弹性力学简明教程(第四版)-习题解答

WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 2 9 2 9 解答 图图 2 172 17 上 y 0 左 x 0 右 x b l0 11 m 100 x fs 0 1 g yh 1 g yh y fs 1 gh 00 代入公式 2 15 得 在主要边界上x 0 x b上精确满足应力边界条件 1 0 0 0 xxy x x g yh 1 b b 0 xxy x x g yh 在小边界上 能精确满足下列应力边界条件 0y 00 0 yxy yy gh 在小边界上 能精确满足下列位移边界条件 2 yh 22 0 0 y hy h uv 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理 改用三个积分的应力边界条件来代替 当 板厚时 可求得固定端约束反力分别为 1 1 0 0 sN FFghb M 由于为正面 故应力分量与面力分量同号 则有 2 yh 2 2 2 1 0 0 0 0 0 b y y h b y y h b xy y h dxghb xdx dx 图 2 18 上下主要边界y h 2 y h 2上 应精确满足公式 2 15 lm s x f s y f 2 h y 0 10 q 2 h y 01 1 q 0 2 yyh q 2 0 yxyh 2 0 yy h 21 yxy h q 在 0 的小边界上 应用圣维南原理 列出三个积分的应力边界条件 负面上应力x WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 与面力符号相反 有 2 0 2 2 0 2 2 0 2 h xyxS h h xxN h h xx h dxF dxF ydxM 在x l的小边界上 可应用位移边界条件这两个位移边界条件也0 0 lxlx vu 可改用三个积分的应力边界条件来代替 首先 求固定端约束反力 按面力正方向假设画反力 如图所示 列平衡方程求反力 11 0 xNNNN FFFqlFqlF 0 0 ySSSS FFFqlFqlF 2 2 1 1 11 0 0 2222 ASS qlhql MMMF lqlqlhMMF l 由于x l为正面 应力分量与面力分量同号 故 2 1 2 2 2 1 2 2 2 22 h xx lNN h h xx lS h h xyx lSS h dyFqlF qlhql ydyMMF l dyFqlF 2 10 2 10 解答 由于由于 OAOA 为小边界 故其上可用圣维南原理 写出三个积分的为小边界 故其上可用圣维南原理 写出三个积分的hl 应力边界条件 应力边界条件 a 上端面 OA 面上面力q b x ff yx 0 由于 OA 面为负面 故应力主矢 主矩与面力主矢 主矩符号相反 有 对 OA 中点取矩 0000 2 0000 00 2 212 0 bbb yy y bbb yy y b yx y xqb dxf dxqdx b xbqb xdxf xdxqx dx b dx 应用圣维南原理 负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反 面力主 矢y向为正 主矩为负 则 M N F S F WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 00 2 00 00 2 12 0 b yN y b y y b xy y qb dxF qb xdxM dx 综上所述 在小边界 OA 上 两个问题的三个积分的应力边界条件相同 故这两个问题 是静力等效的 2 14 解答解答 在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答 必须满足 1 平衡微分方程 2 2 2 用应力表示的相容方程 2 21 3 应力边界条件 2 15 1 将应力分量代入平衡微分方程式 且 0 xy ff 显然满足 0 yx x xy 0 yxy yx 2 将应力分量代入用应力表示的相容方程式 2 21 有 等式左 右 22 22 xy xy 2 2 0 q b 应力分量不满足相容方程 因此 该组应力分量不是图示问题的解答 解答解答 1 推导公式 在分布荷载作用下 梁发生弯曲形变 梁横截面是宽度为 1 高为 h 的矩形 其对中 性轴 Z 轴 的惯性矩 应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程 3 12 h I 所以截面内任意点的正应力和切应力分别为 2 3 62 qqx M xx F x ll 3 3 2 x M xx y yq Ilh 22 22 23 343 1 4 24 s xy Fxyq x hy bhhlh 根据平衡微分方程第二式 体力不计 得 0 yxy yx 3 3 3 2 2 y q xyxy qA lhlh 根据边界条件得 故 2 0 y y h q 2 x A l 3 3 3 2 22 y q xyxyq x q lhlhl 将应力分量代入平衡微分方程 2 2 第一式 满足 22 33 6 60 x yx y qq lhlh 左右 WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 第二式 自然满足 将应力分量代入相容方程 2 23 22 2233 12 12 0 左右 xy xyxy qq xylhlh 应力分量不满足相容方程 故 该分量组分量不是图示问题的解答 2 18 2 18 解答 1 1 矩形悬臂梁发生弯曲变形 任意横截面上的弯矩方程 矩形悬臂梁发生弯曲变形 任意横截面上的弯矩方程 横截面对中性轴的惯性矩为 横截面对中性轴的惯性矩为 根据材料力学公式 根据材料力学公式 M xFx 3 12 z Ih 弯应力 该截面上的剪力为 剪应力为 3 12 x z M xF yxy Ih s FxF 2 2 3 3 26 2241 12 s xy z F x SFhhyFh ybyy bIhh 取挤压应力 2 将应力分量代入平衡微分方程检验0 y 第一式 第二式 左 0 0 0 右 23 1212 0 FF yy hh 左右 该应力分量满足平衡微分方程 3 将应力分量代入应力表示的相容方程 满足相容方程 2 0 xy 左右 4 考察边界条件 在主要边界上 应精确满足应力边界条件 2 15 2yh lm x f y f 2 h y 上 0 100 2 h y 上 0100 代入公式 2 15 得 2 2 2 2 0 0 0 0 yxyyyx yhyhy hy h 在次要边界x 0上 列出三个积分的应力边界条件 代入应力分量主矢主矩 2 0 2 2 0 2 2 2 2 2 0 3 2 2 0 0 6 4 h xx h h xx h hh xyx hh dyx ydy F h dyydyFy h 向面力主矢 面力主矩 向面力主矢 满足应力边界条件 M N F S F WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 在次要边界上 首先求出固定边面力约束反力 按正方向假设 即面力的主矢 主 矩 0 NS FFF MFl 其次 将应力分量代入应力主矢 主矩表达式 判断是否与面力主矢与主矩等效 2 2 3 2 2 12 0 hh xx lN hh F dylydyF h 2 2 2 3 2 2 12 hh xx l hh F ydyly dyFlM h 2 2 2 2 3 2 2 6 4 hh xyx lS hh Fh dyydyFF h 满足应力边界条件 因此 它们是该问题的正确解答 3 4 3 4 解答 相容条件相容条件 不论系数 a 取何值 应力函数总能满足应力函数表示的相容方程 式 2 25 3 ay 求应力分量 当体力不计时 将应力函数代入公式 2 24 得 6 0 0 xyxyyx ay 考察边界条件 上下边界上应力分量均为零 故上下边界上无面力 左右边界上 当 a 0 时 考察分布情况 注意到 故 y 向无面力 x 0 xy 左端 0 6 xxx fay 0yh 0 0 yxy x f 右端 6 xx x l fay 0 yh 0 yxyx l f 应力分布如图所示 当时应用圣维南原理可以将分布的面力 等效为主矢 主lh 矩 主矢的中心在矩下边界位置 即本题情况下 可解决各种偏心拉伸问题 偏心距 e 因为在 A 点的应力为零 设板宽为 b 集中荷载 p 的偏心距 e 2 0 6 6 xA ppe eh bhbh 同理可知 当 0 时 可以解决偏心压缩问题 a 3 5 3 5 解答 1 1 由应力函数 由应力函数 得应力分量表达式 得应力分量表达式 2 ax y 考察边界条件 由公式 2 15 0 2 2 xyxyyx ayax A WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 xyxsx yxysy lmfs mlfs 主要边界 上边界上 面力为 2 h y 2 2 x h fyax 2 y h fyah 主要边界 下边界 面力为 2 h y 2 2 x h fyax 2 y h fyah 次要边界 左边界x 0上 面力的主矢 主矩为 x向主矢 y向主矢 2 0 2 0 h xxx h Fdy 2 0 2 0 h yxyx h Fdy 主矩 2 0 2 0 h xx h Mydy 次要边界 右边界x l上 面力的主矢 主矩为x向主矢 2 2 0 h xxx l h Fdy y向主矢 2 2 2 2 2 2 hh yxyx l hh Fdyal dyalh 主矩 弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢 2 2 0 h xx l h Mydy 将应力函数代入公式 2 24 得应力分量表达式 2 bxy 2 x bx 0 y 2 xyyx by 考察应力边界条件 主要边界 由公式 2 15 得 在主要边界 上边界上 面力为 2 h y 0 22 xy hh fybh fy 在 下边界上 面力为 2 h y 0 22 xy hh fybh fy 在次要边界上 分布面力可按 2 15 计算 面里的主矢 主矩可通过三个积分边界条 件求得 在左边界x 0 面力分布为 00 02 xy fxfxby 面力的主矢 主矩为 x向主矢 y向主矢 2 0 2 0 h hxx x Fdy 22 0 0 22 20 hh hhyxy x x Fdybydy 主矩 在右边界x l上 面力分布为 2 0 2 0 h xx h Mydy 面力的主矢 主矩为 2 2 xy fxlbl fxlby WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 x向主矢 y 向主矢 2 2 2 22 2 hh xx x l hh Fdybldyblh 2 2 2 2 20 hh yxy x lhh Fdyby dy 主矩 2 2 2 2 20 hh x x l hh Mydyblydy 3 将应力函数代入公式 2 24 得应力分量表达式 3 cxy 2 6 0 3 xyxyyx cxycy 考察应力边界条件 在主要边界上应精确满足式 2 15 2 h y 上边界上 面力为 2 3 0 242 xy hh fychfy h y 2 下边界上 面力为 2 3 0 242 xy hh fychfy 次要边界上 分布面力可按 2 15 计算 面力的主矢 主矩可通过三个积分边界求 得 左边界x 0上 面力分布为 2 2 0 2 2 2 23 0 2 2 h 2 0 h 2 00 03 x0 1 3 4 0 xy h xx x h hh yxy xhh x x fxfxcy Fdy yFdycydych Mydy 面力的主矢 主矩为 向主矢 向主矢 主矩 右边界上 面力分布为xl 2 6 3 xy fxlcly fxlcy 面力的主矢 主矩为 x向主矢 2 2 2 26 0 hh xx x l hh Fdyclydy y向主矢 2 2 23 2 2 1 3 4 hh yy x lhh Fdycydych 主矩 2 2 23 2 2 1 6 2 hh x x l hh Mydycly dyclh 弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢和主矩 如图所示 3 6 3 6 解答 1 1 将应力函数代入相容方程 将应力函数代入相容方程 2 252 25 显然满足 444 4224 20 xxyy 2 将代入式 2 24 得应力分量表达式 3 12 0 xy Fxy h 2 2 34 1 2 xyyx Fy hh WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 3 由边界形状及应力分量反推边界上的面力 在主要边界上 上下边界 上 应精确满足应力边界条件式 2 15 应 2 h y 力 2 2 0 0 yyx yhyh 因此 在主要边界上 无任何面力 即 2 h y 0 0 22 xy hh fyfy 在x 0 x l的次要边界上 面力分别为 2 2 34 0 0 1 2 xy Fy xff hh 3 2 2 1234 1 2 xy FlyFy xlff hh h 因此 各边界上的面力分布如图所示 在x 0 x l的次要边界上 面力可写成主矢 主矩形式 x 0上 x l上 12 12 h 2 2 2 2 h 2 2 2 2 h 2 2 12 h 2 2 0 0 0 h NxNx hh h SySy hh h xx h xFf dyFf dy yFf dyFFf dyF Mf ydyMf ydyFl 向主矢 向主矢 主矩 3 7 3 7 解答 1 1 将应力函数将应力函数代入式 代入式 2 252 25 4 4 0 x 4 43 24qy yh 4 2233 1224 22 qyqy xyhh 代入 2 25 可知应力函数满足相容方程 2 将代入公式 2 24 求应力分量表达式 223 233 643 5 xx qx yqyqy f x yhhh 23 23 43 1 2 yy qyy f y xhh 22 2 3 6 4 xyyx qx h y x yh 3 考察边界条件 由应力分量及边界形状反推面力 在主要边界 上面 应精确满足应力边界条件 2 15 2 h y WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 2 2 2 2 3 30 0 0 22 2 15 2 20 20 0 34 0 00 5 xyxyy yhyh xyxyy y hy h xxyxy x x hh fyfyq h y fyhfyh x qyqy fxfx hh 在主要边界下面 也应该满足 在次要边界上 分布面力为 应用圣维南原理 可写成三个积分的应力边界条件 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 34 0 5 0 34 0 5 hh Nx hh h Sy h hh x hh qyqy Ff dydy hh Ff dy qyqy Mf ydyydy hh 在次要边界上 分布面力为xl 23 33 643 5 xx x l ql yqyqy fxl hhh 2 2 3 6 4 yxy x l qlh fxly h 应用圣维南原理 可写成三个积分的应力边界条件 23 2 2 33 2 2 2 2 2 2 3 2 2 23 2 2 2 33 2 2 643 0 5 6 4 6431 52 hh Nx hh hh sy hh hh x hh ql yqyqy Ffxl dydy hhh qlh Ffxl dyydyql h ql yqyqy Mfxl ydyydyql hhh 3 8 3 8 解答 采用半逆法求解 采用半逆法求解 由材料力学解答假设应力分量的函数形式 1 假定应力分量的函数形式 根据材料力学 弯曲应力主要与截面的弯矩有关 剪应力主要与截面的剪力有 y xy 关 而挤压应力主要与横向荷载有关 本题横向荷载为零 则 x 0 x 2 推求应力函数的形式 将 体力 代入公式 2 24 有0 x 0 xy ffg 2 2 0 xx f x y 对 y 积分 得 a b f x y 1 yf xfx WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 其中都是x的待定函数 1 f xfx 3 由相容方程求解应力函数 将 b 式代入相容方程 2 25 得 44 1 44 0 d f xd fx y dxdx c 在区域内应力函数必须满足相容方程 c 式为y的一次方程 相容方程要求它有无 数多个根 全竖柱内的y值都应满足它 可见其系数与自由项都必须为零 即 两个方程要求 44 1 4 0 0 d f xd fx dxdx 3232 1 f xAxBxCx fxDxEx d 中的常数项 中的常数项和一次项已被略去 因为这三项在的表达式 f x 1 fx 中成为y的一次项及常数项 不影响应力分量 将 d 式代入 b 式 得应力函数 e 3232 y AxBxCxDxEx 4 由应力函数求应力分量 f 2 2 0 xx f x y g 2 2 6262 yy f yAxyByDxEgy x h 2 2 32 xy AxBxC x y 5 考察边界条件 利用边界条件确定待定系数 A B C D E 主要边界上 左 0 x 0 0 0 0 xxyx x 将 f h 代入 自然满足 0 0 x x i 0 0 xyx C 主要边界上 xb 自然满足 0 x x b 将 h 式代入 得 xyx b q j 2 32 xyx b AbBbCq WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 在次要边界上 应用圣维南原理 写出三个积分的应力边界条件 0y k 2 0 00 62320 bb yy dxDxE dxDbEb l 32 0 00 6220 bb yy xdxDxE xdxDbEb m 232 0 00 320 bb yxy dxAxBxC dxAbBbCb 由式 i j k l m 联立求得 2 0 qq ABCDE bb 代入公式 g h 得应力分量 23 0 1 3 2 xyxy qxxq gyxx bbbb 3 9 解答解答 按半逆解法求解 将应力函数代入相容方程 2 25 显然满足 由公式 2 24 求应力分量表达式 体力为零 有 2 2 0 x y 2 2 6 y Bxy x 2 2 3 xyyx ABx x y 考察边界条件 在主要边界上 精确满足公式 2 15 2xb 2 2 0 xxyxb xb q 第一式自然满足 第二式为 a 2 3 4 ABbq 在主要边界x b 2上 精确满足式 2 15 2 2 0 xxy x b x b q 第一式自然满足 第二式为 b 2 3 4 ABbq 在次要边界y 0上 可用圣维南原理 写出三个积分的应力边界条件 满足 2 20 0 b y by dx 满足 2 0 2 0 b y yb xdx c 3 2 2 2 0 2 2 1 30 4 bb yx ybb dxABxdxAbBb 联立 a c 得系数 WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 2 2 2 qq AB b 代入应力分量表达式 得 2 22 12 0 1 12 2 xyxy qqx xy bb 3 10 3 10 解答 采用半逆解法求解采用半逆解法求解 1 将应力函数代入相容方程 2 25 显然满足 2 由应力函数求应力分量 代入公式 2 24 a 2 266 0 3 x y xyyx BByDxy ADy 3 考察边界条件 主要边界上 应精确满足应力边界条件 2yh 满足 2 0 y yh 得 b 2 0 xy yh 2 3 0 4 ADh 在次要边界x 0上 应用圣维南原理 写出三个积分的应力边界条件 2 2 0 2 2 26 2 hh N xNN x hh F dyFBCy dyFB h 2 2 30 2 2 2 26 hh x x hh M ydyMBCy ydyMC h c 2 2 23 0 2 2 1 3 4 hh xysss xhh dyFADydyFAhDhF 联立方程 b c 得 3 32 2 ss FF AD hh 最后一个次要边界上 在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的 xl 条件下是必然满足的 故不必在校核 将系数 A B C D 代入公式 a 得应力分量 3 11 3 11 解答 采用半逆解法求解采用半逆解法求解 1 检验应力函数是否满足相容方程 2 25 设应力函数 不论上式中的系数如何取值 纯三 3223 AxBx yCxyDy 次式的应力函数总能满足相容方程 2 25 2 由式 2 24 求应力分量 由体力分量 将应力函数代入公式 2 24 得应力分量 0 xy ffg WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 a 2 2 26 xx f xCxDy y b 2 2 62 yy f yAxBygy y c 2 22 xy BxCy x y 3 考察边界条件 由应力边界条件确定待定系数 对于主要边界 其应力边界条件为 0y d 0 0 yy 0 0 yxy 将式 d 代入式 b c 可得 e 0 0AB 对于主要边界 斜面上 应力边界条件 tanyx 在斜面上没有面力作用 即 该斜面外法线方向余弦为 0 xy ff 由公式 2 15 得应力边界条件sinl cosm f tantan tantan sin cos 0 sin cos 0 xy xyxy x xyy xyy x 将式 a b c e 代入式 f 可解得 g 2 cot cot 23 gg CD 将式 e g 代入公式 a b c 得应力分量表达式 2 cot2cot cot x y xy gxgy gy gy 3 12 3 12 解答 按半逆解法求解 按半逆解法求解 1 由 3 4 可知应力函数的函数形式为 2 32 2 x AyByCyD 由 3 4 可知 必然满足相容方 325432 106 AB x EyFyGyyyHyKy 程 2 25 2 应力分量的表达式 a 2 32 62 62 2262 2 x x AyBxEyFAyByHyK 32 y AyByCyDgy WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 b c 22 32 32 xy xAyByCEyFyG 3 考虑对称性 因为面是梁和荷载的对称面 所以应力分布应当对称于面 这样yzyz 是的偶函数 而是的奇函数 于是由式 a 和式 c 可见 xy 和x xy x d 0EFG 4 考察边界条件 在主要边界上 应精确满足应力边界条件 2 15 2yh 22 0 0 yyhyxyh 将应力分量式 b c 代入 并注意到 可得 0EFG 2 32 32 2 0 8422 0 8422 3 0 4 3 0 4 hhhg ABCDh hhhg ABCDh xAhhBC xAhhBC 联立此四个方程 得 e 2 23 0 0 2 g ABCg D h 将式 d e 代入式 a b c f 23 22 64 62 x gg x yyHyK hh g 3 2 2 2 y gg yy h h 2 2 63 2 xy gg xyx h 考察次要边界条件 由于问题的对称性 只需考虑其中的一边 如右边 右边界上 xl 不论取任何值 都有 由 f 式可见 这是0 x f y 22 hyh 0 x 不可能的 除非均为零 因此 只能用应力的主矢 主矩为零 即 H K x i 2 2 0 h xx l h dy j 2 2 0 h xx l h ydy 将 f 式代入式 i 得 WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 2 23 22 2 64 620 h h gg x yyHyK dy hh 积分后得 K 0 k 将式 f 代入式 i 得 2 23 22 2 64 620 h h gg l yyHyKydy hh 积分后得 l 2 2 1 10 l Hg h 将 k l 代入式 f 得 m 2 23 222 641 6 10 x ggl x yygy hhh 考察右边界上切应力分量的边界条件 xy 右边界上 则的主矢为 y fglh xy 2 2 2 2 2 2 63 2 hh xyy x lhh x l gg dyxyxdyglhf h 可知满足应力边界条件 将式 g h m 略加整理 得应力分量的最后解答 n 2 23 222 3 2 2 2 641 6 10 2 2 63 2 X y xy ggl x yygy hhh gg yy h gg xyx h 5 应力分量及应力分布图 梁截面的宽度取为 1 个单位 则惯性矩 静矩是 3 12 h I 22 82 hy S 根据材料力学截面法可求得截面的内力 可知梁横截面上的弯矩方程和剪 力方程分别为 22 2 s lx M xghFxghx 则式 n 可写成 WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 2 2 2 2 43 5 1 4 2 x y s xy M xy ygy Ih gy y h Fx S bI 3 13 3 13 解答 用半逆解法求解 用半逆解法求解 1 相容条件 将应力函数代入相容方程式 2 25 得 120240AyBy 要使满足相容方程 应使 a 1 5 AB 2 求应力分量 代入式 2 24 b 3232 33 22 206620306 2221022 62302 x y xy AyBx yCyAyAx yCy ByDEyAyDEy BxyExAxyEx 3 考察边界条件 在主要边界上 应精确到满足应力边界条件2yh c 3 2 0 20 yy h AhDEh 10 即 8 d 3 2 2 yyh qAhDEhq 10 即 8 e 2 2 0 20 yxyh AxhEx 30 即 4 联立式 a c d e 可得 f 33 3 544 qqqq ADEB hhh 在次要边界上 主矢和主矩都为零 应用圣维南原理 写出三个0 x 积分的应力边界条件 满足条件 2 0 2 0 h xx h dy g 5 2 2 33 0 2 2 206 00 2 hh xx hh Ah ydyAyCy ydyCh 满足 2 0 2 0 h xyx h dy 将 A 的值带入 g 得 WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 C h 10 q h 将各系数代入应力分量表达式 b 得 22 22 3 3 2 2 3 46 5 1 34 2 3 1 4 2 x y xy yyx q hhh qyy hh q xy hh 3 14 3 14 解答 采用半逆解法求解 采用半逆解法求解 1 相容条件 将应力函数代入相容方程 2 25 显然满足 2 求应力分量 将代入 2 24 a 2 266 0 3 x y xy ACxyDy BCy 3 考察边界条件 在主要边界上 应精确满足应力边界条件 2yb 满足 2 0 y yb b 2 2 3 4 xy yb qBCbq 在次要边界x 0上 可用圣维南原理 写出三个积分应力边界条件 c 2 0 2 b xx b dyF 2 2 2 23 b b AyDyF d 2 0 2 b xx b ydyM 2 23 2 1 2 2 b b AyDyM e 2 2 b xy bx ody F 2 3 2 b b ByCyF 联立 b c d e 式得 f 2