江苏省南京市2011高三数学二轮专题复习 函数与导数

用心 爱心 专心1 函数与导数二轮复习建议函数与导数二轮复习建议 函数是高中数学主线 在高考中 该部分内容是考试的重点和热点 不仅独立地考查 该部分内容 还常常与其它内容相综合进行考查 在江苏高考文理共用卷前 160 分试题中 函数的填空题通常 2 3 题 08 年为 3 题 09 年 2 题 10 年 3 题 函数解答题每年各考 1 道 通常是压轴题 基本题型一 考查函数基本性质基本题型一 考查函数基本性质 例例 1 1 2010 安徽 若集合 A A x logx 则 R RA A 1 2 解析 A A x 0 x 得 R RA A 0 1 2 说明 本题考查对数函数的性质与集合相关运算 例例 2 2 2010 年江苏 设函数f x x ex ae x x R R 是偶函数 则实数 a 解析 可以由g x ex ae x为奇函数 得g 0 0 从而解得a 1 或者由奇函数 定义解得 说明 说明 本题考查函数的奇偶性的知识 在解决函数奇偶性问题时 应灵活地运用函数奇 偶性相关性质来解题 如 若奇函数定义域包含 0 则f 0 0 函数具有奇偶性的前 提是其定义域关于原点对称 例例 3 3 2009 年江苏 已知a 函数f x ax 若实数m n满足f m f n 则 m n的大小关系为 解析 a 0 1 函数f x ax在 R R 上递减 由f m f n 得m x2 1 x 0 1 x 0 f 2x 的x的范围是 解析 x 1 1 2 说明 说明 分段函数是高考经常考的内容之一 在解决分段函数问题时 要注意数形结合 分类讨论思想的运用 例例 5 5 2010 全国 卷 直线y 1 与曲线y x2 x a有四个交点 则a的取值范围 解析 先由函数y x2 x a是偶函数 然后作图可得a 1 5 4 说明 本题考查利用 数形结合思想 来解决问题 例例 6 6 2010 年江苏卷 将边长为 1m 正三角形薄片 沿一条平行于底边的直线剪成两块 用心 爱心 专心2 其中一块是梯形 记S 则S的最小值是 梯形的周长 2 梯形的面积 解析 设剪成的小正三角形的边长为x 则S 0 x 1 方法一 利用导数求函数最小值 S x 令S x 0 得x 当x 0 时 S x 2 3x 1 x 3 1 x2 2 1 3 1 3 0 所以函数S x 递增 故当x 时 1 3 1 3 S 的最小值是 方法二 本题也可以借用y x 性质求最小值 a x 说明 1 函数模型及其应用 为 B B 级要求 在填空题中经常考 1 道函数模型的应 用题 2 本题考察函数的建模 求其值域问题 对于 型 其中函数f x g x 一 f x g x 个为 1 次 一个为 2 次 求值域问题 要能够熟练地 多角度地求解 基本策略 基本策略 1 函数与基本初等函数 共有 6 个 B B 级点 应加强对这些 B B 级点研究 这些 B B 级点在历年高考试题中通常考 2 3 小题 2 在研究函数性质时既要注意通性通法又要注意有关性质的灵活运用 如单调性证明 可以通过定义 求导来解决 对于函数的奇偶性 不仅要掌握奇偶性判断的基本步骤 还 能够利用奇偶性的性质灵活地解题 对于函数的值域 要能够熟练地掌握基本方法 如配 方法求二次函数值域 利用函数的图像 单调性 导数 基本不等式 换元法等方法求值 域 3 函数各种性质的综合常常是命制高考数学试题的重要出发点和落脚点 比如奇偶性 与单调性联系 对称性与单调性联系 利用函数的图象研究函数性质 利用性质作图研究 方程的根和不等式解集等问题 是历年高考的热点之一 4 注意到数形结合思想 分类讨论 由特殊到一般 由一般到特殊 等数学思想方法 的灵活运用 5 建议进一步加强对基本概念 基础知识 基本方法的理解和训练 基本题型二 考查导数的概念及其运用基本题型二 考查导数的概念及其运用 例例 7 7 2009 年江苏 函数f x x3 15x2 33x 6 单调减区间为 解析 f x 3 x 11 x 1 由f x 0 若m 0 k 1 1 m 函数y f x kx有两个零点x 若m 0 K0 使 得f x h x x2 ax 1 则称函数f x 具有性质P a 1 设函数f x lnx x 1 其中b为实数 b 2 x 1 i 求证 函数f x 具有性质P b ii 求函数f x 的单调区间 2 已知函数g x 具有性质P 2 给定x1 x2 1 设m为实数 mx1 1 m x2 1 m x1 mx2 且 1 1 若 g g 1 时 h x 0 恒成立 1 x b 2 x 1 2 x2 bx 1 x x 1 2 1 x x 1 2 函数f x 具有性质P b ii 当b 2 时 由于x 1 令 x x2 bx 1 x2 2x 1 x 1 2 0 所以 用心 爱心 专心5 f x 0 故此时f x 在区间 1 上递增 当b 2 时 x 图像开口向上 对称轴x 1 方程 x 0 的两根分别为 b 2 x1 x2 其中 1 0 1 所以当x 1 时 x 2 时 f x 在 1 上递减 f x 在 上递增 2 由题设知 g x 的导函数g x h x x2 2x 1 其中函数h x 0 对于任意的 x 1 都成立 所以 当x 1 时 g x h x x 1 2 从而g x 在区间 1 上 单调递增 当m 0 1 时 有 mx1 1 m x2 mx1 1 m x1 x1 mx1 1 m x2 mx2 1 m x2 x2 得 x1 x2 同理可得 x1 x2 所以由g x 的单调性知 g g g x1 g x2 从而有 g g m x2 1 m x2 x2 1 m x1 mx2 1 m x1 mx1 x1 于是由 1 1 及g x 的单调性知g g x1 g x2 g g g g x1 g x2 与题设不符 舍去 当m 1 时 同理可得 x2 得 g g g x1 g x2 与题设不符 舍去 综合 得 的取值范围是 0 1 m 例例 1313 2009 年江苏 设a为实数 函数f x 2x2 x a x a 1 若f 0 1 求a的取值范围 2 求f x 的最小值 3 设函数h x f x x a 直接写出 不需给出演算步骤 不等式h x 1 的解 集 解析 本题主要考查函数的概念 性质 图象及解一元二次不等式等基础知识 考查灵 活运用数形结合 分类讨论的思想方法进行探索 分析与解决问题的综合能力 1 因为f 0 a a 1 所以 a 0 即a 0 由a2 1 得a 1 2 记f x 的最小值为g a f x 2x2 x a x a 当a 0 时 f a 2a2 由 知f x 2a2 此时 g a 2a2 用心 爱心 专心6 当a 0 时 f a2 若x a 则由 知f x a2 若x a 则 a 3 2 3 2 3 x a 2a 0 由 知f x 2a2 a2 此时 g a a2 2 3 2 3 所以 g a 3 当a 时 解集为 a 当a 时 解集为 当a 时 解集是 a 基本策略基本策略 1 关注新定义问题 08 10 年考的都是新定义问题 应该在平常教学中 让学生多见识新定义问题多 新定义问题第一问 甚至第二问 通常并不难 所以在二轮复 习时应强化新定义问题的复习 关键是理解数学 而不是模仿数学 2 绝对值问题引起我们足够的关注 江苏高考经常考含有绝对值的函数问题 如 08 年 09 年 10 年 解决绝对值问题的基本方法 去绝对值 通常有零点法去绝对值 平方法去绝对值 要能够依据题目特点选择适当方法来解决 3 对于含参的函数问题 在解题过程中要能够准确地进行分类讨论 江苏高考函数解 答题中经常出现多个变量的问题 这一点应该引起我们足够的重视 4 数形结合 是函数的一个本质特点 在研究函数问题时 要养成画函数图像的习 惯 5 对于函数的解答题不应过份地追求技巧 纵观近几年江苏高考函数解答题 都考查 数学的基本方法 因此 在复习过程中 应加强通性通法的指导和训练 6 函数的解答题偶有超纲现象 如绝对值 解含参不等