湖北省宜昌市长阳一中2012-2013学年高二数学下学期第一次月考试题 理（含解析）新人教A版

1 2012 20132012 2013 学年湖北省宜昌市长阳一中高二 下 第一次月考数学学年湖北省宜昌市长阳一中高二 下 第一次月考数学 试卷 理科 试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 每小题给出的四个选项中 只有分 每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 请将正确选项填涂在答题卡上 一项是符合题目要求的 请将正确选项填涂在答题卡上 1 5 分 若 f x0 2 则等于 A 2B 2C D 考点 导数的几何意义 专题 计算题 分析 由导数的定义知 f x0 由此能够求出 的值 解答 解 f x0 2 故选 A 点评 本题考查导数的概念和极限的运算 解题时要认真审题 仔细解答 属于基础题 2 5 分 执行如图所示的程序框图 若输人的 x 的值为 2 则输出的 x 的值为 A 23B 16C 11D 5 考点 程序框图 专题 图表型 2 分析 n 1 满足条件 n 3 执行循环体 依此类推 当 x 23 n 4 此时不满足条件 n 3 退出循环体 从而得到所求 解答 解 若输人的 x 的值为 2 n 1 满足条件 n 3 执行循环体 x 5 n 2 满足条件 n 3 执行循环体 x 11 n 3 满足条件 n 3 执行循环体 x 23 n 4 不满足条件 n 3 退出循环体 此时 x 23 故选 A 点评 根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型 处理的步骤一般为 分析流 程图 从流程图中即要分析出计算的类型 又要分析出参与计算的数据建立数学模 型 根据第一步分析的结果 选择恰当的数学模型解模 算法和程序框图是新课标 新增的内容 在近两年的新课标地区高考都考查到了 这启示我们要给予高度重视 属于基础题 3 5 分 有一个几何体的三视图及其尺寸如下 单位 cm 则该几何体的表面积及体积 分别为 A 24 cm 2 12 cm3B 15 cm 2 12 cm3C 24 cm 2 36 cm3D 以上都不正确 考点 由三视图求面积 体积 专题 空间位置关系与距离 分析 由已知中的三视图及其尺寸 我们易判断这个几何体是圆锥 且底面直径为 6 圆锥 的母线长为 5 代入圆锥的表面积和体积公式 我们易得结论 解答 解 由三视图可得该几何体为圆锥 且底面直径为 6 即底面半径为 r 3 圆锥的母 线长 l 5 则圆锥的底面积 S底面 r2 9 侧面积 S侧面 r l 15 故几何体的表面积 S 9 15 24 cm2 又由圆锥的高 h 4 故 V S底面 h 12 cm3 故选 A 点评 本题考查的知识点是由三视图求面积和体积 根据三视图判断几何体的底面半径和 3 母线长是解答本题的关键 4 5 分 已知随机变量 X 服从正态分布 N 3 1 且 P 2 X 4 0 6826 则 P X 4 A 0 1588B 0 1587C 0 1586D 0 1585 考点 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题 计算题 分析 根据题目中 正态分布 N 3 1 画出其正态密度曲线图 根据对称性 由 2 X 4 的概率可求出 P X 4 解答 解 P 3 X 4 P 2 X 4 0 3413 观察上图得 P X 4 0 5 P 3 X 4 0 5 0 3413 0 1587 故选 B 点评 本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 注意根据正态曲线的对称 性解决问题 5 5 分 在二项式的展开式中 只有第 5 项的二项式系数最大 则展 开式中的第 6 项是 A B C D 考点 二项式系数的性质 专题 计算题 分析 由展开式中只有第 5 项的二项式系数最大可求得 n 值 根据二项展开式的通项公式 可求得展开式中的第 6 项 解答 解 因为展开式中只有第 5 项的二项式系数最大 所以 1 5 解得 n 8 4 则展开式中的第 6 项 T5 1 故选 C 点评 本题考查二项式系数的性质 考查二项展开式的通项公式 熟练掌握相关公式 性 质是解决该类题目的基础 6 5 分 2011 辽宁 从 1 2 3 4 5 中任取 2 个不同的数 事件 A 取到的 2 个数之和 为偶数 事件 B 取到的 2 个数均为偶数 则 P B A A B C D 考点 条件概率与独立事件 专题 计算题 分析 用列举法求出事件 A 取到的 2 个数之和为偶数 所包含的基本事件的个数 求 p A 同理求出 P AB 根据条件概率公式 P B A 即可求得结果 解答 解 事件 A 取到的 2 个数之和为偶数 所包含的基本事件有 1 3 1 5 3 5 2 4 p A 事件 B 取到的 2 个数均为偶数 所包含的基本事件有 2 4 P AB P B A 故选 B 点评 此题是个基础题 考查条件概率的计算公式 同时考查学生对基础知识的记忆 理 解和熟练程度 7 5 分 2009 山东 某工厂对一批产品进行了抽样检测 如图是根据抽样检测后的产 品净重 单位 克 数据绘制的频率分布直方图 其中产品净重的范围是 96 106 样本 数据分组为 96 98 98 100 100 102 102 104 104 106 已知样本中产 品净重小于 100 克的个数是 36 则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的 个数是 5 A 90B 75C 60D 45 考点 频率分布直方图 收集数据的方法 专题 图表型 分析 根据小长方形的面积 组距 求出频率 再根据求出频 数 建立等式关系 解之即可 解答 解 净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数设为 N2 产品净重小于 100 克的个数设为 N1 36 样本容量为 N 则 故选 A 点评 用样本估计总体 是研究统计问题的一个基本思想方法 对于总体分布 总是用样 本的频率分布对它进行估计 频率分布直方图 小长方形的面积 组距 各个矩形面积之和等于 1 即 属于基础 题 8 5 分 2009 陕西 设曲线 y xn 1 n N 在点 1 1 处的切线与 x 轴的交点的横 坐标为 xn 则 x1 x2 xn的值为 A B C D 1 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 直线的斜率 专题 计算题 压轴题 分析 欲判 x1 x2 xn的值 只须求出切线与 x 轴的交点的横坐标即可 故先利用导数求 出在 x 1 处的导函数值 再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率 从而问题解 决 解答 解 对 y xn 1 n N 求导得 y n 1 xn 令 x 1 得在点 1 1 处的切线的斜率 k n 1 在点 1 1 处的切线方程为 y 1 k xn 1 n 1 xn 1 不妨设 y 0 则 x1 x2 x3 xn 6 故选 B 点评 本小题主要考查直线的斜率 利用导数研究曲线上某点切线方程 数列等基础知识 考查运算求解能力 化归与转化思想 属于基础题 9 5 分 2007 湖北 连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n 记向量与向 量的夹角为 则的概率是 A B C D 考点 数量积表示两个向量的夹角 等可能事件的概率 专题 计算题 压轴题 分析 由题意知本题是一个古典概型 根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事 件数 满足条件的事件数要通过列举得到 题目大部分内容考查的是向量的问题 这是一个综合题 解答 解 由题意知本题是一个古典概型 试验发生包含的所有事件数 6 6 m 0 n 0 m n 与 1 1 不可能同向 夹角 0 0 0 m n 0 即 m n 当 m 6 时 n 6 5 4 3 2 1 当 m 5 时 n 5 4 3 2 1 当 m 4 时 n 4 3 2 1 当 m 3 时 n 3 2 1 当 m 2 时 n 2 1 当 m 1 时 n 1 满足条件的事件数 6 5 4 3 2 1 概率 P 故选 C 点评 向量知识 向量观点在数学 物理等学科的很多分支有着广泛的应用 而它具有代 数形式和几何形式的 双重身份 能融数形于一体 能与中学数学教学内容的许多 主干知识综合 形成知识交汇点 7 10 5 分 2013 长春一模 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AB CD 且 AB 2AD 设 DAB 0 以 A B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1 以 C D 为焦 点且过点 A 的椭圆的离心率为 e2 则 A 随着角度 的增大 e1增大 e1e2为定值 B 随着角度 的增大 e1减小 e1e2为定值 C 随着角度 的增大 e1增大 e1e2也增大 D 随着角度 的增大 e1减小 e1e2也减小 考点 椭圆的简单性质 专题 计算题 压轴题 分析 连接 BD AC 假设 AD t 根据余弦定理表示出 BD 进而根据双曲线的性质可得到 a 的值 再由 AB 2c e 可表示出 e1 最后根据余弦函数的单调性 可判断 e1的单调性 同样表示出椭圆中的 c 和 a 表示出 e2的关系式 最后令 e1 e2相乘即可得到 e1e2的关系 解答 解 连接 BD AC 设 AD t 则 BD 双曲线中 a e1 y cos 在 0 上单调减 进而可知当 增大时 y 减小 即 e1减小 AC BD 椭圆中 CD 2t 1 cos 2c c t 1 cos 8 AC AD t a t e2 e1e2 1 故选 B 点评 本题主要考查椭圆和双曲线的离心率的表示 考查考生对圆锥曲线的性质的应用 圆锥曲线是高考的重点每年必考 平时要注意基础知识的积累和练习 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分 分 11 5 分 2011 长春模拟 命题 x R 2x2 3ax 9 0 为假命题 则实数 a 的取值 范围为 2 2 考点 命题的真假判断与应用 函数恒成立问题 分析 它的否命题 x R 2x2 3ax 9 0 为真命题 也就是常见的 恒成立 问题 只需 0 解答 解 原命题的否命题为 x R 2x2 3ax 9 0 且为真命题 则开口向上的二次函数值要想大于等于 0 恒成立 只需 9a2 4 2 9 0 解得 2 a 2 故答案为 2 2 点评 存在性问题在解决问题时一般不好掌握 若考虑不周全 或稍有不慎就会出错 所 以 可以采用数学上正难则反的思想 去从它的反面即否命题去判定 注意 恒成 立 条件的使用 12 5 分 已知曲线的一条切线的斜率为 则切点的横坐标为 3 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题 计算题 分析 求出曲线方程的导函数 根据切线的方程找出切线的斜率 令导函数等于斜率列出 关于 x 的方程 求出方程的解即为切点的横坐标 解答 解 求导函数得 y x 0 又由曲线的一条切线的斜率为 令 即 x 3 x 2 0 解得 x 3 x 2 不合题意 舍去 则切点的横坐标为 3 故答案为 3 9 点评 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率 是一道基础题 学生在 求出 x 的值后 注意隐含的条件函数的定义域 x 0 舍去不合题意的 x 的值 13 5 分 2011 重庆 将一枚均匀的硬币投掷 6 次 则正面出现的次数比反面出现的次 数多的概率为 考点 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 专题 计算题 分析 本题是一个 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 正面出现的次数比反面出现 的次数多包括三种情况 正面出现 4 次 反面出现 2 次 正面出现 5 次 反面出现 1 次 正面出现 6 次 共有三种情况 这三种情况是互斥的 写出概率 得到结果 解答 解 由题意知本题是一个 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 正面出现的次数比反面出现的次数多包括 正面出现 4 次 反面出现 2 次 正面出现 5 次 反面出现 1 次 正面出现 6 次 共有三种情况 这三种情况是互斥的 正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是 故答案为 点评 本题考查 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 考查互斥事件的概率 是一个 基础题 解题的关键是看清题目所给的条件符合什么规律 在按照规律解题 14 5 分 的展开式中 x2项的系数是 15 则 a 的值为 5 考点 二项式系数的性质 专题 计算题 分析 要求的展开式中 x2项的系数 只要求出 1 5的展开式 中含 x2的项及含 x 的项的系数 然后合并同类项可求 然后令其为 15 即可解得 a 值 解答 解 1 5的展开式的通项 Tr 1 C5r 5 r 令 5 r 2 可得 r 3 此时 T4 C53x 10 x 令 5 r 4 可得 r 1 此时 T2 C51x2 5x2 a x 1 5展开式中 x2项系数为 5a 10 15 解得 a 5 故答案为 5 10 点评 新课标下 二项式问题只是 2011 年考查过 二项式的通项公式和求展开式各项系数 和 是必须掌握的知识 15 5 分 正四面体 即四条棱均相等的三棱锥 的 4 个面上分别写有数字 1 2 3 4 将 3 个这样大小相同 质地均匀的正四面体同时投掷于桌面上 记 为与桌面接触的 3 个 面上的 3 个数字中最大值与最小值之差的绝对值 则随机变量 的期望 E 等于 考点 离散型随机变量的期望与方差 专题 概率与统计 分析 用列举法得到所有基本事件 找出所有求的可能事件包括的基本事件及其概率 再 利用数学期望的计算公式即可得出 解答 解 的可能取值为 0 1 2 3 与桌面接触的 3 个面上的 3 个数字共有 43 64 个 基本事件 当与桌面接触的 3 个面上的 3 个数字相同时 包括 4 个基本事件 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 即 0 1 1 4 4 P 0 当与桌面接触的 3 个面上的 3 个数字相差 2 时 包括以下 24 个基本事件 1 1 3 1 3 1 3 1 1 3 3 1 3 1 3 1 3 3 2 2 4 2 4 2 4 2 2 2 4 4 4 2 4 4 4 2 1 2 3 3 2 1 2 3 4 4 3 2 P 2 当与桌面接触的 3 个面上的 3 个数字相差 3 时 包括以下 18 个基本事件 1 1 4 1 4 1 4 1 1 4 4 1 4 1 4 1 4 4 4 2 1 2 4 1 4 1 2 2 1 4 1 2 4 1 4 2 4 3 1 3 4 1 4 1 3 3 1 4 1 3 4 1 4 3 P 3 当与桌面接触的 3 个面上的 3 个数字相差 1 时 P 1 的分布列如下表 E 故答案为 11 点评 熟练得到所有的基本事件和正确得到可能事件包括的基本事件及其概率 数学期望 的计算公式是解题的关键 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 命题 p x R 使得 x2 a 1 x 1 0 命题 q x R ax2 x 1 0 恒成立 若 p 或 q 为真命题 p 且 q 为假命题 求实数 a 的取值范围 考点 复合命题的真假 专题 阅读型 分析 根据题意分析 x R 使得 x2 a 1 x 1 0 的条件与 ax2 x 1 0 恒成立的条件 求出命题 P 命题 q 为真命题的 a 的范围 再根据复合命题的真值表 结合数形结合 思想求解 解答 解 命题 p 为真 则 a 1 2 4 0 a 3 或 a 1 命题 q 为真 则 a p 或 q 为真命题 p 且 q 为假命题 根据复合命题的真值表 命题 p 和命题 q 一真 一假 1 命题 p 真 命题 q 假 则 a 1 2 命题 p 假 命题 q 真 则 综合得 a 1 或 点评 本题考查复合命题的真假判断 17 一个盒内装有 2n 个白球和 2n 1 个黑球 若取两个球中恰一个白球一个黑球的概 率为 求 1 一次摸 n 个球 摸到都是白球的概率 2 一次摸 n 个球 在已知它们颜色相同的情况下 该颜色是白色的概率 12 考点 古典概型及其概率计算公式 专题 概率与统计 分析 1 利用组合的知识和古典概型的概率计算公式即可得出 2 利用条件概率的计算公式即可得出 解答 解 1 设 取两个球中恰一个白球一个黑球 为事件 A 由题意得 P A 化为 2n2 5n 2 0 又 n N 解得 n 2 盒子共有 4 个白球和 3 个黑球 设 一次摸 2 个球都是白球 为事件 B 则 P B 2 设 一次摸 2 个球且颜色相同 为事件 A 一次摸 2 个球且颜色是白色 为事 件 B 则 P B A 点评 熟练掌握组合的意义和古典概型的概率计算公式 条件概率的计算公式是解题的关 键 18 如图 在四棱锥 ABCD PGFE 中 底面 ABCD 是直角梯形 侧棱垂直于底面 AB DC ABC 45 DC 1 AB 2 PA 1 求 PD 与 BC 所成角的大小 求证 BC 平面 PAC 求二面角 A PC D 的大小 考点 异面直线及其所成的角 直线与平面垂直的判定 二面角的平面角及求法 专题 空间位置关系与距离 空间角 分析 1 取的 AB 中点 H 易证 PDH 为 PD 与 BC 所成角 解三角形可得 2 由已知结合线面垂直的判定可得 3 坐标法求得平面的法向量 由向量的夹角可得二面角的大小 解答 取的 AB 中点 H 连接 DH 易证 BH CD 且 BD CD 1 分 所以四边形 BHDC 为平行四边形 所以 BC DH 13 所以 PDH 为 PD 与 BC 所成角 2 分 因为四边形 ABCD 为直角梯形 且 ABC 45 所以 DA AB 又因为 AB 2DC 2 所以 AD 1 因为 Rt PAD Rt DAH Rt PAH 都为等腰直角三角 形 所以 PD DH PH 故 PDH 60 4 分 连接 CH 则四边形 ADCH 为矩形 AH DC 又 AB 2 BH 1 在 Rt BHC 中 ABC 45 CH BH 1 CB AD CH 1 AC AC2 BC2 AB2 BC AC 6 分 又 PA 平面 ABCD PA BC 7 分 PA AC A BC 平面 PAC 8 分 如图 分别以 AD AB AP 为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间直角坐标系 则由题设可知 A 0 0 0 P 0 0 1 C 1 1 0 D 1 0 0 0 0 1 1 1 1 9 分 设 m a b c 为平面 PAC 的一个法向量 则 即 设 a 1 则 b 1 m 1 1 0 10 分 同理设 n x y z 为平面 PCD 的一个法向量 求得 n 1 1 1 11 分 所以二面角 A PC D 为 60 12 分 点评 本题考查立体几何的综合问题 涉及线面角 线面垂直和二面角 属中档题 19 已知函数 f x ax2 2ln 2 x a R 设曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切 线为 l 若 l 与圆相切 求 a 的值 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 圆的切线方程 专题 计算题 分析 利用导数的几何意义求出 x 1 处的切线的斜率 利用点斜式求出切线方程 最后根 据圆心到直线的距离等于半径 建立方程 解之即可 解答 解 依题意有 l 的方程为 2 a 1 x y 2 a 0 l 与圆相切 14 a 的值为 点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程 以及圆的切线方程等基础题知 识 考查运算求解能力 考查数形结合思想 属于基础题 20 某苗圃基地为了解基地内甲 乙两块地种植的同一种树苗的长势情况 从两块地各随 机抽取了 10 株树苗 分别测出它们的高度如下 单位 cm 甲 19 20 21 23 25 29 32 33 37 41 乙 10 26 30 30 34 37 44 46 46 47 甲乙 1 2 3 4 1 用茎叶图表示上述两组数据 并对两块地抽取树苗的高度的平均数和中位数进行比较 写出两个统计结论 2 现苗圃基地将甲 乙两块地的树苗合在一起 按高度分成一 二两个等级 每个等级 按不同的价格出售 某市绿化部门下属的 2 个单位计划购买甲 乙两地种植的树苗 已知 每个单位购买每个等级树苗所需费用均为 5 万元 且每个单位对每个等级树苗买和不买的 可能性各占一半 求该市绿化部门此次采购所需资金总额 X 的分布列及数学期望值 E X 考点 离散型随机变量的期望与方差 茎叶图 离散型随机变量及其分布列 专题 综合题 分析 1 从茎叶图可以得到 甲批树苗比乙批树苗高度整齐 甲批树苗高度大多集中 在均值附近 乙批树苗高度分布较分散 甲批树苗平均高度小于乙批树苗的平均 高度 甲批树苗高度中位数 27 乙批树苗高度中位数 28 2 确定 X 0 5 10 15 20 设 X 5Y 则 Y B 4 求出相应的概率 可 得分布列与期望 解答 解 画出茎叶图如下 2 分 甲地树苗高度的平均数为 28cm 乙地树苗高度的平均数为 35cm 甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数 4 分 甲地树苗高度的中位数为 27cm 乙地树苗高度的中位数为 35 5cm 甲地树苗高度的中位数小于乙地树苗的高