高三数学一轮复习必备 第97-99课时：第十三章 导数-导数的应用(2)

1 第第 97 9997 99 课时 第十三章课时 第十三章 导数导数 导数的应用导数的应用 2 2 课题 课题 导数的应用 2 函数问题 3 课时 导数与微分是在极限的基础上发展起来的研究变量的一个数学分支 是解决 实际问题的重要的数学工具 如求曲线的切线方程 函数的单调区间 函数的最 值以及不等式的证明等问题 均可以导数作为研究的工具 根据导数的意义进行 求解和证明 关于导数的应用 我们将分两个讲座研究 分别是函数问题和切线 与速度的问题 一 利用导数研究函数的单调性 若函数 f x在某个区间内可导 则当 0fx 时 f x在此区间上为单调 增函数 而当 0fx 时 f x在此区间上为单调减函数 利用上述性质 可 以研究函数的单调性 注意点 1 同一函数的两个单调区间不能并起来 2 求函数的单调区间 求导的方法不是唯一的方法 也不一定是最好的方 法 但它是一种一般性的方法 二 利用导数求函数的最值 求闭区间 a b上的可导函数的最大 小 值的方法是 首先求出此函数在开 区间 a b内的驻点 然后计算函数在驻点与端点处的值 并将它们进行比较 其 中最大的一个即为最大值 最小的一个即为最小值 这里无须对各驻点讨论其是 否为极大 小 值点 如果函数不在闭区间 a b上可导 那么求函数的最大 小 值时 不仅要比 较此函数在各驻点与端点处的值 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值 一般地 求在闭区间 a b上连续 在开区间 a b内可导的函数 f x在闭区 间 a b上最值的步骤为 求 0fx 在区间 a b内的根 即导数为 0 的点 不必确定它是极大值点 还是极小值点 求出这些导数为 0 的点的函数值 求 f x在闭区间 a b两端点处的函数值 即 f a与 f b 将导数为 0 的函数值与两端点处的函数值进行比较 其中最大的一个即为 最大值 最小的一个即为最小值 一 范例分析 2 例例 1 1 设函数 0 aaaxf在区间内为奇函数且可导 证明 aaxf 是内的偶函数 证明 证明 对任意 x xfxxf x xfxxf xfaax xx lim lim 00 由于 xf为奇函数 xfxfxxfxxf 于是 lim lim 00 xf x xfxxf x xfxxf xf xx 因此 xfxf 即 aaxf 是内的偶函数 例 2 已知函数2 23 xcbxaxxxf在处取得极值 并且它 的图象与直线33 xy在点 1 0 处相切 求a b c 的值 解 由曲线 xfy 过 1 0 得01 cba 又axxxf23 2 b 则 0412 2 baf 323 1 baf 解 得6 8 1 cba 例 3 已知cbxaxxxf 23 有极大值 f和极小值 f 1 求 f f的值 2 设曲线 xfy 的极值点为 A B 求证 线段 AB 的中点在 xfy 上 解 1 baxxxf 23 2 由于 xf有极大值和极小值 023 2 baxx为 的两根 则 3 3 2 2323 cbacbaff ba 2 3 2 232233 acba c ab ac a b ba a aba cb2 3 2 27 4 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 2 2 323 2 设 AfBf 由 3332 2222333 aaa fabcabc 3 3 211 2732 aabcff 知 AB 的中点在 xfy 上 例 4 设函数1 1 3 223 kxkkxxf的驻点是 0 和 4 1 求常数k的值 2 确定函数 xf的单调区间 3 求 xf的极值 解 1 xkkxxf 1 63 2 由于驻点是 0 和 4 0 和 4 是方程 0 1 63 2 xkkx的两根 可求得 3 1 k 2 由 1 可知 4 4 2 xxxxxf 当 40 xfxx 或为增函数 40 xfx 为减函数 3 由 2 可判断极大值为 9 8 0 f极小值为 9 88 4 f 例 5 求证 x e 1 x 证明 1 当0 x时 x e 1 1 x 1 命题成立 2 当x 0 时 令 xf x e1 x 则1 x exf 0 xf 在 0 上为增函数 x 0 xf 010 0 0 ef 即 x e1 x 0 x e 1 x 3 当x 0 时 令 xf x e1 x 则1 x exf 0 xf 在 0 上为减函数 x 010 0 0 ef 即 x e1 x 0 x e 1 x 综合以上情况 x e 1 x 4 例 6 已知函数 6 23 baxaxxf 问是否存在实数a b 使f x 在 1 2 上 取得最大值 3 最小值 29 若存在 求出a b 的值 并指出函数的单调区 间 若不存在 请说明理由 解 2 1 4 0 0 1 4 3123 0 22 xxxfxxaaxaxxfa或得令分时 舍 1 a 0 时 如下表 x 1 0 0 0 2 x f 0 xf 最大值 3 当x 0 时 xf取得最大值 b 3 2 a 0 时 如下表 x 1 0 0 0 2 x f 0 xf 最小值 29 当x 0 时 xf取得最小值 b 29 9 分 又f 2 16a 29 f 1 7a 290 试问当 x 取何值时 容量 V 有最大值 解解 2 22 xaxV xxa 2 4 0 220 22 x ax x t ax t at x 21 2 0 函数 V x xxa 2 4的定义域为 t at 21 2 0 3 4axaxV 令 V 0 得 3 a x 1 当 t ata 21 2 3 即 4 1 t时 3 0 a x 时 V 0 V x 为增函数 x a 3t at 21 2 时 V 0 V x 为减函数 V x 在 t at 21 2 0上有 极大值 V 3 a 3 a x 为唯一驻点 当 3 a x 时 V有最大值 3 27 16 a 2 当 t ata 21 2 3 即 4 1 0 t时 t at x 21 2 0 时 V 0 恒成立 V x 为增函数 当 t at x 21 2 时 V有最大值 2 2 21 8 t ta 7 例例 1010 某银行准备新设一种定期存款业务 经预测 存款量与利率的平方成正比 比例系数为 K K 0 贷款的利率为 4 8 又银行吸收的存款能全部放贷出去 1 若存款的利率为 x x 0 0 048 试写出存款量 g x 及银行应支付给储户的 利息 h x 2 存款利率定为多少时 银行可获得最大收益 解 解 1 由题意 存款量 g x Kx2 银行应支付的利息 h x x g x Kx3 2 设银行可获收益为 y 则 y 0 048 Kx2 Kx3 y K 0 096x 3 Kx2 令 y 0 即 K 0 096x 3 Kx2 0 解得 x 0 或 x 0 032 又当 x 0 0 032 时 y 0 x 0 032 0 048 时 y b 0 的长轴为 AB 以 AB 为底边作椭圆的内接等腰 梯形 ABCD 求此等腰梯形面积的最大值 答案 ab 4 33 23 用总长 44 8m 的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架 如 果所制做容器的底面的腰长比底边长的一半长 1m 那么底面的底边 腰及容 器的高为多少时容器的容积最大 参考数据 2 662 7 0756 3 342 11 1556 解 设容器底面等腰三角形的底边长为 2xm 则腰长为 1 mx 1 分 高为 m xx 3 8 8 40 3 1 448 44 2 分 设容器的容积为 Vm3 底面等腰三角形底边 上的高 3 8 8 40 122 2 1 3 12 1 22 x xxVxxxh 分 1 50 0 3 88 40 0 4 3 128 12 8 40 2 x x x xxxx 得及由分 6 1