原点中心对称 3 顶点 左右顶点分别为 0 1 aA 0 2 aA 上下顶点分别为 0 1 bB 0 2 bB 4 长轴长为 a2 短轴长为 b2 焦距为 c2 5 长半轴a 短半轴b 半焦距c之间的关系为 222 cba 6 准线方程 c a x 2 7 焦准距 c b2 8 离心率 a c e 且 10 e e越小 椭圆越圆 e越大 椭圆越扁 9 焦半径 若 00 yxP 为椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 在第一象限内一点 则由椭圆的第二定义 有 01 exaPF 02 exaPF 10 通径长 a b2 2 注注 1 椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准线的距离 以椭圆的右焦点 0 2 cF 和右 高中数学讲义之解析几何 3 准线l c a x 2 为例 可求得其焦准距为 c b c ca c c a 2222 注注 2 椭圆的焦点弦指的是由过椭圆的某一焦点与该椭圆交于不同两点的直线所构成的弦 椭圆的通径指的是过椭圆的某一焦点且垂直于其对称轴的弦 通径是椭圆的所有焦点弦中 最短的弦 设椭圆的方程为 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 过其焦点 0 2 cF 且垂直于x轴的 直线交该双曲线于A B两点 不妨令点A在x轴的上方 则 2 a b cA 2 a b cB 于 是该椭圆的通径长为 a b a b a b AB 222 2 4 关于椭圆的标准方程 需要注意的几个问题关于椭圆的标准方程 需要注意的几个问题 1 关于椭圆的标准方程 最基本的两个问题是 其一 当题目已指明曲线的位置特征 并给出了 特征值 指a b c的值或它们之间的关系 由这个关系结合 222 bac 我们可以确定出a b c的值 时 我们便能迅速准确地写出椭圆的标准方程 其二 当题目已给出椭圆的标准方程时 我们便能准确地判断出曲线的位置特征 并能得到a b c的值 2 椭圆的标准方程中的参数a b c是椭圆所固有的 与坐标系的建立无关 a b c三者之间的关系 222 bac 必须牢固掌握 3 求椭圆的标准方程 实质上是求椭圆的标准方程中的未知参数a b 根据题目已知 条件 我们列出以a b为未知参数的两个方程 联立后便可确定出a b的值 特别需 要注意的是 若题目中已经指明椭圆的焦点在x轴或 y 轴上 则以a b为未知参数的方 程组只有一个解 即a b只有一个值 若题目未指明椭圆的焦点在哪个轴上 则以a b为未知参数的方程组应有两个解 即a b应有两个值 4 有时为方便解题 中心在坐标原点的椭圆的方程也可设为 1 22 nymx 但此时m n必须满足条件 0 m 0 n 且 nm 5 点与椭圆的位置关系点与椭圆的位置关系 高中数学讲义之解析几何 4 点 00 yxP 与椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 的位置关系有以下三种情形 若 1 2 2 0 2 2 0 b y a x 则点 00 yxP 在椭圆上 若 1 2 2 0 2 2 0 b y a x 则点 00 yxP 在椭圆外 若 1 2 2 0 2 2 0 b y a x 则点 00 yxP 在椭圆内 例题选讲例题选讲 题型题型 1 椭圆定义的应用 椭圆定义的应用 1 平面内存在一动点M到两个定点 1 F 2 F 的距离之和为常数 a2 21 2FFa 则点 M的轨迹是 A 圆 B 椭圆 C 线段 D 椭圆或线段 解 解 由题意知 2121 2FFaMFMF 当 21 2FFa 时 点M的轨迹是椭圆 当 21 2FFa 时 点M的轨迹是线段 21F F 故点M的轨迹是椭圆或线段 2 已知圆C 36 1 22 yx 点 0 1 A M是圆C上任意一点 线段AM的中垂 线l和直线CM相交于点Q 则点Q的轨迹方程为 解 解 圆C 36 1 22 yx 的圆心坐标为 0 1 C 半径 6 r 连接QA 由l是直线AM的中垂线知 QAQM 6 rCMQCQMQCQA 而 2 AC ACQCQA 于是点Q的轨迹是以 0 1 A 0 1 C 为左右焦点的椭圆 其中 62 a 22 c 高中数学讲义之解析几何 5 3 a 1 c 819 222 cab 又该椭圆的中心为坐标原点 故点Q的轨迹方程为 1 89 22 yx 3 已知点 0 3 A 点Q是圆 4 22 yx 上的一个动点 线段 AQ 的垂直平分线交圆的 半径OQ于点P 当点Q在圆周上运动时 点P的轨迹方程为 解 解 圆O 4 22 yx 的圆心坐标为 0 0 O 半径 2 r 连接PA 由l是直线 AQ 的垂直平分线知 PAPQ 2 rOQPQPOPAPO 而 3 OA OAPAPO 于是点P的轨迹是以 0 0 O 0 3 A 为左右焦点的椭圆 其中 22 a 32 c 1 a 2 3 c 4 1 4 3 1 222 cab 又该椭圆的中心为OA的中点 2 3 0 2 3 0 OA 故点P的轨迹方程为 1 4 1 2 3 2 2 y x 注 注 本题点P的轨迹方程虽是椭圆 但该椭圆不关于坐标原点对称 而是关于点 0 2 3 对称 其方程可由把椭圆 1 4 1 2 2 y x 沿x轴向右平移了 2 3 个单位得到 4 方程 22222 22 yxyxyx 表示的曲线是 A 椭圆 B 双曲线 C 抛物线 D 线段 高中数学讲义之解析几何 6 解 解 由 22222 22 yxyxyx 有 1 0 2 2 2 2 1 1 22 yx yx 这表明 点 yxP 到定点 1 1 F 的距离与它到定直线l 02 yx 的距离之比等于常 数 2 2 1 2 2 0 由椭圆的第二定义知 点 yxP 的轨迹是椭圆 即方程 22222 22 yxyxyx 表示的曲线是椭圆 5 椭圆 1 312 22 yx 的左 右焦点分别为 1 F 2 F 点P在椭圆上 若线段 1 PF 的中点在 y 轴上 则 1 PF 是 2 PF 的 A 7 倍 B 5 倍 C 4 倍 D 3 倍 解 解 在椭圆 1 312 22 yx 中 9312 3 12 22222 bacba 3 3 32 cba 于是 0 3 0 3 21 FF 又 线段 1 PF 的中点在 y 轴上 而O是线段 21F F 的中点 轴yPF2 于是 轴xPF 2 法一 在 12F PFRt 中 2 21 2 2 2 1 FFPFPF 36944 2 2 212121 cFFPFPFPFPF 又由椭圆的定义 有 343222 21 aPFPF 33 34 36 21 PFPF 高中数学讲义之解析几何 7 联立 得 2 37 2 3334 1 PF 2 3 2 37 34 2 PF 故 7 2 3 2 37 2 1 PF PF 即 1 PF 是 2 PF 的 7 倍 法二 2 3 32 3 2 2 a b PF 而 343222 21 aPFPF 2 37 2 3 34 1 PF 故 7 2 3 2 37 2 1 PF PF 即 1 PF 是 2 PF 的 7 倍 6 设 1 F 2 F 为椭圆 1 49 22 yx 的两个焦点 P为椭圆上的一点 已知P 1 F 2 F 是一 个直角三角形的三个顶点 且 21 PFPF 则 2 1 PF PF 解 解 在椭圆 1 49 22 yx 中 549 4 9 22222 bacba 5 2 3 cba 于是 0 5 1 F 0 5 2 F 当 90 21 PFF 时 20544 2 2 21 2 2 2 1 cFFPFPF 又 6322 21 aPFPF 8 2 2036 2 2 2 2 1 2 21 21 PFPFPFPF PFPF 于是 484364 21 2 21 2 21 PFPFPFPFPFPF 又 21 PFPF 高中数学讲义之解析几何 8 2 21 PFPF 联立 得 4 2 26 1 PF 246 2 PF 于是此时 2 2 4 2 1 PF PF 当 90 12 FPF 时 2 21 2 2 2 1 FFPFPF 20544 2 2 212121 cFFPFPFPFPF 而 6322 21 aPFPF 3 10 6 20 21 PFPF 联立 得 3 14 6 28 2 3 10 6 1 PF 3 4 3 14 6 2 PF 于是此时 2 7 3 4 3 14 2 1 PF PF 故 2 1 PF PF 的值为 2 或2 7 题型题型 2 求椭圆的方程 求椭圆的方程 7 1 若方程 1 35 22 k y k x 表示椭圆 则k的取值范围是 2 若方程 1 35 22 k y k x 表示焦点在x轴上的椭圆 则k的取值范围是 3 若方程 1 35 22 k y k x 表示焦点在 y 轴上的椭圆 则k的取值范围是 解 解 1 方程 1 35 22 k y k x 表示椭圆 高中数学讲义之解析几何 9 5443 35 03 05 kk kk k k 或 故当 5 4 4 3 k 时 方程 1 35 22 k y k x 表示椭圆 2 方程 1 35 22 k y k x 表示焦点在x轴上的椭圆 43 35 03 05 k kk k k 故当 4 3 k 时 方程 1 35 22 k y k x 表示焦点在x轴上的椭圆 3 方程 1 35 22 k y k x 表示焦点在 y 轴上的椭圆 54 53 03 05 k kk k k 故当 5 4 k 时 方程 1 35 22 k y k x 表示焦点在 y 轴上的椭圆 8 已知椭圆 1 4 22 m yx 的焦距为 2 则m 解 解 由题意知 22 c 1 c 于是 1 222 cba 当椭圆 1 4 22 m yx 的焦点在x轴上时 4 2 a mb 2 于是由 式 有 314 mm 当椭圆 1 4 22 m yx 的焦点在 y 轴上时 ma 2 4 2 b 于是由 式 有 514 mm 故m的值为 3 或 5 高中数学讲义之解析几何 10 9 已知椭圆以坐标轴为对称轴 且长轴是短轴的 3 倍 并且经过点 0 3 P 则该椭圆的方 程为 解 解 由题设条件知 baba3232 当椭圆的焦点在x轴上时 设其方程为 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 则由该椭圆过点 0 3 P 有 1 09 22 ba 联立 得 9 2 a 1 2 b 于是此时该椭圆的方程为 1 9 2 2 y x 当该椭圆的焦点在 y 轴上时 设其方程为 1 2 2 2 2 b x a y 0 ba 则由该椭圆过点 0 3 P 有 1 90 22 ba 联立 得 9 2 b 81 2 a 于是此时该椭圆的方程为 1 981 22 xy 故所求椭圆的方程为 1 9 2 2 y x 或 1 981 22 xy 10 已知椭圆的中心在坐标原点 以坐标轴为对称轴 且经过两点 1 6 1 P 2 3 2 P 则椭圆的方程为 解 解 设所求椭圆的方程为 1 22 nymx 0 m 0 n 且 nm 则由该椭圆过 1 6 1 P 2 3 2 P 两点 有 123 16 nm nm 解得 3 1 9 1 n m 高中数学讲义之解析几何 11 故所求椭圆的方程为 1 3 1 9 1 22 yx 即 1 39 22 yx 11 在平面直角坐标系 xoy中 椭圆C 的中心为坐标原点 焦点 1 F 2 F 在x轴上 离心率 为 2 2 若过 1 F 的直线l交C于A B两点 且 2 ABF 的周长为 16 那么C的方程为 解 解 由椭圆C的中心在坐标原点 焦点在x轴上 可设其方程为 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 16 2 ABF C 16 22 AFBFAB 而 11 AFBFAB 162216 21212211 aaAFAFBFBFAFBFAFBF 即 164 a 于是 4 a 又 2 2 a c e 224 2 2 2 2 ac 于是 8816 222 cab 故椭圆C的方程为 1 816 22 yx 题型题型 3 椭圆的性质 椭圆的性质 12 椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为 5 最大值为 15 则椭圆的方程为 高中数学讲义之解析几何 12 解 解 不妨设所求椭圆的方程为 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 设 yxP 是该椭圆上任意一点 0 cF 是其一个焦点 令 sin cos by ax 20 则 2222222 sincos2cos 0sin cos bcacabcaPF sin1 cos2 sin cossin cos2cos 22222222222 cacacacaca cos cos coscos2 2222 cacacaca 又 0 ca 1 1 cos coscoscacaPF 于是当 0 即点 yxP 为椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 的右顶点时 PF 取得最小值 且 caPF min 当 即点 yxP 为椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 的左顶点时 PF 取得最大值 且 caPF max 因而由题意 有 5 10 15 5 c a ca ca 7525100 222 cab 故所求椭圆的方程为 1 75100 22 yx 注 注 由本题可见 椭圆的右 左 顶点到右 左 焦点的距离最小 到左 右 焦点的距 离最大 以后在遇到相关问题时 这个结论可以直接用 13 已知椭圆的中心在坐标原点 在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点 1 B 2 B 的连 线互相垂直 且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为 510 则这个椭圆的方程 高中数学讲义之解析几何 13 为 解 解 由该椭圆的中心在坐标原点 焦点在x轴上 可设其方程为 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 设 0 cF 是该椭圆的右焦点 则与其较近的长轴的端点为 0 aA 于是有 510 ca 又 0 1 bB 0 2 bB 是该椭圆上的对称点 0 cF 是该椭圆的右焦点 FBFB 21 又 FBFB 21 21FB B 为等腰直角三角形 其中 90 21 FBB 于是有 OFOB 2 即 cb 又 222 cba 22 2ca 即 ca2 代入 得 5 c 于是 10 a 5 b 故所求椭圆的方程为 1 510 22 yx 题型题型 4 与椭圆的焦点有关的三角形问题 与椭圆的焦点有关的三角形问题 14 设P是椭圆 1 45 22 xy 上的一点 1 F 2 F 是该椭圆的两个焦点 且 30 21 PFF 则 21PF F S 解 解 在椭圆 1 45 22 xy 中 145 4 5 22222 bacba 1 2 5 cba 于是 1 0 1 F 1 0 2 F 高中数学讲义之解析几何 14 在 21PF F 中 由余弦定理 有 21 2 21 2 2 2 1 21 2 cos PFPF FFPFPF PFF 21 21 2 21 21 22 21 2 2121 2 21 2 24 2 244 2 2 PFPF PFPFb PFPF PFPFca PFPF FFPFPFPFPF 2 382 21 21 21 21 2 PFPF PFPF PFPF PFPFb 于是 32 16 32 32 32 16 32 16 21 PFPF 故 348 32 4 2 1 32 16 2 1 sin 2 1 2121 21 PFFPFPFS PFF 15 已知 1 F 2 F 分别为椭圆 1 916 22 yx 的左 右焦点 点P在该椭圆上 若点P 1 F 2 F 是一个直角三角形的三个顶点 则 21F PF 的面积为 解 解 在椭圆 1 916 22 yx 中 7916 9 16 22222 bacba 7 3 4 cba 于是 0 7 1 F 0 7 2 F 当 21F PFRt 以点 1 F 或 2 F 为直角顶点时 4 9 2 1 a b PF 或 4 9 2 2 a b PF 而 722 21 cFF 7 4 9 72 4 9 2 1 2 1 211 21 FFPFS FPF 或 7 4 9 72 4 9 2 1 2 1 212 21 FFPFS FPF 于是此时总有 7 4 9 21 FPF S 并且此种情形下 b x yx P PP 3 4 9 16 9 9 16 7 1 9 16 1 9 7 2 高中数学讲义之解析几何 15 即点 4 9 7 P 在椭圆 1 916 22 yx 上 满足题意 当 21F PFRt 以点P为直角顶点时 设 00 yxP 则 7222 1 2 1 2121 21 21 002121 21 PFPF c PFPF FF PFPF yyFFPFPFS FPF 又 8422 21 aPFPF 28744 2 2 21 2 2 2 1 cFFPFPF 18 2 36 2 2864 2 2 2 2 1 2 21 21 PFPFPFPF PFPF 于是此时 b PFPF y 3 7 9 72 18 72 21 0 这表明 此种情形下 点 00 yxP 在椭圆 1 916 22 yx 外 不满足题意 故 21F PF 的面积为 7 4 9 16 已知 1 F 2 F 是椭圆在x轴上的两个焦点 P为椭圆上一点 60 21 PFF 1 求该椭圆离心率的取值范围 2 求证 21PF F 的面积只与该椭圆的短轴长有关 解 解 1 由该椭圆的焦点在x轴上 可设其方程为 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 在 21PF F 中 由余弦定理 有 21 2 21 2 2 2 1 21 2 cos PFPF FFPFPF PFF 21 21 2 21 21 22 21 2 2121 2 21 2 24 2 244 2 2 PFPF PFPFb PFPF PFPFca PFPF FFPFPFPFPF 2 12 21 21 2 PFPF PFPFb 高中数学讲义之解析几何 16 2 21 3 4 bPFPF 又 2221 21 2 a PFPF PFPF 22 3 4 ab 而 222 cab 22222 3 4 3 1 3 4 caaca 即 22 4 1 ac 于是 4 1 4 1 2 2 2 2 2 a a a c e 又 10 e 1 2 1 e 故该椭圆离心率的取值范围是 1 2 1 证 证 2 由 1 知 2 21 3 4 bPFPF 22 2121 3 3 2 3 3 4 2 1 sin 2 1 21 bbPFFPFPFS PFF 故 21PF F 的面积只与该椭圆的短轴长有关 题型题型 5 椭圆中的最值问题 椭圆中的最值问题 17 设 1 F 是椭圆 1 59 22 yx 的左焦点 点P是椭圆上的一个动点 1 1 A 为定点 则 1 PFPA 的最小值为 解 解 在椭圆 1 59 22 yx 中 9 2 a 5 2 b 459 222 bac 2 5 3 cba 于是该椭圆的左右焦点分别为 0 2 1 F 0 2 2 F 高中数学讲义之解析几何 17 62 2121 aPFPFAFPAPF 26 10 12 66 22 21 AFPFPA 故 26 min 1 PFPA 18 若 yxB 满足 1 4 2 2 y x 0 y 则 4 3 x y 的最大值 最小值分别为 解 解 在椭圆 1 4 2 2 y x 0 y 中 4 2 a 1 2 b 314 222 bac 3 1 2 cba 于是该椭圆的左右焦点分别为 0 3 1 F 0 3 2 F 4 3 x y 表示椭圆 1 4 2 2 y x 0 y 上的点 yxP 与定点 3 4 0 P 之间的连线的斜率 令 k x y 4 3 则直线 0 PP 的方程为 4 3 xky 即 kkxy43 联立 kkxy y x 43 1 4 2 2 得 04 43 4 43 8 41 222 kxkkxk 令 02634 43 4 41 4 43 8 222 2 kkkkkk 则 3 3 1 k 3 3 1 k 舍去 又 2 3 24 03 0 AP k 这里 0 2 A 为椭圆 1 4 2 2 y x 0 y 的右顶点 故 2 3 max k 3 3 1 min k 即 4 3 x y 的最大值为2 3 最小值为 3 3 1 19 在直线l 04 yx 上任取一点M 过点M且以椭圆 1 1216 22 yx 的焦点为焦点 作椭圆 则点M的坐标为 时 所作的椭圆的长轴最短 此时该椭圆的方程为 高中数学讲义之解析几何 18 解 解 在椭圆 1 1216 22 yx 中 16 2 a 12 2 b 41216 222 bac 2 32 4 cba 于是该椭圆的左右焦点分别为 0 2 1 F 0 2 2 F 要使过点M且以椭圆 1 1216 22 yx 的焦点为焦点所作的椭圆的长轴最短 必须使 21 MFMF 最小 设 0 2 2 F 关于直线l 04 yx 的对称点为 002 yxF 则由 04 2 0 2 2 1 1 2 0 00 0 0 yx x y 即 06 02 00 00 yx yx 得 2 4 0 0 y x 2 4 2 F 于是直线 21F F 的方程为 4 3 1 4 2 4 02 2 xxy 即 023 yx 显然 使 21 MFMF 取得最小值的点M即为直线 21F F 与直线l的交点 联立 04 023 yx yx 得 2 3 2 5 y x 2 3 2 5 M 此时 10240 02 2 4 22 2121 min 21 FFMFMFMFMF 101022 aa 6410 222 cab 故所求椭圆的方程为 1 610 22 yx 20 若点O和点F分别为椭圆 1 34 22 yx 的中心和左焦点 点P为椭圆上任意一点 则 FPOP 的最大值为 此时点P的坐标为 高中数学讲义之解析几何 19 解 解 在椭圆 1 34 22 yx 中 134 3 4 22222 bacba 1 3 2 cba 于是 0 1 F 设 yxP 则 yxOP 1 yxFP 并且 22 x 于是 3 4 1 4 1 3 1 2 2 2222 xx x xxyxxyxxFPOP 2 2 x 令 3 4 1 2 xxxg 2 2 x 其对称轴为 2 4 1 2 1 x 函数 xg 在 2 2 上单调递增 于是 6322 4 1 2 2 max gxg 将 2 x 代入方程 1 34 22 yx 中 得 0 y 0 2 P 故 FPOP 的最大值为 6 此时点P的坐标为 0 2 21 设椭圆的中心是坐标原点 长轴在x轴上 离心率 2 3 e 已知点 2 3 0 P 到这个椭圆 上一点的最远距离为 7 则该椭圆的方程为 该椭圆上到点P的距离为 7 的点的坐标是 解 解 由该椭圆的中心在坐标原点 长轴在x轴上 可设其方程为 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 高中数学讲义之解析几何 20 2 3 a c e 22 4 3 2 3 acac 而 222 bac 22222 4 1 4 3 ababa 即 22 4ba 于是椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 的方程可化为 1 4 2 2 2 2 b y b x 设 yxM 是该椭圆上任意一点 则 4 9 3 1 4 4 9 3 2 3 0 2 2 2 22222 yy b y byyxyxPM 4 9 433 22 byy byb 令 4 9 433 22 byyyg bby 其对称轴为 2 1 3 2 3 y 当 b 2 1 即 2 1 b 时 函数 yg 在 bb 上单调递减 此时 2222 max 2 3 4 9 3 4 9 433 bbbbbbbgyg 于是 7 2 3 2 3 2 3 2 max bbbPM 解得 2 1 2 3 7 b 这显然与 2 1 b 矛盾 因此此种情况不存在 当 b 2 1 时 这显然与 0 b 矛盾 因此此种情况不存在 当 bb 2 1 即 2 1 b 时 函数 yg 在 2 1 b 上单调递增 在 2 1 b 上单调递 减 高中数学讲义之解析几何 21 此时 34 4 9 4 2 3 4 3 2 1 22 max bbgyg 于是 734 2 max bPM 解得 1 b 满足题意 由 1 b 可知 所求椭圆的方程为 1 4 2 2 y x 将 2 1 y 代入方程 1 4 2 2 y x 中 得 3 4 1 1 4 2 1 1 4 2 x 于是椭圆上到点P的距离等于 7 的点有两个 分别是 2 1 3 2 1 3 故该椭圆的方程为 1 4 2 2 y x 并且该椭圆上到点P的距离为 7 的点的坐标是 2 1 3 或 2 1 3 题型题型 6 椭圆的离心率计算问题 椭圆的离心率计算问题 22 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的离心率为 解 解 由 a2 b2 c2 成等差数列 有 2 2222 ca bcab 又 222 cab 0325 0325 2 22 22222 aacc aaccca ca 0325 2 22222 aaccca ca 式两边同时除以 2 a 得 0325 2 ee 解得 5 3 e 或 1 e 舍去 故该椭圆的离心率 5 3 e 23 已知 1 F 2 F 是椭圆在x轴上的两个焦点 过 1 F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 高中数学讲义之解析几何 22 B两点 若2 ABF 是正三角形 则这个椭圆的离心率是 解 解 法一 设正三角形 2 ABF 的边长为t 则 tAF 2 1 1 tAF 2 tFF 2 3 21 于是 tttAFAFa 2 3 2 1 2 21 tFFc 2 3 2 21 ta 4 3 tc 4 3 3 3 4 3 4 3 t t a c e 故该椭圆的离心率 3 3 e 法二 2112 21 2112 21 21 21 sinsin sin sin2sin2 sin2 2 2 FAFFAF AFF FAFRFAFR AFFR AFAF FF a c a c e 3 3 3 2 2 3 1 2 1 2 3 90sin30sin 60sin 等式中的 R2 表示 21F AF 的外接圆的直径 故该椭圆的离心率 3 3 e 24 过椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 的左焦点 1 F 作x轴的垂线交椭圆于点P 2 F 为椭圆 右焦点 若 60 21 PFF 则该椭圆的离心率为 解 解 法一 在 21F PFRt 中 1 21 21 tan PF FF PFF c c PFF FF PF 3 32 3 2 tan 21 21 1 2 21 21 sin PF FF PFF 高中数学讲义之解析几何 23 cc c PFF FF PF 3 34 3 4 2 3 2 sin 21 21 2 又 aPFPF2 21 acacc2322 3 34 3 32 于是 3 3 32 2 a c e 故该椭圆的离心率为 3 3 法二 在 21F PFRt 中 2 2 1 21 21 323 2 tanbac a b c PF FF PFF 而 222 cab 032303232 3 22222 eecacaacca 即 0323 2 ee 解得 3 3 e 或 3 e 舍去 故该椭圆的离心率为 3 3 25 已知F是椭圆C的一个焦点 B是短轴的一个端点 线段BF的延长线交C于点D 且 FDBF2 则C的离心率为 解 解 法一 不妨设椭圆C的焦点在x轴上 则其方程可设为 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 设 0 bB 0 cF 00 yxD 则 bcBF 00 ycxFD 高中数学讲义之解析几何 24 于是由 FDBF2 有 by cx yb cxc 2 1 2 3 2 2 0 0 0 0 2 1 2 3 bcD 又 点 2 1 2 3 bcD 在椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 上 4 3 4 1 1 4 9 1 4 1 4 9 2 2 2 2 2 e b b a c 于是 3 1 2 e 又 10 e 3 3 e 故椭圆C的离心率为 3 3 法二 不妨设椭圆C的焦点在x轴上 设 0 bB 0 cF 00 yxD 则 aaacbOFOBBF 222 22 作 轴yDD 1 于点 1 D 则由 FDBF2 有 cOFDD B BF DD OF 2 3 2 3 3 2 D 1 1 即 cx 2 3 0 又由椭圆的第二定义 有 e x c a DF 0 2 a ca a c ac c a a c x c a eDF 2 32 2 3 2 3 2222 0 2 又 FDBF2 22 22 3 2 32 2ca a ca a 高中数学讲义之解析几何 25 于是 3 1 3 2 2 2 2 2 c c a c e 又 10 e 3 3 e 故椭圆C的离心率为 3 3 26 在平面直角坐标系 xoy中 F 是椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 的右焦点 直线 2 b y 与椭圆交于B C两点 且 90 BFC 则该椭圆的离心率是 解 解 在 1 2 2 2 2 b y a x 中 令 2 b y 则 ax 2 3 于是 2 2 3 b aB 2 2 3 b aC 而 0 cF 2 2 3 b caFB 2 2 3 b caFC 又 90 BFC FCFB 于是 0430 4 1 4 3 2 2 3 2 3 0 2222222 cbacba b cacaFCFB 又 222 cab 222222 3204 3caccaa 于是 3 2 2 2 2 a c e 又 10 e 故该椭圆的离心率 3 6 3 2 e 高中数学讲义之解析几何 26 27 已知O为坐标原点 F是椭圆C 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 的左焦点 A B分别 为C的左 右顶点 P为C上一点 且 xPF 轴 过点A的直线l与线段PF交于点M 与 y 轴交于点E 若直线BM经过OE的中点G 则C的离心率为 解 解 由 MFGO 有 ca a MF GO BF BO MF GO GO a ca MF 由 EOMF 有 a ca EO MF AO AF EO MF GO a ca GO a ca EO a ca MF 22 于是有 cacacaGO a ca GO a ca 3222 故C的离心率 3 1 3 c c a c e 法二 直线l 0axky 即 axky 由 cxM 得 cakackyM 所以 cakMF 由 0 E x 得 kaakyE 0 所以 kaEO 由 MFGO 有 cacaca a cak ka BF BO MF EO BF BO MF GO 21 2 1 2 1 cacaca322 故C的离心率 3 1 3 c c a c e 题型题型 7 与椭圆有关的综合问题 与椭圆有关的综合问题 28 椭圆 1 23 22 yx 内有一点 1 1 P 一直线经过点P与椭圆交于 1 P 2 P 两点 弦 高中数学讲义之解析几何 27 21P P 被点P平分 则直线 21P P 的方程为 解 解 设 111 yxP 222 yxP 则 1 23 2 1 2 1 yx 1 23 2 2 2 2 yx 得 0 2 3 21212121 yyyyxxxx 又 21P P 的中点坐标为 1 1 P 2 21 xx 2 21 yy 代入 得 3 2 0 2 2 3 2 21212121 yyxxyyxx 显然 21 xx 于是由 有 3 2 1 3 2 21 21 xx yy 即 3 2 21 PP k 又直线 21P P 过其中点 1 1 P 故直线 21P P 的方程为 1 3 2 1 xy 即 3 5 3 2 xy 29 已知椭圆E 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 的右焦点为 0 3 F 过点F的直线l交椭圆 E于A B两点 若AB的中点坐标为 1 1 C 则E的方程为 解 解 椭圆E 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 的右焦点为 0 3 F 3 c9 222 cba 设 11 yxA 22 yxB 则 1 2 2 1 2 2 1 b y a x 1 2 2 2 2 2 2 b y a x 高中数学讲义之解析几何 28 得 0 2 2121 2 2121 b yyyy a xxxx 又 AB的中点坐标为 1 1 C 1 21 xx 2 21 yy 代入 得 2 2 0 2 2 21 2 21 2 21 2 21 2 yy b xx a yy b xx a 显然 21 xx 于是由 有 2 2 2 2 21 21 2 2 a b b a xx yy 即 2 2 a b kAB 又 2 1 13 10 CFAB kk 22 2 2 2 2 1 ba a b 由 得 18 2 a 9 2 b 故椭圆E的方程为 1 918 22 yx 30 如图 设P是圆 25 22 yx 上的一个动点 点D是点P在x轴上的投影 M为 PD上一点 且 PDMD 5 4 1 当点P在圆上运动时 求点M的轨迹C的方程 2 求过点 0 3 且斜率为5 4 的直线被C所截线段的长度 解 解 1 设 yxM PP yxP P y x M D O 高中数学讲义之解析几何 29 则由题设条件知 yy xx yy xx P P P P 4 5 5 4 而点P在圆 25 22 yx 上 1 1625 25 16 25 25 4 5 22 2222 yx yxyx 故点M的轨迹C的方程为 1 1625 22 yx 2 过点 0 3 且斜率为5 4 的直线的方程为 5 12 5 4 3 5 4 0 xxy 即 5 12 5 4 xy 点M的轨迹C的方程 1 1625 22 yx 可化为 04002516 22 yx 设直线与C的交点为 11 yxA 22 yxB 则直线被C所截线段的长度为 AB 联立 5 12 5 4 04002516 22 xy yx 得 083 2 xx 由韦达定理 有 8 1 8 3 1 3 21 21 xx xx 于是 8 43 5 4 14 11 22 21 2 21 2 21 2 xxxxkxxkAB ABAB 5 41 41 25 41 41 25 16 1 故过点 0 3 且斜率为5 4 的直线被C所截线段的长度为 5 41 31 已知椭圆 12 22 yx 过原点的两条直线 1 l 和 2 l 分别与该椭圆交于点A B和C D 记得到的平行四边形ACBD的面积为S 高中数学讲义之解析几何 30 1 设 11 yxA 22 yxC 用A C的坐标表示点C到直线 1 l 的距离 并证明 1221 2yxyxS 2 设 1 l 与 2 l 的斜率之积为 2 1 求面积S的值 解 解 1 在椭圆 12 22 yx 即 1 2 1 2 2 y x 中 2 1 2 1 1 2 1 1 22222 bacba 当直线 1 l 和 2 l 的斜率均存在时 直线 1 l 的方程为 1 1 1 1 xx x y yy 即 0 11 yxxy 于是点 22 yxC 到直线 1 l 0 11 yxxy 的距离 2 1 2 1 1221 2 1 2 1 2121 yx yxyx xy yxxy d 又四边形ACBD为平行四边形 故 1221 2 1 2 1 12212 1 2 1 222 2 1 22yxyx yx yxyx yxdOAdABdABSS ABC 当直线 1 l 的斜率不存在 此时 1 l 即为 y 轴 直线 2 l 的斜率存在时 此时点 11 yxA 中 0 1 x 点 22 yxC 到直线 1 l 的距离 2 xd 1221221 0222 2 1 22yxyyxxydABdABSS ABC 当直线 2 l 的斜率不存在 此时 2 l 即为 y 轴 直线 1 l 的斜率存在时 此时点 22 yxC 中 0 2 x 点 22 yxC 到直线 1 l 的距离 2 1 2 1 21 2 1 2 1 211 0 yx yx xy yxy d 12121 2 1 2 1 212 1 2 1 02222 2 1 22yyxyx yx yx yxdOAdABdABSS ABC 高中数学讲义之解析几何 31 故点C到直线 1 l 的距离 2 1 2 1 1221 yx yxyx d 平行四边形ACBD的面积 1221 2yxyxS 2 由直线 1 l 与 2 l 的斜率之积为 2 1 可知 直线 1 l 2 l 的斜率均存在 且均不为零 不妨设直线 1 l 的斜率为k 则直线 1 l 的方程为 kxy 并且直线 2 l 的斜率为 k2 1 于是直线 2 l 的方程为 x k y 2 1 联立 kxy yx12 22 得 1 12 22 xk 解得 12 1 2 2 1 k x 联立 x k y yx 2 1 12 22 得 222 2 12 kxk 解得 12 2 2 2 2 2 k k x 又由 1 知 1221 2yxyxS 故 21 2 21 21 12211221 2 12 2 2 2 2 1 22xx k k xkx k xx kxxx k xyxyxS 2 12 212 12 2 12 1121212 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 21 2 k k k k k k kk k xx k k xx k k 32 已知椭圆E 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 的半焦距为c 原点O到经过两点 0 c 0 b 的直线的距离为 c 2 1 1 求椭圆E的离心率 2 如图 AB是圆M 2 5 1 2 22 yx 的一条直径 若椭圆E经过A B两点 求椭圆E的方程 高中数学讲义之解析几何 32 解 解 1 设 0 0 cFbE 则 acbOFOEEFcOFbOE 22 22 设 EFOH 则 cOH 2 1 OHEFOFOES OEF 2 1 2 1 22222222 34 42 2 1 bbbbacbabacabc 故椭圆E的离心率 2 3 2 3 b b a c e 2 圆M 2 5 1 2 22 yx 的圆心为 1 2 M 半径 2 10 2 5 r 由 1 知 22 4ba 于是椭圆E 1 2 2 2 2 b y a x 的方程可化为 1 4 2 2 2 2 b y b x 即 044 222 byx 设直线AB的斜率为k 则直线AB的方程为 kkxxky2 2 1 即 12 kkxy 设 11 yxA 22 yxB 联立 12 044 222 kkxy byx 得 0441616 816 14 22222 bkkxkkxk 由韦达定理有 14 441616 14 816 2 22 21 2 2 21 k bkk xx k kk xx 又 1 2 M 为AB的中点 高中数学讲义之解析几何 33 2 1 2 14 48 2 2 2 2 21 k k kkxx 2 2 2 21 28 2 416 1 4 1 4 44 2 1 16 4 1 16 b b b xx 又 28 4 4 2 1 14 11 222 21 2 21 2 21 2 bxxxxkxxkAB 168 4 5 83216 4 1 1 22 bb 10 2 10 22 rAB 124 310 168 4 5 10168 4 5 22222 babbb 故椭圆E的方程为 1 312 22 yx 33 已知点P是椭圆C上任意一点 点P到直线 1 l 2 x 的距离为 1 d 到点 0 1 F 的 距离为 2 d 且 2 2 1 2 d d 直线l与椭圆C交于不同的两点A B A B都在x轴上方 且 180 OFBOFA 1 求椭圆C的方程 2 当点A为椭圆C与 y 轴正半轴的交点时 求直线l的方程 3 对于动直线l 是否存在一个定点 无论 OFA 如何变化 直线l总经过此定点 若 存在 求出该定点的坐标 若不存在 请说明理由 解 解 1 设 yxP 则 2 2 1 xxd 2222 2 1 0 1 yxyxd 于是由 2 2 1 2 d d 有 2 1 44 12 2 2 2 1 2 2222 xx yxx x yx 高中数学讲义之解析几何 34 化简整理 得 1 2 2 2 y x 故椭圆C的方程为 1 2 2 2 y x 2 椭圆C的方程 1 2 2 2 y x 可化为 022 22 yx 联立 0 022 22 x yx 得 1 y 1 0 A 而 0 1 F 451 01 10 OFAkAF 又 180 OFBOFA 135 OFB 而A B都在x轴上方 1 BF k 于是直线BF的方程为 1 1 1 10 xxxy 即 1 xy 联立 1 022 22 xy yx 得 043 2 xx 解得 3 1 3 4 y x 或 1 0 y x 舍去 2 1 3 4 3 2 0 3 4 1 3 1 3 1 3 4 AB kB 故直线l的方程为 xxy 2 1 0 2 1 1 即 1 2 1 xy 3 180 OFBOFA 且A B都在x轴上方 0 BFAF kk 并且直线l的斜率存在 设 11 yxA 2