湖北省各市2012年中考数学分类解析 专题5 数量和位置变化

用心 爱心 专心1 湖北湖北 1313 市州 市州 1414 套 套 20122012 年中考数学试题分类解析汇编年中考数学试题分类解析汇编 专题专题 5 5 数量和位置变化 数量和位置变化 1 选择题 1 2012 湖北武汉 3 分 甲 乙两人在直线跑道上同起点 同终点 同方向匀速跑步 500m 先到终点 的人原地休息 已知甲先出发 2s 在跑步过程中 甲 乙两人的距离 y m 与乙出发的时间 t s 之间的关 系 如图所示 给出以下结论 a 8 b 92 c 123 其中正确的是 A B 仅有 C 仅有 D 仅有 答案 A 考点 函数的图象 分析 乙出发时甲行了 2 秒 相距 8m 甲的速度为 8 2 4m s 100 秒时乙开始休息 乙的速度是 500 100 5m s a 秒后甲乙相遇 a 8 5 4 8 秒 因此 正确 100 秒时乙到达终点 甲走了 4 100 2 408 m b 500 408 92 m 因此 正确 甲走到终点一共需耗时 500 4 125 s c 125 2 123 s 因此 正确 终上所述 结论皆正确 故选 A 2 2012 湖北黄石 3 分 有一根长的金属棒 欲将其截成根长的小段和根长的40mmx7mmy9mm 小 段 剩余部分作废料处理 若使废料最少 则正整数 应分别为 xy A B C D x1 y3 x3 y2 x4 y1 x2 y3 答案 B 考点 网格问题 一次函数的应用 用心 爱心 专心2 分析 根据金属棒的长度是 40mm 则可以得到 7x 9y 40 即 740 yx 99 如图 在网格中作 740 y x x0y0 99 则当线段 AB 上有整数点时 是废料为 0 该点即为所求 但从 图中可见 线段 AB 上没有整数点 故在 ABC 区域内离线段 AB 最近的 整数点即为所求 图中可见 点 3 2 离线段 AB 最近 使废料最少的正整数 x y 分别为 x 3 y 2 故选 B 别解 且 x 为正整数 x 的值可以是 1 或 2 或 3 或 4 740 yx 99 当 y 的值最大时 废料最少 当 x 1 时 则 y 最大 4 此时 所剩的废料是 40 1 7 3 9 6mm 33 y 9 当 x 2 时 则 y 最大 2 此时 所剩的废料是 40 2 7 2 9 8mm 26 y 9 当 x 3 时 则 y 最大 2 此时 所剩的废料是 40 3 7 2 9 1mm 19 y 9 当 x 4 时 则 y 最大 1 此时 所剩的废料是 40 4 7 1 9 3mm 12 y 9 使废料最少的正整数 x y 分别为 x 3 y 2 3 2012 湖北黄石 3 分 如图所示 已知 A B为反比例函数图像上的两点 动 1 1 y 2 2 2 y 1 y x 点 P在 x 正半轴上运动 当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时 点 P 的坐标是 x 0 A B C D 1 0 2 1 0 3 0 2 5 0 2 答案 D 考点 反比例函数综合题 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 三角形三边关系 分析 把 A B分别代入反比例函数 得 y1 2 y2 1 1 y 2 2 2 y 1 y x 1 2 用心 爱心 专心3 A 2 B 2 1 2 1 2 在 ABP 中 由三角形的三边关系定理得 AP BP AB 延长 AB 交 x 轴于 P 当 P 在 P 点时 PA PB AB 即此时线段 AP 与线段 BP 之差达到最大 设直线 AB 的解析式是 y kx b 把 A B 的坐标代入得 解得 直线 AB 的解析式是 1 2 k b 2 1 2k b 2 k 1 5 b 2 5 yx 2 当 y 0 时 x 即 P 0 故选 D 5 2 5 2 4 2012 湖北荆门 3 分 已知 多项式 x2 kx 1 是一个完全平方式 则反比例函数的解析式为 k1 y x A B C 或 D 或 1 y x 3 y x 1 y x 3 y x 2 y x 2 y x 答案 C 考点 完全平方式 待定系数法求反比例函数解析式 分析 多项式 x2 kx 1 是一个完全平方式 k 2 把 k 2 分别代入反比例函数的解析式得 或 故选 C k1 y x 1 y x 3 y x 5 2012 湖北宜昌 3 分 如图 在 10 6 的网格中 每个小方格的边长都是 1 个单位 将 ABC 平移到 DEF 的位置 下面正确的平移步骤是 A 先把 ABC 向左平移 5 个单位 再向下平移 2 个单位 B 先把 ABC 向右平移 5 个单位 再向下平移 2 个单位 C 先把 ABC 向左平移 5 个单位 再向上平移 2 个单位 D 先把 ABC 向右平移 5 个单位 再向上平移 2 个单位 答案 A 考点 网格问题 平移的性质 用心 爱心 专心4 分析 根据网格结构 观察点对应点 A D 点 A 向左平移 5 个单位 再向下平移 2 个单位即可到达点 D 的位置 所以 平移步骤是 先把 ABC 向左平移 5 个单位 再向下平移 2 个单位 故选 A 6 2012 湖北咸宁 3 分 如图 正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形 O 为位似中心 相似比为 1 2 点 A 的坐标为 1 0 则 E 点的坐标为 A 0 B C D 2 2 2 2 3 2 3 22 答案 C 考点 坐标与图形性质 位似变换 正方形的性质 分析 正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形 O 为位似中心 相似比为 1 2 OA OD 1 2 点 A 的坐标为 1 0 即 OA 1 OD 2 四边形 ODEF 是正方形 DE OD E 点的坐标为 故选 C 222 7 2012 湖北荆州 3 分 已知点 M 1 2m m 1 关于 x 轴的对称点在第一象限 则 m 的取值范围在 数轴上表示正确的是 A B C D 答案 A 考点 关于 x 轴对称的点坐标的特征 平面直角坐标系中各象限点的特征 解一元一次不等式组 在 数轴上表示不等式的解集 分析 由题意得 点 M 关于 x 轴对称的点的坐标为 1 2m 1 m 又 M 1 2m m 1 关于 x 轴的对称点在第一象限 解得 在数轴上表示为 故选 A 12m0 1m0 1 m 2 m1 8 2012 湖北随州 4 分 定义 平面内的直线 l1与 l2相交于点 O 对于该平面内任意一点 M 点 M 到直 线 l1 l2的距离分别为 a b 则称有序非实数对 a b 是点 M 的 距离坐标 根据上述定义 距离坐 用心 爱心 专心5 标为 2 3 的点的个数是 A 2 B 1 C 4 D 3 答案 C 考点 新定义 点的坐标 点到直线的距离 分析 画出两条相交直线 到 l1的距离为 2 的直线有 2 条 到 l2的距离为 3 的直线有 2 条 看所画的 这些直线的交点有几个即为所求的点的个数 如图所示 所求的点有 4 个 故选 C 9 2012 湖北十堰 3 分 点 P 2 3 关于 x 轴对称点的坐标是 A 3 2 B 2 3 C 2 3 D 2 3 答案 C 考点 关于 x 轴对称的点的坐标特征 分析 关于 x 轴对称的点的坐标特征是横坐标相同 纵坐标互为相反数 从而点 P 2 3 关于 x 轴 对称的点的坐标是 2 3 故选 C 10 2012 湖北十堰 3 分 一列快车从甲地开往乙地 一列慢车从乙地开往甲地 两车同时出发 两车 离乙地的路程 S 千米 与行驶时间 t 小时 的函数关系如图所示 则下列结论中错误的是 A 甲 乙两地的路程是 400 千米 B 慢车行驶速度为 60 千米 小时 C 相遇时快车行驶了 150 千米 D 快车出发后 4 小时到达乙地 答案 C 考点 函数的图象 分析 根据函数的图象中的相关信息逐一进行判断即可得到答案 用心 爱心 专心6 观察图象知甲乙两地相距 400 千米 故 A 选项正确 慢车的速度为 150 2 5 60 千米 小时 故 B 选项正确 相遇时快车行驶了 400 150 250 千米 故 C 选项错误 快车的速度为 250 2 5 100 千米 小时 用时 400 100 4 小时 故 D 选项正确 故选 C 11 2012 湖北孝感 3 分 如图 ABC 在平面直角坐标系中的第二象限内 顶点 A 的坐标是 2 3 先把 ABC 向右平移 4 个单位长度得到 A1B1C1 再作 A1B1C1关于 x 轴的对称图形 A2B2C2 则顶点 A2的坐标是 A 3 2 B 2 3 C 1 2 D 3 1 答案 B 考点 坐标与图形的对称和平移变化 分析 将 ABC 向右平移 4 个单位得 A1B1C1 A1的横坐标为 2 4 2 纵坐标不变为 3 把 A1B1C1以 x 轴为对称轴作轴对称图形 A2B2C2 A2的横坐标为 2 纵坐标为 3 点 A2的坐标是 2 3 故选 B 2 12 2012 湖北鄂州 3 分 把抛物线的图像向右平移 3 个单位 再向上平移 2 个单位 2 yxbx4 所得 到的图象的解析式为 则 b 的值为 2 yx2x3 A 2B 4C 6D 8 答案 B 考点 二次函数的性质 平移的性质 分析 2 2 2 bb yxbx4 x 4 24 用心 爱心 专心7 图像向右平移 3 个单位 再向上平移 2 个单位得 2 2 bb y x3 4 2 24 又 2 2 yx2x3 x1 2 解得 b 4 故选 B 2 b 3 1 2 b 4 2 2 4 13 2012 湖北鄂州 3 分 在平面坐标系中 正方形 ABCD 的位置如图所示 点 A 的坐标为 1 0 点 D 的坐标为 0 2 延长 CB 交 x 轴于点 A1 作正方形 A1B1C1C 延长 C1B1交 x 轴于点 A2 作正方形 A2B2C2C1 按这样的规律进行下去 第 2012 个正方形的面积为 A B C D 2010 2 3 5 2010 4 9 5 2012 4 9 5 4022 2 3 5 答案 D 考点 分类归纳 图形的变化类 坐标与图形性质 正方形的性质 相似三角形的判定和性质 勾股 定理 分析 正方形 ABCD AD AB DAB ABC ABA1 90 DOA ADO DAO 90 DAO BAA1 90 ADO BAA1 DOA ABA1 DOA ABA1 1 BAOA1 ABOD2 AB AD BA1 22 215 1 5 2 第 2 个正方形 A1B1C1C 的边长 A1C A1B BC 面积是 3 5 2 22 33 5 5 22 同理第 3 个正方形的边长是 面积是 2 3393 5 5 5 5 2442 2 22 2 33 5 5 22 第 4 个正方形的边长是 面积是 3 3 5 2 2 32 3 33 5 5 22 用心 爱心 专心8 第 2012 个正方形的边长是 面积是 2012 12011 33 5 5 22 2 20112 20114022 333 5 5 5 222 故选 D 二 填空题 1 2012 湖北黄石 3 分 如图所示 已知 A 点从点 出发 以每秒 个单位长的速度沿着 x 轴 的正方向运动 经过 t 秒后 以 O A 为顶点作菱形 OABC 使 B C 点都在第一象限内 且 AOC 600 又以 P 为圆心 PC 为半径的圆恰好与 OA 所在直线相切 则 t 答案 4 31 考点 切线的性质 坐标与图形性质 菱形的性质 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 分析 已知 A 点从 1 0 点出发 以每秒 1 个单位长的速度沿着 x 轴的正方向运动 经过 t 秒后 OA 1 t 四边形 OABC 是菱形 OC 1 t 当 P 与 OA 即与 x 轴相切时 如图所示 则切点为 O 此时 PC OP 过点 P 作 PE OC 垂足为点 E OE CE OC 即 OE 1 t 1 2 1 2 在 Rt OPE 中 OP 4 OPE 900 AOC 30 OE OP cos30 即 2 3 1 1t2 3 2 t4 31 当 PC 为半径的圆恰好与 OA 所在直线相切时 t4 31 2 2012 湖北荆门 3 分 如图 1 所示 E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点 动点 P Q 同时从点 B 出发 点 P 沿折线 BE ED DC 运动到点 C 时停止 点 Q 沿 BC 运动到点 C 时停止 它们运动的速度都是 1cm 秒 设 P Q 同发 t 秒时 BPQ 的面积为 ycm2 已知 y 与 t 的函数关系图象如图 2 曲线 OM 为抛物线 用心 爱心 专心9 的一部分 则下列结论 AD BE 5 cos ABE 当 0 t 5 时 当秒时 2 2 y t 5 29 t 4 ABE QBP 其中正确的结论是 填序号 答案 考点 动点问题的函数图象 矩形的性质 勾股定理 锐角三角函数定义 相 似三角形的判定和性质 分析 根据图 2 可知 当点 P 到达点 E 时点 Q 到达点 C 点 P Q 的运动的速度都是 1cm 秒 BC BE 5 AD BE 5 故结论 正确 又 从 M 到 N 的变化是 2 ED 2 AE AD ED 5 2 3 在 Rt ABE 中 2222 AB BEAE 53 4 故结论 错误 AB4 cos ABE BE5 过点 P 作 PF BC 于点 F AD BC AEB PBF sin PBF sin AEB AB4 BE5 PF PBsin PBF t 4 5 当 0 t 5 时 故结论 正确 2 1142 y BQ PF tt t 2255 当秒时 点 P 在 CD 上 29 t 4 此时 PD BE ED PQ CD PD 4 29 4 291 52 44 115 44 AB4BQ54 15 AE3PQ3 4 ABBQ AEPQ 又 A Q 90 ABE QBP 故结论 正确 综上所述 正确的有 3 2012 湖北咸宁 3 分 在函数中 自变量 x 的取值范围是 1 y x3 用心 爱心 专心10 答案 x3 考点 函数自变量的取值范围 分式有意义的条件 分析 求函数自变量的取值范围 就是求函数解析式有意义的条件 根据分式分母不为 0 的条件 要 使在实数范围内有意义 必须 1 x3 x30 x3 4 2012 湖北荆州 3 分 如图 1 所示 E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点 动点 P Q 同时从点 B 出发 点 P 沿折线 BE ED DC 运动到点 C 时停止 点 Q 沿 BC 运动到点 C 时停止 它们运动的速度都是 1cm 秒 设 P Q 同发 t 秒时 BPQ 的面积为 ycm2 已知 y 与 t 的函数关系图象如图 2 曲线 OM 为抛物线 的一部分 则下列结论 AD BE 5 cos ABE 当 0 t 5 时 当秒时 2 2 y t 5 29 t 4 ABE QBP 其中正确的结论是 填序号 答案 考点 动点问题的函数图象 矩形的性质 勾股定理 锐角三角函数定义 相似三角形的判定和性质 分析 根据图 2 可知 当点 P 到达点 E 时点 Q 到达点 C 点 P Q 的运动的速度都是 1cm 秒 BC BE 5 AD BE 5 故结论 正确 又 从 M 到 N 的变化是 2 ED 2 AE AD ED 5 2 3 在 Rt ABE 中 2222 AB BEAE 53 4 故结论 错误 AB4 cos ABE BE5 过点 P 作 PF BC 于点 F AD BC AEB PBF sin PBF sin AEB AB4 BE5 PF PBsin PBF t 4 5 当 0 t 5 时 故结论 正确 2 1142 y BQ PF tt t 2255 用心 爱心 专心11 当秒时 点 P 在 CD 上 29 t 4 此时 PD BE ED PQ CD PD 4 29 4 291 52 44 115 44 AB4BQ54 15 AE3PQ3 4 ABBQ AEPQ 又 A Q 90 ABE QBP 故结论 正确 综上所述 正确的有 5 2012湖北黄冈3分 在平面直角坐标系中 ABC 的三个顶点的坐标分别是A 2 3 B 4 1 C 2 0 将 ABC平移至 A1B1C1 的位置 点A B C 的对应点分别是 A1B1C1 若点A1 的 坐标为 3 1 则点C1 的坐标为 答案 7 2 考点 坐标与图形的平移变化 分析 根据A点平移后的坐标变化 确定三角形的平移方法 得到C点的平移方法 由A 2 3 平移后点A1的坐标为 3 1 可得A点横坐标加5 纵坐标减2 则点C的坐标变化与A点的变化相同 故C1 2 5 0 2 即 7 2 6 2012 湖北随州 4 分 函数中自变量 x 的取值范围是 y 2x 5 答案 5 x 2 考点 函数自变量的取值范围 二次根式有意义的条件 分析 求函数自变量的取值范围 就是求函数解析式有意义的条件 根据二次根式被开方数必须是非 负数的条件 要使在实数范围内有意义 必须 2x 5 5 2x 50 x 2 7 2012 湖北十堰 3 分 函数中 自变量 x 的取值范围是 y x2 答案 x2 考点 函数自变量的取值范围 二次根式有意义的条件 分析 求函数自变量的取值范围 就是求函数解析式有意义的条件 根据二次根式被开方数必须是非 负数的条件 要使在实数范围内有意义 必须 x2 x20 x2 16 8 2012 湖北鄂州 3 分 已知 如图 OBC 中是直角三角形 OB 与 x 轴正半轴重合 OBC 90 且 OB 1 BC 将 OBC 绕原点 O 逆时针旋转 60 再将其各边扩大为原来的 m 倍 使 OB1 OC 得到 3 OB1C1 将 OB1C1绕原点 O 逆时针旋转 60 再将其各边扩大为原来的 m 倍 使 OB2 OC1 得到 用心 爱心 专心12 OB2C2 如此继续下去 得到 OB2012C2012 则 m 点 C2012的坐标是 答案 2 22011 22011 3 考点 分类归纳 图形的变化类 坐标与图形的旋转变化 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 分析 在 OBC 中 OB 1 BC tan COB COB 60 OC 2 33 OB1 mOB OB1 OC mOB OC 即 m 2 每一次的旋转角是 60 旋转 6 次一个周期 如图 2012 6 335 2 点 C2012的坐标跟 C2的坐标在一条射线 OC6n 2上 第 1 次旋转后 OC1 2 第 2 次旋转后 OC1 22 第 3 次旋 转后 OC3 23 第 2012 次旋转后 OC2012 22012 C2012OB2012 60 OB2012 22011 B2012C2012 22011 3 点 C2012的坐标为 22011 22011 3 三 解答题 1 2012 湖北武汉 6 分 在平面直角坐标系中 直线 y kx 3 经过点 1 1 求不等式 kx 3 0 的 解集 答案 解 将 1 1 代入 y kx 3 得 1 k 3 k 2 不等式 kx 3 0 即 2x 3 0 解得 3 x 2 考点 直线上点的坐标与方程的关系 解一元一次不等式 分析 由直线 y kx 3 经过点 1 1 将 1 1 代入 y kx 3 即可求出 k 值 代入不等求解即 可 用心 爱心 专心13 2 2012 湖北武汉 7 分 如图 在平面直角坐标系中 点 A B 的坐标分别为 1 3 4 1 先 将线段 AB 沿一确定方向平移得到线段 A1B1 点 A 的对应点为 A1 点 B1的坐标为 0 2 在将线段 A1B1 绕远点 O 顺时针旋转 90 得到线段 A2B2 点 A1的对应点为点 A2 1 画出线段 A1B1 A2B2 2 直接写出在这两次变换过程中 点 A 经过 A1到达 A2的路径长 答案 解 1 画出线段 A1B1 A2B2如图 2 在这两次变换过程中 点 A 经过 A1到达 A2的路径长为 5 17 2 考点 网格问题 图形的平移和旋转变换 勾股定理 扇形弧长公式 分析 1 根据图形的平移和旋转变换性质作出图形 2 如图 点 A 到点 A1的平移变换中 2222 11 A AA C A C4 1 17 点 A2到点 A3的平移变换中 22 1 OA3 45 A1 12 90OA9055 A A 1808 1 02 在这两次变换过程中 点 A 经过 A1到达 A2的路径长为 5 17 2 3 2012 湖北黄石 10 分 已知抛物线 C1的函数解析式为 若抛物线 C1经过 2 yaxbx3a b0 用心 爱心 专心14 点 方程的两根为 且 0 3 2 axbx3a0 1 x 2 x 12 xx4 1 求抛物线 C1的顶点坐标 2 已知实数 请证明 并说明为何值时才会有 x0 1 x x 2x 1 x2 x 3 若抛物线先向上平移 4 个单位 再向左平移 1 个单位后得到抛物线 C2 设 1 A m y 2 B n y 是 C2上的两个不同点 且满足 请你用含有的表达式表示出 AOB 0 0AOB9 m0 n0 m 的面积 S 并求出 S 的最小值及 S 取最小值时一次函数 OA 的函数解析式 参考公式 在平面直角坐标系中 若 则 P Q 两点间的距离 11 P x y 22 Q x y 22 2121 xx yy 答案 解 1 抛物线过 点 3a a x2 bx x2 bx 的两根为 x1 x2且 12 xx4 且 b b 22 121212 xx xx 4x x b 12 2 2 xxx 抛物线 的顶点坐标为 2 x 11 x2 x 0 xx 1 x2 x 当时 即当 x 时 有 1 x 0 x 1 x2 x 3 由平移的性质 得 C2的解析式为 y x2 m m2 B n n2 AOB 为直角三角形 OA2 OB2 AB2 m2 m4 n2 n4 m n 2 m2 n2 2 化简得 m n AOB m n 2424 11 mmnn 22 OAOB 用心 爱心 专心15 AOB 222 2 111 2mn2m 22m 2 11111 m m21 2m2m2 AOB的最小值为 此时 m 直线 OA 的一次函数解析式为 x 考点 二次函数综合题 曲线上点的坐标与方程的关系 一元二次方程根与系数的关系 二次函数的 性质 不等式的知识 分析 1 求抛物线的顶点坐标 即要先求出抛物线的解析式 即确定待定系数 a b 的值 已知抛物 线图象与 y 轴交点 可确定解析式中的常数项 由此得到 a 的值 然后从方程入手求 b 的值 题目给出 了两根差的绝对值 将其进行适当变形 转化为两根和 两根积的形式 结合根与系数的关系即可求出 b 的值 2 将配成完全平方式 然后根据平方的非负性即可得证 1 x x 3 结合 1 的抛物线的解析式以及函数的平移规律 可得出抛物线 C2的解析式 在 Rt OAB 中 由勾股定理可确定 m n 的关系式 然后用 m 列出 AOB 的面积表达式 结合不等式的相关知识 可确定 OAB 的最小面积值以及此时 m 的值 从而由待定系数法确定一次函数 OA 的解析式 别解 由题意可求抛物线 C2的解析式为 y x2 m m2 B n n2 过点 A B 作 x 轴的垂线 垂足分别为 C D 则 AOCBODACDB SSSS 梯形 2222 111 mn mn m mn n 222 1 mn mn 2 由 得 即 BOD OAC BDOD OCAC 2 2 nn mm mn1 1111 Smn mn m 21 22m2 AOB的最小值为 此时 m 直线 OA 的一次函数解析式为 x 用心 爱心 专心16 4 2012 湖北荆门 12 分 如图甲 四边形 OABC 的边 OA OC 分别在 x 轴 y 轴的正半轴上 顶点在 B 点的抛物线交 x 轴于点 A D 交 y 轴于点 E 连接 AB AE BE 已知 tan CBE A 3 0 1 3 D 1 0 E 0 3 1 求抛物线的解析式及顶点 B 的坐标 2 求证 CB 是 ABE 外接圆的切线 3 试探究坐标轴上是否存在一点 P 使以 D E P 为顶点的三角形与 ABE 相似 若存在 直接写出 点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 4 设 AOE 沿 x 轴正方向平移 t 个单位长度 0 t 3 时 AOE 与 ABE 重叠部分的面积为 s 求 s 与 t 之间的函数关系式 并指出 t 的取值范围 答案 解 1 抛物线经过点 A 3 0 D 1 0 设抛物线解析式为 y a x 3 x 1 将 E 0 3 代入上式 解得 a 1 抛物线的解析式为 y x 3 x 1 即 y x2 2x 3 又 y x2 2x 3 x 1 2 4 点 B 1 4 2 证明 如图 1 过点 B 作 BM y 于点 M 则 M 0 4 在 Rt AOE 中 OA OE 3 1 2 45 22 AE OA OE 3 2 在 Rt EMB 中 EM OM OE 1 BM MEB MBE 45 22 BE EM BM 2 BEA 180 1 MEB 90 AB 是 ABE 外接圆的直径 在 Rt ABE 中 BAE CBE BE1 tan BAE tan CBE AE3 在 Rt ABE 中 BAE 3 90 CBE 3 90 CBA 90 即 CB AB 用心 爱心 专心17 CB 是 ABE 外接圆的切线 3 存在 点 P 的坐标为 0 0 或 9 0 或 0 1 3 4 设直线 AB 的解析式为 y kx b 将 A 3 0 B 1 4 代入 得 解得 3k b 0 k b 4 k 2 b 6 直线 AB 的解析式为 y 2x 6 过点 E 作射线 EF x 轴交 AB 于点 F 当 y 3 时 得 x F 3 3 2 3 2 情况一 如图 2 当 0 t 时 设 AOE 平移到 DNM 的位置 MD 交 AB 于点 H MN 3 2 交 AE 于点 G 则 ON AD t 过点 H 作 LK x 轴于点 K 交 EF 于点 L 由 AHD FHM 得 即 解得 HK 2t ADHK FMHL tHK 3 3HK t 2 MNDGNAHAD SSSS 阴 3 3 3 t 2 t 2t t2 3t 1 2 1 2 1 2 3 2 情况二 如图 3 当 t 3 时 设 AOE 平移到 PQR 的位置 PQ 交 AB 于点 I 交 AE 1 2 于点 V 由 IQA IPF 得 即 AQIQ FPIP 3tIQ 3 3IQ t 2 解得 IQ 2 3 t IQAVQA SSS 阴 3 t 2 3 t 3 t 2 3 t 1 2 1 2 1 2 2 t2 3t 1 2 9 2 用心 爱心 专心18 综上所述 2 2 33 t 3t 0t 22 s 193 t3t t3 222 考点 二次函数综合题 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 二次函数性质 等腰直角三角 形的判定和性质 勾股定理 锐角三角函数定义 圆的切线的判定 相似三角形的性质 平移的性质 分析 1 已知 A D E 三点的坐标 利用待定系数法可确定抛物线的解析式 从而能得到顶点 B 的 坐标 2 过 B 作 BM y 轴于 M 由 A B E 三点坐标 可判断出 BME AOE 都为等腰直角三角形 易证得 BEA 90 即 ABE 是直角三角形 而 AB 是 ABE 外接圆的直径 因此只需证明 AB 与 CB 垂直 即可 BE AE 长易得 能求出 tan BAE 的值 结合 tan CBE 的值 可得到 CBE BAE 由此证得 CBA CBE ABE BAE ABE 90 从而得证 3 在 Rt ABE 中 AEB 90 tan BAE sin BAE cos BAE 1 3 10 10 3 10 10 若以 D E P 为顶点的三角形与 ABE 相似 则 DEP 必为直角三角形 DE 为斜边时 P1在 x 轴上 此时 P1与 O 重合 由 D 1 0 E 0 3 得 OD 1 OE 3 即 tan DEO tan BAE 1 3 即 DEO BAE 满足 DEO BAE 的条件 因此 O 点是符合条件的 P1点 坐标为 0 0 DE 为短直角边时 P2在 x 轴上 若以 D E P 为顶点的三角形与 ABE 相似 DEP2 AEB 90 sin DP2E sin BAE 10 10 而 DE 则 DP2 DE sin DP2E 10 OP2 DP2 OD 9 22 1 3 1010 10 10 即 P2 9 0 DE 为长直角边时 点 P3在 y 轴上 若以 D E P 为顶点的三角形与 ABE 相似 则 EDP3 AEB 90 cos DEP3 cos BAE 3 10 10 则 EP3 DE cos DEP3 OP3 EP3 OE 即 P3 0 10 3 1010 103 1 3 1 3 用心 爱心 专心19 综上所述 得 P1 0 0 P2 9 0 P3 0 1 3 4 过 E 作 EF x 轴交 AB 于 F 当 E 点运动在 EF 之间时 AOE 与 ABE 重叠部分是个五边形 当 E 点运动到 F 点右侧时 AOE 与 ABE 重叠部分是个三角形 按上述两种情况按图形之间的和差关系 进行求解 5 2012 湖北天门 仙桃 潜江 江汉油田 12 分 如图 抛物线 y ax2 bx 2 交 x 轴于 A 1 0 B 4 0 两点 交 y 轴于点 C 与过点 C 且平行于 x 轴的直线交于另一点 D 点 P 是抛物线上一动点 1 求抛物线解析式及点 D 坐标 2 点 E 在 x 轴上 若以 A E D P 为顶点的四边形是平行四边形 求此时点 P 的坐标 3 过点 P 作直线 CD 的垂线 垂足为 Q 若将 CPQ 沿 CP 翻折 点 Q 的对应点为 Q 是否存在点 P 使 Q 恰好落在 x 轴上 若存在 求出此时点 P 的坐标 若不存在 说明理由 答案 解 1 抛物线 y ax2 bx 2 经过 A 1 0 B 4 0 两点 解得 ab 2 0 16a 4b 2 0 1 a 2 3 b 2 抛物线解析式为 2 13 yxx2 22 当 y 2 时 解得 x1 3 x2 0 舍去 2 13 xx22 22 点 D 坐标为 3 2 2 A E 两点都在 x 轴上 AE 有两种可能 当 AE 为一边时 AE PD P1 0 2 当 AE 为对角线时 根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等 可知 P 点 D 点到直线 AE 即 x 轴 的距离相等 P 点的纵坐标为 2 代入抛物线的解析式 解得 2 13 xx22 22 12 3 41341 xx 22 用心 爱心 专心20 P 点的坐标为 2 2 3 41 2 341 2 综上所述 P1 0 2 P2 2 P3 2 3 41 2 341 2 3 存在满足条件的点 P 显然点 P 在直线 CD 下方 设直线 PQ 交 x 轴于 F 点 P 的坐标为 2 13 aaa2 22 当 P 点在 y 轴右侧时 如图 1 CQ a PQ 22 1313 2aa2 aa 2222 又 CQ O FQ P 90 COQ Q FP 90 FQ P OCQ COQ Q FP 即 解得 F Q a 3 Q CQ P COFQ 2 13 aa a 22 2FQ OQ OF F Q a a 3 3 2222 CQ CQ CO OQ 3 2 13 此时 a 点 P 的坐标为 13 9 3 13 13 2 当 P 点在 y 轴左侧时 如图 2 此时 a 0 0 CQ a 2 13 aa2 22 PQ 22 1313 2aa2 aa 2222 又 CQ O FQ P 90 CQ O OCQ 90 FQ P OCQ COQ Q FP 90 COQ Q FP 即 解得 F Q CQ P COFQ 2 13 aa a 22 2FQ Q 3 a OQ 3 22 CQ CQ 3 2 13 此时 a 点 P 的坐标为 13 93 13 13 2 综上所述 满足条件的点 P 坐标为 9 3 13 13 2 93 13 13 2 考点 二次函数综合题 曲线上点的坐标与方程的关系 平行四边形的判定和性质 相似三角形的判 用心 爱心 专心21 定和性质 勾股定理 分析 1 用待定系数法可得出抛物线的解析式 令 y 2 可得出点 D 的坐标 2 分两种情况进行讨论 当 AE 为一边时 AE PD 当 AE 为对角线时 根据平行四边形 对顶点到另一条对角线距离相等 求解点 P 坐标 3 结合图形可判断出点 P 在直线 CD 下方 设点 P 的坐标为 分情况讨 2 13 aaa2 22 论 当 P 点在 y 轴右侧时 当 P 点在 y 轴左侧时 运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解 即可 6 2012 湖北宜昌 12 分 如图 在平面直角坐标系中 直线 y x 1 分别与两坐标轴交于 B A 两点 3 3 C 为该直线上的一动点 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 开始沿直线 BA 向上移动 作等边 CDE 点 D 和点 E 都在 x 轴上 以点 C 为顶点的抛物线 y a x m 2 n 经过点 E M 与 x 轴 直线 AB 都相切 其 半径为 3 1 a 3 1 求点 A 的坐标和 ABO 的度数 2 当点 C 与点 A 重合时 求 a 的值 3 点 C 移动多少秒时 等边 CDE 的边 CE 第一次与 M 相切 答案 解 1 当 x 0 时 y 1 当 y 0 时 x 3 OA 1 OB A 的坐标是 0 1 3 tan ABO ABO 30 OA13 OB33 2 CDE 为等边三角形 点 A 0 1 tan30 OD OD OA 3 3 D 的坐标是 0 E 的坐标是 0 3 3 3 3 把点 A 0 1 D 0 E 0 代入 y a x m 2 n 得 3 3 3 3 用心 爱心 专心22 解得 a 3 2 2 2 1 am n 3 0 am n 3 3 0 am n 3 a 3 m 0 n 1 3 如图 设切点分别是 Q N P 连接 MQ MN MP ME 过点 C 作 CH x 轴 H 为垂足 过 A 作 AF CH F 为垂足 CDE 是等边三角形 ABO 30 BCE 90 ECN 90 CE AB 分别与 M 相切 MPC CNM 90 四边形 MPCN 为矩形 MP MN 四边形 MPCN 为正方形 MP MN CP CN 3 1 a a 0 3 EC 和 x 轴都与 M 相切 EP EQ NBQ NMQ 180 PMQ 60 EMQ 30 在 Rt MEP 中 tan30 PE 3 a PE PM 3 CE CP PE 3 1 a 3 a 2a 333 DH HE a CH 3a BH 3a 33 OH 3a OE 4a 3333 E 4a 0 C 3a 3a 3333 设二次函数的解析式为 y a x 3a 2 3a 33 E 在该抛物线上 a 4a 3a 2 3a 0 3333 得 a2 1 解之得 a1 1 a2 1 a 0 a 1 AF 2 CF 2 AC 4 3 点 C 移动到 4 秒时 等边 CDE 的边 CE 第一次与 M 相切 用心 爱心 专心23 考点 动点问题 二次函数综合题 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 等边三角形的性质 直线与圆相切的性质 分析 1 已知直线 AB 的解析式 令解析式的 x 0 能得到 A 点坐标 令 y 0 能得到 B 点坐标 在 Rt OAB 中 知道 OA OB 的长 用正切函数即可得到 ABO 的值 2 当 C A 重合时 可知点 C 的坐标 然后结合 OC 的长以及等边三角形的特性求出 OD OE 的长 即可得到 D E 的坐标 利用待定系数即可确定 a 的值 3 作出第一次相切时的示意图 已知的条件只有圆的半径 那么连接圆心与三个切点以及 点 E 首先能判断出四边形 CPMN 是正方形 那么 CP 与 M 的半径相等 只要再求出 PE 就能进一步求得 C 点坐标 那么可以从 PE EQ 即 Rt MEP 入手 首先 CED 60 而 MEP MEQ 易求得这两个角的 度数 通过解直角三角形不难得到 PE 的长 即可求出 PE 及点 C E 的坐标 然后利用 C E 的坐标确定 a 的值 从而可求出 AC 的长 由此得解 7 2012 湖北咸宁 12 分 如图 在平面直角坐标系中 点 C 的坐标为 0 4 动点 A 以每秒 1 个单位 长的速度 从点 O 出发沿 x 轴的正方向运动 M 是线段 AC 的中点 将线段 AM 以点 A 为中心 沿顺时针方 向旋转 得到线段 AB 过点 B 作 x 轴的垂线 垂足为 E 过点 C 作 y 轴的垂线 交直线 BE 于点 90 D 运动时间为 t 秒 1 当点 B 与点 D 重合时 求 t 的值 2 设 BCD 的面积为 S 当 t 为何值时 S 25 4 3 连接 MB 当 MB OA 时 如果抛物线的顶点在 ABM 内部 不包括边 求 a 的取 2 yax10ax 值范围 用心 爱心 专心24 考点 动点问题 旋转的性质 矩形的性质 直角三角形两锐角的关系 相似三角形的判定和性质 解一元二次方程 二次函数的性质 分析 1 由 Rt CAO Rt ABE 得到 根据点 B 与点 D 重合的条件 代入 CAAO ABBE CA 2AM 2AB AO 1 t t BE DE OC 4 即可求得此时 t 的值 2 分 0 8 和 8 两种情况讨论即可 tt 3 求出抛物线的顶点坐标为 5 知它的顶点在直线上移动 由抛 2 yax10ax 25a x5 物线的顶点在 ABM 内部 不包括边 得 1 2 解之即得 a 的取值范围 2 yax10ax 25a 8 2012 湖北十堰 6 分 阅读材料 例 说明代数式 的几何意义 并求它的最小值 22 x1 x3 4 解 如图 建立平面直角坐标系 点 222222 x1 x3 4 x0 1 x3 2 用心 爱心 专心25 P x 0 是 x 轴上一点 则可以看成点 P 与点 A 0 1 的距离 可以看 22 x0 1 22 x3 2 成点 P 与点 B 3 2 的距离 所以原代数式的值可以看成线段 PA 与 PB 长度之和 它的最小值就是 PA PB 的最小值 设点 A 关于 x 轴的对称点为 A 则 PA PA 因此 求 PA PB 的最小值 只需求 PA PB 的最小值 而点 A B 间的直线段距离最短 所以 PA PB 的最小值为线段 A B 的长度 为此 构造直角三角形 A CB 因为 A C 3 CB 3 所以 A B 3 即原式的最小值为 3 22 根据以上阅读材料 解答下列问题 1 代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 P x 0 与点 A 1 1 点 22 x1 1 x2 9 B 的距离之和 填写点 B 的坐标 2 代数式 的最小值为 22 x49x12x37 答案 解 1 2 3 2 10 考点 坐标与图形性质 轴对称 最短路线问题 分析 1 原式化为的形式 2222 x1 1 x2 3 代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 P x 0 与点 A 22 x1 1 x2 9 1 1 点 B 2 3 的距离之和 2 原式化为的形式 2222 x0 7 x6 1 所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 P x 0 与点 A 0 7 点 B 6 1 的距离之和 如图所示 设点 A 关于 x 轴的对称点为 A 则 PA PA 求 PA PB 的最小值 只需求 PA PB 的最小值 而点 A B 间的直线段距离最短 PA PB 的最小值为线段A B 的长度 用心 爱心 专心26 A 0 7 B 6 1 A 0 7 A C 6 BC 8 2222 A B A CBC 68 10 9 2012 湖北十堰 12 分 抛物线 y x2 bx c 经过点 A B C 已知 A 1 0 C 0 3 1 求抛物线的解析式 2 如图 1 P 为线段 BC 上一点 过点 P 作 y 轴平行线 交抛物线于点D 当 BDC 的面积最大时 求点 P 的坐标 3 如图 2 抛物线顶点为 E EF x 轴于 F 点 M m 0 是 x 轴上一动点 N 是线段 EF 上一点 若 MNC 90 请指出实数 m 的变化范围 并说明理由 答案 解 1 A 1 0 C 0 3 在抛物线 y x2 bx c 上 解得 抛物线解析式为 y x2 2x 3 1b c 0 c 3 b 2 c 3 2 令 x2 2x 3 0 解得 x1 1 x2 3 B 3 0 设直线 BC 的解析式为 y kx b 则 解得 直线 BC 的解析式为 y x 3 3b c 0 c 3 b 1 c 3 设 P a 3 a 则 D a a2 2a 3 PD a2 2a 3 3 a a2 3a BDCPDCPDB 113 SSS PD aPD3a PD 222 2 2 33327 a 3a a 2228 当时 BDC 的面积最大 此时 P 3 a 2 3 2 3 2 3 由 1 y x2 2x 3 x 1 2 4 E 1 4 OF 1 EF 4 OC 3 用心 爱心 专心27 过 C 作