贵州省贵阳市花溪二中八年级数学下册《3.4.2分式方程（二）》教案 北师大版

用心 爱心 专心1 第七课时第七课时 课 题 3 4 2 分式方程 二 教学目标 一 教学知识点 1 解分式方程的一般步骤 2 了解解分式方程验根的必要性 二 能力训练要求 1 通过具体例子 让学生独立探索方程的解法 经历和体会解分式方程的必要步骤 2 使学生进一步了解数学思想中的 转化 思想 认识到能将分式方程转化为整式方 程 从而找到解分式方程的 途径 三 情感与价值观要求 1 培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯 培养严谨的治学态度 2 运用 转化 的思想 将分式方程转化为整式方程 从而获得一种成就感和学习数 学的自信 教学重点 1 解分式方程的一般步骤 熟练掌握分式方程的解决 2 明确解分式方程验根的必要性 教学难点 明确分式方程验根的必要性 教学方法 探索发现法 学生在教师的引导下 探索分式方程是如何转化为整式方程 并发现解分式方程验根 的必要性 教具准备 投影片四张 第一张 例 1 例 2 记作 3 4 2 A 第二张 议一议 记作 3 4 2 B 第三张 想一想 记作 3 4 2 C 第四张 补充练习 记作 3 4 2 D 教学过程 提出问题 引入新课 师 在上节课的几个问题 我们根据题意将具体实际的情境 转化成了数学模型 分式方程 但要使问题得到真正的解决 则必须设法解出所列的分式方程 这节课 我们就来学习分式方程的解法 我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次 方程的解法 也许你会从中得到启示 寻找到解分式方程的方法 解方程 2 师生共解 1 去分母 方程两边同乘以分母的最小公倍数 6 得 3 3x 1 2 5x 2 6 2 4x 2 2 去括号 得 9x 3 10 x 4 12 4x 2 3 移项 得 9x 10 x 4x 12 2 3 4 用心 爱心 专心2 4 合并同类项 得 23x 13 5 使x的系数化为 1 两边同除以 23 x 讲解新课 探索分式方程的解法 师 刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤 下面我们来看一个分式方程 出示投影片 3 4 2 A 例 1 解方程 1 生 解这个方程 能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢 师 同学们说他的想法可取吗 生 可取 师 同学们可以接着讨论 方程两边同乘以什么样的整式 或数 可以去掉分母 呢 生 乘以分式方程中所有分母的公分母 生 解一元一次方程 去分母时 方程两边同乘以分母的最小公倍数 比较简单 解 分式方程时 我认为方程两边同乘以分母的最简公分母 去分母也比较简单 师 我觉得这两位同学的想法都非常好 那么这个分式方程的最简公分母是什么呢 生 x x 2 师生共析 方程两边同乘以x x 2 得x x 2 x x 2 化简 得x 3 x 2 2 我们可以发现 采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程 而且是我们曾学过的 一元一次方程 生 再往下解 我们就可以像解一元一次方程一样 解出x 即x 3x 6 去括号 2x 6 移项 合并同类项 x 3 x的系数化为 1 师 x 3 是方程 2 的解吗 是方程 1 的解吗 为什么 同学们可以在小组内 讨论 教师可参与到学生的讨论中 倾听学生的说法 生 x 3 是由一元一次方程x 3 x 2 2 解出来的 x 3 一定是方程 2 的 解 但是不是原分式方程 1 的解 需要检验 把x 3 代入方程 1 的左边 1 右 边 1 左边 右边 所以x 3 是方程 1 的解 师 同学们表现得都很棒 相信同学们也能用同样的方法解出例 2 例 2 解方程 4 由学生在练习本上试着完成 然后再共同解答 用心 爱心 专心3 解 方程两边同乘以 2x 得 600 480 8x 解这个方程 得x 15 检验 将x 15 代入原方程 得 左边 4 右边 4 左边 右边 所以x 15 是原方程的根 师 很好 同学们现在不仅解出了分式方程的解 还有了检验结果的好习惯 我这里还有一个题 我们再来一起解决一下 出示投影片 3 4 2 B 先隐藏小亮 的解法 议一议 解方程 2 可让学生在练习本上完成 发现有和小亮同样解法的同学 可用实物投影仪显示他 的解法 并一块分析 师 我们来看小亮同学的解法 2 解 方程两边同乘以x 3 得 2 x 1 2 x 3 解这个方程 得x 3 生 小亮解完没检验x 3 是不是原方程的解 师 检验的结果如何呢 生 把x 3 代入原方程中 使方程的分母x 3 和 3 x都为零 即x 3 时 方程中 的分式无意义 因此x 3 不 是原方程的根 师 它是去分母后得到的整式方程的根吗 生 x 3 是去分母后的整式方程的根 师 为什么x 3是整式方程的根 它使得最简公分母为零 而不是原分式方程的根 呢 同学们可在小组内讨论 教师可参与到学生的讨论中 倾听同学们的想法 生 在解分式方程时 我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程 如果 整式方程的根使得最简公分母的值为零 那么它就相当于分式方程两边都乘以零 不符合 等式变形时的两个基本性质 得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零 也就不适合原方程了 师 很好 分析得很透彻 我们把这样的不适合原方程的整式方程的根 叫原方程 的增根 在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根 那么 是不是就不要这样解 或采 用什么方法补救 生 还是要把分式方程转化成整式方程来解 解出整式方程的解后可用检验的方法看 是不是原方程的解 师 怎样检验较简单呢 还需要将整式方程的根分别代入原方程的左 右两边吗 生 不用 产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的 因此最 简单的检验方法是 把整式方程的根代入最简公分母 若使最简公分母为零 则是原方程的 增根 若使最简公分母不为零 则是原方程的根 是增根 必舍去 用心 爱心 专心4 师 在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质 解出的根都应是原方程 的根 但在解分式方程时 解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验 小亮就犯了没 有检验的错误 应用 升华 1 解方程 1 2 2 分析 先总结解分式方程的几个步骤 然后解题 解 1 去分母 方程两边同乘以x x 1 得 3x 4 x 1 解这个方程 得x 4 检验 把x 4 代入x x 1 4 3 12 0 所以原方程的根为x 4 2 2 去分母 方程两边同乘以 2x 1 得 10 5 2 2x 1 解这个方程 得x 检验 把x 代入原方程分母 2x 1 2 1 0 所以原方程的根为x 2 回顾 总结 出示投影片 3 4 2 C 想一想 解分式方程一般需要经过哪几个步骤 师 同学们可根据例题和练习题的步骤 讨论总结 生 解分式方程分三大步骤 1 方程两边都乘以最简公分母 约去分母 化分式 方程为整式方程 2 解这个整式方程 3 把整式方程的根代入最简公分母 看结果是否为零 使最简公分母为零的根是 原方程的增根 应舍去 使最简公分母不为零的根才是原方程的根 3 补充练习 出示投影片 3 4 2 D 解分式方程 用心 爱心 专心5 1 2 a h常数 分析 强调解分式方程的三个步骤 一去分母 二解整式方程 三验根 解 1 去分母 方程两边同时乘以x x 3000 得 9000 x 3000 15000 x 解这个整式方程 得x 4500 检验 把x 4500 代入x x 3000 0 所以原方程的根为 4500 2 a h是常数且都大于零 去分母 方程两边同乘以 2x a x 得 h a x 2ax 解整式方程 得x 2a h 0 检验 把x 代入原方程中 最简公分母 2x a x 0 所以原方程的根为 x 课时小结 师 同学们这节课的表现很活跃 一定收获不小 生 我们学会了解分式方程 明白了解分式方程的三个步骤缺一不可 生 我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根 生 我又一次体验到了 转化 在学习数学中的重要作用 但又进一步认识到每一 步转化并不一定都那么 完美 必须经过检验 反思 转化 过程 课后作业 习题 3 7 活动与探究 若关于x的方程 有增根 则m的值是 过程 首先增根是分式方程转化为整式方程时整式方程的根 但却使最简公分母为 零 结果 关于x的方程 有增根 则此增根必使 3x 9 3 x 3 0 所 以增根为x 3 去分母 方程两边同乘以 3 x 3 得 3 x 1 m2 用心 爱心 专心6 根据题意 得x 3 是上面整式方程的根 所以 3 3 1 m2 则m 板书设计 3 4 2 分式方程 二 一 提出问题 你能设法求出上一节课的分式方程 二 探求分式方程解法 例 1 解方程 例 2 解方程 4 三 议一议 小亮的解法对吗 四 想一想 解分式方程一般步骤 1 去分母 2 解整式方程 3 检验 用心 爱心 专心7 第八课时 课 题 3 4 3 分式方程 三 教学目标 一 教学知识点 1 用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题 2 用分式方程来解决现实情境中的问题 二 能力训练要求 1 经历运用分式方程解决实际问题的过程 发展抽象概括 分析 问题和解决问题的能力 2 认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意 寻找等量关系 建立数学模型 三 情感与价值观要求 1 经历建立分式方程模型解决实际问题的过程 体会数学模型的应用价值 从而提高 学习数学的兴趣 2 培养学生的创新精神 从中获得成功的体验 教学重点 1 审明题意 寻找等量关系 将实际问题转化成分式方程的数学模型 2 根据实际意义检验解的合理性 教学难点 寻求实际问题中的等量关系 寻求不同的解决问题的方法 教具准备 实物投影仪 投影片三张 第一张 做一做 记作 3 4 3 A 第二张 例 3 记作 3 4 3 B 第三张 随堂练习 记作 3 4 3 C 教学过程 提出问题 引入新课 师 前两节课 我们认识了分式方程这样的数学模型 并且学会了解分式方程 接下来 我们就用分式方程解决生活中实际问题 讲授新课 出示投影片 3 4 3 A 做一做 某单位将沿街的一部分房屋出租 每间房屋的租金第二年比第一年多 500 元 所有房屋 出租的租金第一年为 9 6 万元 第二年为 10 2 万元 1 你能找出这一情境的等量关系吗 2 根据这一情境 你能提出哪些问题 师 现在我们一块来寻求这一情境中的等量关系 生 第二年每间房屋的租金 第一年每间房屋的租金 500 元 1 生 还有一个等量关系 第一年租出的房屋间数 第二年租出的房屋的间数 师 根据 做一做 的情境 你能提出哪些问题呢 在我们的数学学习中 提出问 题比解决问题更重要 同学们尽管提出符合情境的问题 用心 爱心 专心8 生 问题可以是 每年各有多少间房屋出租 生 问题也可以是 这两年每年房屋的租金各是多少 师 下面我们就来先解决第一个问题 每年各有多少间房屋出租 师生共析 解 设每年各有x间房屋出租 那么第一年每间房屋的租金为元 第二年每间房屋的租金为元 根据题意 得 500 解这个方程 得x 12 经检验x 12 是原方程的解 也符合题意 所以每年各有 12 间房屋出租 师 我们接着再来解决第二个问题 这两年每间房屋的租金各是多少 生 根据第一问的答案可计算 得 第一年每间房屋的租金为 8000 元 第二年每间房屋的租金为 8500 元 师 如果没有第一问 该如何解答第二问 生 解 设第一年每间房屋的租金为x元 第二年每间房屋的租金为 x 500 元 第一年租出的房间为间 第二年租出的房间为间 根据题意 得 解 得x 8000 x 500 8500 元 经检验 x 8000 是原分式方程的解 也符合题意 所以这两年每间房屋的租金分别为 8000 元 8500 元 师 我们利用分式方程解决了实际问题 现在我们再来看一个例题 我们可以从中 感受到节约用水是每个公民应该关心的事情 出示投影片 3 4 3 B 例 3 某自来水公司水费计算办法如下 若每户每月用水不超过 5 m3 则每立方米收 费 1 5 元 若每户每月用水超过 5 m3 则超出部分每立方米收取较高的定额费用 1 月份 张家用水量是李家用水量的 张家当月水费是 17 5 元 李家当月水费是 27 5 元 超出 5 m3的部分每立方米收费多少元 用心 爱心 专心9 师 解决实际情境问题 最关键的是什么呢 生 审清题意 找出题中的等量关系 师 很好 某自来水公司水费计算办法可用表格表示出来 如下表 用水量单价 不超过 5 米 3 1 5 元 米 3 超过 5 米 3超出的部分 元 米 3 你们找到题中的等量关系了吗 生 此题主要的等量关系是 1 月份张家用水量是李家用水量的 师 怎样表示出张家 1 月份的用水量和李家 1 月份的用水量呢 生 根据自来水公司水费计算的办法 用水量可以用水费除以单价得出 但计算时 要将水费分成两部分 5 m3的水费与超出 5 m3部分的水费 师 下面我们就来用等量关系列出方程 师生共析 设超出 5 m3部分的水 每立方米收费设为x元 则 1 月份 张家超出 5 m3的部分水费为 17 5 1 5 5 元 超出 5 m3的用水量为 m3 总用水量为 5 李家超出 5 m3部分的水费为 27 5 1 5 5 元 超出 5 m3的用水量为 m3 总用水量为 5 m3 根据等量关系 得 5 5 解这个方程 得x 2 经检验x 2 是所列方程的根 所以超出 5 m3部分的水 每立方米收费 2 元 随堂练习 出示投影片 3 4 3 C 小芳带了 15 元钱去商店买笔记本 如果买一种软皮本 正好需付 15 元钱 但售货员建 议她买一种质量好的硬皮本 这种本子的价格比软皮本高出一半 因此她只能少买一本笔 记本 这种软皮本和硬皮本的价格各是多少 师 我们先来找到题中的等量关系 生 题中的等量关系有两个 15 元钱买的软皮本的本数 15 元钱买的硬皮本的本数 1 本 硬皮本的价格 软皮本的价格 1 师 我们找到了等量关系 接下来