拉格朗日插值法1

拉格朗日抛物线插值法拉格朗日抛物线插值法 1 定义若多项式lj j 0 1 2 n 在 n 1 个节点 x0 x1 x 100 121 144 y 10 11 12 y2 lagrage x y 115 输出 y2 10 7228 2 计算 9 2 sin 解 49 2 6 866 0 707 0 5 0 1202 10 2101 20 2010 21 xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xL 6380 0 9 2 L 在 Matlab 窗口输入 x 6 4 3 y 0 5 0 707 0 866 y2 lagrage x y 2PI 9 输出 y2 0 6380 均差与牛顿插值多项式均差与牛顿插值多项式 1 1 定义称 为函数关于的一阶 0 0 0 xx xfxf xxf k k k xf k xx 0 均差 称为的二阶均差 一 1 100 210 xx xxfxxf xxxf k k xf x 6 4 3 y0 50 7070 866 般的 称为的 k 1 11020 10 kk kkk k xx xxxfxxxf xxxf xf 阶均差 均差也称为差商 2 牛顿插值公式推导 根据均差定义 把 x 看成 a b 上一点 则有 把后一式带入前一式可得 最后一项中 均差部分含有 x 为余项部分 记为 而前面 n 1 项中 均差部分都不含有 x 因而前面 n 1 项是关于 x 的 n 次多项式 这就是牛顿插值公式 于是上式记 xRxNxf nn 2 Matlab 文件 Newton int m function int ii xyxnewtony n length x D Zeros n n D 1 y for k 1 n 1 for i 1 n k D i k k 1 D i k k D i k 1 k x i k x i end end 0 i y for i 1 n z 1 for k 1 i 1 z z kxxi end ziDyy ii 1 end 3 例题 x1 12 y0 34 求二次插值 解 x y 一次差商 二次差商 1 3 1 0 2 3 6 5 2 4 4 N x 3 3 2 x 1 1 6 x 1 x 1 在 Matlab 窗口输入 x 1 1 2 Y 3 0 4 5 1 i x int ii xyxnewtony 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法 1 Matlab 文件 polyfit m function p polyfit x y n A Zeros n 1 n 1 for t 0 n for j 0 n A i 1 j 1 sum x i j end b i 1 sum I y i x end a A b p fliplr a 2 例题 设数据由表给出 表中第 4 行为 可以 4 3 2 1 0 iyx ii i yy i ln 看出数学模型为 用最小二乘法确定 a 和 b bx aey i01234 i x i y i y 1 00 5 10 1 629 1 25 5 79 1 756 1 50 6 53 1 876 1 75 7 45 2 008 2 00 8 46 2 135 解 根据给定数据描图可确定拟合曲线方程为 4 3 2 1 0 iyx ii 它不是线性形式 两边取对数得 若令 bx aey bxay lnln 则得 为确定 A b 先将aAyyln ln 1 xbxAy 转化为 数据见上表 4 3 2 1 0 iyx ii 4 3 2 1 0 iyxi 根据最小二乘法 取 得1 1 10 xxxx 5 00 5 7 4 0 10 i i x 5 4 0 2 11 i i x 404 9 4 0 0 i i yy 422 14 4 0 1 i iiy xy 故有法方程 5A 7 50b 9 404 7 50A 11 875b 14 422 解得 A 1 122 b 0 505 a 071 3 A e 于是得最小二乘拟合曲线为 x ey 505 0 071