江苏省金湖县实验中学八年级数学上册 第十三章《13.3乘法公式》教案 华东师大版

1 第十三章第十三章 13 3 13 3 乘法公式乘法公式 教案教案 一 本周教学内容 初二数学 第十四章 第三节 乘法公式 学习要求 1 理解乘法公式的意义 掌握乘法公式的结构特征 并能正确地运用乘法公式 2 弄清公式的变化形式 注意公式的应用条件 二 重点 难点 学习重点 认识平方差公式和完全平方公式的结构特征 会用几何图形说明其意义 学习难点 灵活运用公式解题 典型例题典型例题 一 两数和乘以它们的差 1 首先计算 a b a b a2 b2 这就是说 两数和与它们差的积 等于这两数的平方差 上面所列的这个公式 就是平方差公式 2 公式的结构特征 在平方差公式中 左边是两个二项式的积 在这两个二项式中有一 项 a 完全相同 另一项 b 和 b 互为相反数 右边是符号相同的项的平方减去符号相反 项的平方 3 弄清公式的变化形式 公式 a b a b a2 b2有八种变化形式 位置变化 a b a b b a b a a2 b2 符号变化 a b a b b2 a2 系数变化 4a 3b 4a 3b 4a 2 3b 2 16a2 9b2 指数变化 a2 b2 a2 b2 a2 2 b2 2 a4 b4 增项变化 a b c a b c a b 2 c2 a2 b2 c2 2ab 增因式变化 a b a b a b a b a2 b2 a2 b2 a2 b2 2 连用公式变化 a b a b a2 b2 a4 b4 a2 b2 a2 b2 a4 b4 a4 b4 a4 b4 a8 b8 逆用公式变化 a b c d 2 a b c d 2 a b c d a b c d a b c d a b c d 2a 2b 2c 2d 4ac 4ab 4ad 4 注意公式的应用条件 字母 a b 它们可以表示具体的数 也可以表示代数式 应用时 要紧扣 相同项 和 互为相反项 这两点 例如 3a b a b 3a2 b2 因为左边两个因式中的第一项 3a 和 a 不是相同项 不符合平方差公式的条件 而且在运算时要注意要将整个项全部平方 3a 2b 3a 2b 3a2 2b2 3a 2b 3a 2b 3a 2 2b 2 9a2 4b2 5 典型例题 2 例 1 计算 1 a 3 a 3 2 2a 3b 2a 3b 3 1 2c 1 2c 4 9x 4y 9x 4y 解解 1 a 3 a 3 a2 32 a2 9 2 2a 3b 2a 3b 2a 2 3b 2 4a2 9b2 3 1 2c 1 2c 12 2c 2 1 4c2 4 9x 4y 9x 4y 9x 2 4y 2 81x2 16y2 例 2 计算 1 2m 5 2m 5 2m 3m 1 2 2x 5y 2x 5y 2x 3y 2x 3y 3 4a2b3 5mn2 25m2n4 16a4b6 4a2b3 5mn2 解解 1 2m 5 2m 5 2m 3m 1 2m 2 52 6m2 2m 4m2 25 6m2 2m 2m2 2m 25 2 2x 5y 2x 5y 2x 3y 2x 3y 4x2 25y2 4x2 9y2 16y2 3 4a2b3 5mn2 25m2n4 16a4b6 4a2b3 5mn2 4a2b3 5mn2 4a2b3 5mn2 16a4b6 25m2n4 16a4b6 25m2n4 16a4b6 25m2n4 256a8b12 625m4n8 例 3 用平方差公式计算 1 103 97 2 118 122 3 20032 2002 2004 解 解 1 103 97 100 3 100 3 10000 9 9991 2 118 122 120 2 120 2 1202 4 14400 4 14396 3 20032 2002 2004 20032 2003 1 2003 1 20032 20032 1 1 例 4 计算 2 1 2 1 2 1 1 24 22 n 分析 分析 直接计算是不行的 注意到 2 1 1 用 1 乘以原来的式子值不变 再利用公式 可以计算 解 解 原式 21 21 21 2121 242n 连续用平方差公式 21 21 22 nn 21 2 1n 例 5 计算 2x 3y 1 2x 3y 5 分析 分析 初看此题似不符公式的特点 似乎不能应用公式来解 若先将其变形 将 1 拆成 3 2 将 5 拆成 3 2 便可以应用公式求解 解解 原式 2 3y 2x 3 2 3y 2x 3 2 3y 2 2x 3 2 9y2 4x2 12y 12x 5 3 二 完全平方公式 1 计算 a b 2 a2 2ab b2 利用这个结果 可以直接得出两数和的平方 上面这个算式也就是说 两数和的平方 等于它们的平方和加上它们乘积的 2 倍 计算 a b 2 a2 2ab b2 利用此结果 可以直接得出两数差的平方 也就是说 两数差的平方 等于它们的平方和减去它们乘积的 2 倍 2 完全平方公式的结构特征 在和的平方这个公式中 左边是和的平方 a b 2 右边是平方的和 a2 b2 加上乘积的 2 倍 2ab 在差的平方这个公式中 左边是差的平方 a b 2 右边是平方的和 a2 b2 减去乘积的 2 倍 2ab 3 公式的灵活应用 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 得 1 a b 2 a b 2 4ab 2 a b 2 a b 2 4ab 3 a b 2 a b 2 2 a2 b2 4 公式应用时的注意事项 1 公式中 a b 既可以是数 也可以是整式 2 公式有时会逆用 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 3 公式中完全平方项的系数全是正数 不能 a b 2 a2 2ab b2 5 典型例题 例 6 计算 1 232 2 2 3 23 222 aba b xy 解解 1 2a 3b 2 2a 2 2 2a 3b 3b 2 4a2 12ab 9b2 22 2 222 22 222 a b aa bb 42 4 2 2 aab b 3 2x 3y 2 2x 2 2 2x 3y 3y 2 4x2 12xy 9y2 例 7 计算 1 5x 2y 2 20 xy 2 6x 9 2 2x x 3 3 3a 4b 2 2a b 2 4 a 2b a 2b a 2b 2 解解 1 5x 2y 2 20 xy 25x2 4y2 20 xy 20 xy 25x2 4y2 2 6x 9 2 2x x 3 36x2 81 108x 2x2 6x 34x2 102x 81 3 3a 4b 2 2a b 2 9a2 16b2 24ab 4a2 b2 4ab 5a2 15b2 28ab 4 a 2b a 2b a 2b 2 a2 4b2 a2 4b2 4ab 4 8b2 4ab 例 8 已知 x2 y2 26 4xy 12 求 x y 2和 x y 2的值 解 解 x y x y 2xy x y 1 2 4xy 26 6 32 22222 xyxyxyxyxy 2222 2 1 2 426620 例 9 已知 m n 3 mn 10 求 1 m2 n2 2 m n 2 分析 此题最自然的思路是先求 m n 但较困难 因而争取想到利用公式变形来求解 解 解 1 m2 n2 m n 2 2mn 32 2 10 29 2 m n 2 m n 2 4mn 32 4 10 49 例 10 已知 求的值 ambmaabb 1 2 1 1 2 22 22 分析 分析 此式可直接求解 但较困难 不如可逆用 a b 2 a2 2ab b2得 a2 2ab b2 a b 2 解 解 a2ab b ab 1 2 m 1 1 2 m 2 1 2222 1 课后小结 1 在平方差公式的应用中 经常要注意两个问题 1 是否可用平方差公式 2 关 于平方差公式中的符号 2 在完全平方公式的应用中 主要考虑完全平方和与完全平方差公式的互相转换 这是 完全平方公式的重点 3 在解题时 经常会用到乘法公式逆用的情况 要灵活地运用乘法公式 模拟试题模拟试题 1 计算 1 5 6x 5 6x 2 44 x y x y 3 x 2y x 2y 4 ab 8 ab 8 5 m n m n 6 2x 3y 2x 3y 2 计算 1232 45 22 xxy 3 3 1 2 4 222 mab 3 计算 1 a b 3 a b 3 2 a b c a b c 3 a2 ab b2 a2 ab b2 4 1 5 1 2 2 已知 求的值 a a a a 5 已知 a b 2 11 a b 2 5 求 a2 b2 ab 5 6 计算 a b c 2 a b 3 a b 3 6 试题答案试题答案 1 1 5 6x 5 6x 52 6x 2 25 36x2 2 44416 22 2 2 x y x y x y x y 3 x 2y x 2y x2 4y2 4 ab 8 ab 8 ab 2 82 a2b2 64 5 m n m n m 2 n2 m2 n2 6 2x 3y 2x 3y 2x 2 3y 2 4x2 9y2 2 解 1 2x 3 2 4x2 12x 9 2 4x 5y 2 4x 2 2 4x 5y 5y 2 16x2 40 xy 25y2 33 1 2 323 1 2 1 2 93 1 4 22222242 mmmmm 4 a b 2 a 2 2 a b b 2 a2 2ab b2 3 解 1 a b 3 a b 3 a b 2 32 a2 2ab b2 9 2 a b c a b c a b c a b c a2 b c 2 a2 b2 c2 2bc 3 a2 ab b2 a2 ab b2 a2 b2 ab a2 b2 ab a2 b2 2 ab 2 a4 b4 2a2b2 a2b2 a4 b4 a2b2 4 解 a a aa aa a a 1 2 111 2 22 2 2 2 又a a a a 1 5 1 225 2 2 故 a a 2 2 1 23 5 解 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 故 a b 2 a b 2 2 a2 b2 得ababab 2222 1 2 1 2 1158 a b 2 a b 2 4ab 得