高三数学第一轮复习章节测试12-10 北师大版

用心 爱心 专心 1 第第 1212 章章 第第 1010 节节 一 选择题 1 两封信随机投入 A B C 三个空邮箱 则 A 邮箱的信件数 X 的均值 EX 是 A B 2 3 3 4 C D 1 3 1 4 答案 A 解析 X12 P 4 9 1 9 所以均值 EX 1 2 4 9 1 9 6 9 2 3 2 某一离散型随机变量 的概率分布列如下表 且 E 1 5 则 a b 的值 0123 P0 1ab0 1 A 0 1 B 0 C 0 1 D 0 2 答案 B 解析 Error Error Error Error 故 a b 0 3 2010 新课标理 某种种子每粒发芽的概率都为 0 9 现播种了 1 000 粒 对于没有发芽 的种子 每粒需再补种 2 粒 补种的种子数记为 X 则 X 的数学期望为 A 100 B 200 C 300 D 400 答案 B 解析 本题以实际问题为背景 考查服从二项分布的事件的数学期望等 记 不发芽的种子数为 则 B 1 000 0 1 所以 E 1 000 0 1 100 而 X 2 故 EX E 2 2E 200 故选 B 4 节日期间 某种鲜花进货价是每束 2 5 元 销售价每束 5 元 节后卖不出的鲜花以每束 1 6 元价格处理 根据前五年销售情况预测 节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布 若进这种鲜花 500 束 则期望利润是 200300400500 P0 200 350 300 15 A 706 元 B 690 元 C 754 元 D 720 元 答案 A 解析 节日期间预售的量 E 200 0 2 300 0 35 400 0 3 500 0 15 40 105 120 75 340 束 则期望的利润 用心 爱心 专心 2 5 1 6 500 500 2 5 3 4 450 E 3 4E 450 3 4 340 450 706 元 期望利润为 706 元 5 若 是离散型随机变量 P x1 P x2 且 x1 x2 又已知 2 3 1 3 E D 则 x1 x2 的值为 4 3 2 9 A B 5 3 7 3 C 3 D 11 3 答案 C 解析 由期望和方差的计算公式得 x1 x2 2 3 1 3 4 3 x1 2 x2 2 4 3 2 3 4 3 1 3 2 9 即Error Error 由 得 x2 4 2x1 代入 得 6 x1 2 4 3 2 3 解得 x1 x2 或 x1 1 x2 2 5 3 3 2 又 x1 x2 Error Error x1 x2 3 6 一个均匀小正方体的六个面中 三个面上标以数 0 两个面上标以数 1 一个面上标以数 2 将这个小正方体抛掷 2 次 则向上的数之积的数学期望是 A B 2 9 1 9 C D 4 9 5 36 答案 C 解析 两次向上数之积为随机变量 X 0 1 2 4 P X 0 1 1 2 1 2 3 4 P X 1 1 3 1 3 1 9 P X 2 C21 1 3 1 6 1 9 P X 4 1 6 1 6 1 36 EX 0 1 2 4 3 4 1 9 1 9 1 36 4 9 7 随机变量 X 的分布列如下 X 1 01 Pabc 用心 爱心 专心 3 其中 a b c 成等差数列 若 EX 则 DX 的值是 1 3 A B 1 9 5 9 C D 2 3 3 4 答案 B 解析 由已知Error Error 解得Error Error DX 1 2 0 2 1 2 1 3 1 6 1 3 1 3 1 3 1 2 5 9 8 已知随机变量 X 的分布列为 X123 P0 5xy 若 EX 则 DX 等于 15 8 A B 33 64 55 64 C D 7 32 9 32 答案 B 解析 由分布列的性质得 x y 0 5 又 EX 所以 2x 3y 解得 x y 15 8 11 8 1 8 3 8 所以 DX 2 2 2 1 15 8 1 2 2 15 8 1 8 3 15 8 3 8 55 64 二 填空题 9 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分 罚不中得 0 分 已知某运动员罚球命中的概 率为 0 7 则他罚球 2 次 每次罚球结果互不影响 得分的均值是 答案 1 4 解析 设得分为变量 X 则其概率分布列为 X012 P0 090 420 49 则 EX 0 0 09 1 0 42 2 0 49 1 4 10 2009 上海理 某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者 若 用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数 则数学期望 E 为 结果用最简分 数表示 答案 4 7 解析 本题考查概率 互斥事件 数学期望 以及运用知识解决问题的能力 由题意 的可能取值为 0 1 2 则 P 0 C52 C72 10 21 P 1 P 2 C51C21 C72 10 21 C22 C72 1 21 的分布列为 用心 爱心 专心 4 012 P 10 21 10 21 1 21 的数学期望 E 0 1 2 10 21 10 21 1 21 12 21 4 7 11 抛掷一枚硬币 正面向上记 1 分 反面向上记 2 分 若一共抛出硬币 4 次 且每一次抛 掷的结果相互之间没有影响 则总得分 X 的期望 EX 答案 6 解析 抛掷 4 次可能出现的结果是四反 一正三反 二正二反 三正一反 四正 其中 对应的分数分别为 8 7 6 5 4 所以 X 的取值为 4 5 6 7 8 设对应的概率的值分别为 P1 P2 P3 P4 P5 则 X45678 PP1P2P3P4P5 P1 C444 P2 C433 1 2 1 16 1 2 1 2 1 4 P3 C4222 P4 C413 1 2 1 2 3 8 1 2 1 2 1 4 P5 C404 1 2 1 16 EX 4 5 6 7 8 6 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 三 解答题 12 2010 福建理 设 S 是不等式 x2 x 6 0 的解集 整数 m n S 1 记 使得 m n 0 成立的有序数组 m n 为事件 A 试列举 A 包含的基本事件 2 设 m2 求 的分布列及其数学期望 E 分析 解题思路是先解一元二次不等式 再在此条件下求出所有的整数解 解的组数即为 基本事件个数 按照古典概型求概率分布列 注意随机变量的转换 解析 1 由 x2 x 6 0 得 2 x 3 即 S x 2 x 3 由于 m n Z m n S 且 m n 0 所以 A 包含的基本事件为 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 2 由于 m 的所有不同取值为 2 1 0 1 2 3 所以 m2 的所有不同取值为 0 1 4 9 且有 P 0 P 1 P 4 P 9 1 6 2 6 1 3 2 6 1 3 1 6 故 的分布列为 0149 P 1 6 1 3 1 3 1 6 所以 E 0 1 4 9 1 6 1 3 1 3 1 6 19 6 13 2009 浙江理 在 1 2 3 9 这 9 个自然数中 任取 3 个数 1 求这 3 个数中恰有 1 个数是偶数的概率 2 记 为这 3 个数中两数相邻的组数 例如 若取出的数为 1 2 3 则有两组相邻的数 1 2 和 2 3 此时 的值是 2 求随机变量 的分布列及其数学期望 E 用心 爱心 专心 5 解析 本小题主要考查排列组合 随机事件的概率和随机变量分布列 数学期望等概念 同时考查抽象概括能力 1 记 这 3 个数中恰有一个是偶数 为事件 A 则 P A C41C52 C93 10 21 2 随机变量 的取值为 0 1 2 的分布列是 012 P 5 12 1 2 1 12 所以 的数学期望 E 0 1 2 5 12 1 2 1 12 2 3 14 2010 浙江理 如图 一个小球从 M 处投入 通过管道自上而下落到 A 或 B 或 C 已知小 球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的 某商家按上述投球方式进行促销活动 若投入的小球落到 A B C 则分别设为 1 2 3 等 奖 1 已知获得 1 2 3 等奖的折扣率分别为 50 70 90 记随机变量 为获得 k k 1 2 3 等 奖的折扣率 求随机变量 的分布列及期望 E 2 若有 3 人次 投入 1 球为 1 人次 参加促销活动 记随机变量 为获得 1 等奖或 2 等奖的 人次 求 P 2 分析 本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列 数学期望 二项分布等概念 考查抽象概括 运算求解能力和应用意识 一般思路 分析本题属于哪种事件 解析 1 由题意得 的分布列为 50 70 90 P 3 16 3 8 7 16 则 E 50 70 90 3 16 3 8 7 16 3 4 2 由 1 可知 获得 1 等奖或 2 等奖的概率为 3 16 3 8 9 16 由题意得 B 3 9 16 则 P 2 C32 2 1 9 16 9 16 1701 4096 点评 关键该事件属于哪种基本事件 根据事件的求概率公式进一步得出 在求分布列时 用心 爱心 专心 6 一定要注意概率和为 1 求期望 方差时可根据公式直接求出 15 某学生在上学路上要经过 4 个路口 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的 遇到红 灯的概率都是 遇到红灯时停留的时间都是 2min 1 3 1 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率 2 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望 解析 考查相互独立事件的概率乘法及二项分布 1 设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A 因为事件 A 等价于事件 这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯 在第三个路口遇到红灯 所以事件 A 的概 率为 P A 1 1 3 1 1 3 1 3 4 27 2 由题意可得 可能取的值为 0 2 4 6 8 单位 min 事件 2k 等价于事件 该 学生在上学路上遇到 k 次红灯 k 0 1 2 3 4 所以 P 2k C4kk4 k k 0 1 2 3 4 1 3 2 3 即 的分布列是 02468 P 16 81 32 81 8 27 8 81 1 81 所以 的期望是 E 0 2 4 6 8 16 81 32 81 8 27 8 81 1 81 8 3 教师备课平台 一 解排列 组合应用题的常用方法 排列 组合应用题是本板块在高考中的一个热点 题目内容涉及排队 组数 集合 几何 涂色 分配等各种实际问题 常用的方法有特殊优先法 间接法 捆绑法 插空法 隔板法 等 1 特殊优先法 解带有附加条件的排列应用题 常存在特殊元素或特殊位置 对于问题中的特殊元素 特殊 位置要优先按排 再去满足其他元素或其他位置 针对实际问题有时 元素优先 有时 位置优先 例 1 用 0 1 2 3 4 5 这六个数字 可以组成多少个没有重复数字的六位奇数 解析 方法一 首先把 1 排在个数上 而 0 不能放在十万位上 这时有 4A44 种排 法 然后分别把 3 5 排在个位上 情况与 1 类似 都有 4A44 种排法 于是 共有 3 4A44 288 个 六位奇数 方法二 先排个位数 从 1 3 5 中任选一个 有 A31 种排法 再排十万位 因 0 不能排 故 有 A41 种排法 最后排中间四位数 有 A44 种排法 于是有 A31 A41 A44 288 个 六位奇 数 2 间接法 对于某些排列问题的正面情况较复杂 而其反面情况却较简单时 可先考虑无限制条件的排 列 再减去其反面情况的总数 例 2 五个人站一排 甲不站排头 乙不站排尾 总共有多少种不同的站法 解析 五个人的全排列有 A55 种 其中甲在排头的有 A44 种 乙在排尾的有 A44 种 但在 分别计算时重复了甲在排头且乙在排尾的排列共有 A33 种 因此符合条件的排列有 用心 爱心 专心 7 A55 2A44 A33 78 种 3 捆绑法与插空法 对于某些元素要求相邻排列的问题 可先将相邻元素捆绑在一起 看作一个 大元素 再 与其他元素进行排列 注意 大元素 内部也要排列 对于某些元素需要间隔的排列问题 可先排列无限制条件的元素 再在间隔或两端插入不相邻的元素 注意分清楚 谁插谁 例 3 八个人坐成一排 求满足下列条件的排列各有多少种 1 甲 乙二人必须坐在一起 2 甲 乙 丙三人不能相邻 解析 1 把甲 乙看作一个整体 与其余 6 人排列 相当于 7 个人全排列 有 A77 种排 法 再考虑甲 乙二人的 A22 种排法 共有 A77A22 10080 种不同的坐法 2 先将除甲 乙 丙三人之外的五人排好 有 A55 种排法 再在 5 个人的 4 个空里和两端 共 6 个位置排甲 乙 丙三人 有 A63 种排法 所以共有 A55 A63 14400 种排法 4 隔板法 对于较难的排列组合问题 可运用对应的思想方法 构造一个数学模型 使得这个数学模型 与原问题存在着某种对应关系 通过解答数学模型来得到原问题的解 例 4 某校准备组建一个 18 人的足球队 这 18 人由高一年级的 10 个班的同学组成 每个 班级至少 1 人 名额分配方案共有多少种 解析 构造一个如图的隔板模型 取 18 枚棋子排成一列 在相邻的每两枚棋子形成的 17 个间隙中选取 9 个插入隔板 将 18 枚棋子分隔成 10 个区间 第 i 1 i 10 个区间的棋子 数对应第 i 个班级学生的名额 因此名额分配方案的种数与隔板插入方法数相等 因隔板插 入方法数为 C179 故名额分配方案有 C179 24310 种 二 分类整合思想与转化思想 对于复杂的问题 可以确定一个合理的分类标准 将其简单化 注意 起点 的寻求和 层 次 的划分 做到起点讨论合理自然 层次划分明确清晰 不重不漏 转化的思想就是将待 解决的问题 通过某种转化 或简单化或熟悉化或具体化或正难则反 归结为一类已经解决 或容易解决的问题 例 5 如果一个三位正整数形如 a1a2a3 满足 a1 a2 且 a3 a2 则称这样的三位数为凸 数 如 120 363 374 等 那么所有凸数的个数为 A 240 B 204 C 729 D 920 解析 选 A 由题分析可知 a1 0 a2 2 下面只需对 a2 2 a3 3 a2 9 分别进 行讨论求出其值 然后求和 当 a2 2 时 a1 只能取 1 a3 从 0 1 中任取一个有 C21 种 共有 1 C21 种 当 a2 3 时 a1 从 1 2 中任取一个有 C21 种 a3 从 0 1 2 三个数字中任取一个有 C31 种 共有 C21 C31 种 当 a2 4 时 a1 从 1 2 3 中任取一个有 C31 种 a3 从 0 1 2 3 四个数字中任取一个有 C41 种 共有 C31 C41 种 当 a2 9 时 a1 从 1 2 3 8 中任取一个有 C81 种 a3 从 0 1 2 8 九个数中任取 用心 爱心 专心 8 一个有 C91 种 共有 C81 C91 种 综上可得组成的所有有凸数个数为 1 C21 C21 C31 C31 C41 C41 C51 C51 C61 C61 C71 C71 C81 C81 C91 24 0 例 6 一排 6 把椅子上坐 3 人 每 2 人之间至少有一把空椅子 求共有多少种不同的坐法 解析 方法一 将问题转化为 3 个人坐 5 把椅子 然后插入一把空椅子问题 3 个人坐 5 把椅子 每 2 人之间有一把空椅子 有 A33 种不同的坐法 然后将余下的那把椅 子插入 3 个人的 4 个空隙中 有 4 种插法 所以共有 4A33 24 种 不同的坐法 方法二 将问题转化为 3 名女学生不相邻插入到站成一排横队的 3 名男学生之间 包括首尾 两侧 有多少种站法 因为 6 把椅子坐 3 人后 还空 3 把椅子 把这空的 3 把椅子看成 3 名男学生站法固定 而这 3 名男学生之间最多站 1 名女学生 于是 这就是 4 个间隔插入 3 名女学生 且女学生又有 前后顺序 故有 A43 24 种 站法 三 求古概型的概率问题 一 求古概型的概率问题 文 古典概型是一种最基本的概率概型 也是学习其他概率的基础 是高考考查的重要内容之一 而且在高考中选择题 填空题和解答题三种题型都有所涉及 用古典概率计算概率时 一定 要验证所构造的基本事件是否是等可能的 同时要弄清事件 A 所包含基本事件的个数 例 7 某小组中男生 女生若干人 如果从中选一人参加某项测试 女生被选中的概率是 3 5 如果从中选两人参加测试 两人都是女生的概率为 每个人被选中是等可能的 1 3 1 求该小组男生 女生各多少人 2 从该小组选出 3 人 求男 女生都有的概率 解析 1 设该小组男 女生共 n 人 其中女生有 x 人 依据题意得Error Error 解得Error Error 所以该小组中男生有 4 人 女生有 6 人 2 男生和女生都有 即男生至少 1 人 女生至少 1 人 而从该小组选出 3 人 全是男生的 选法有 C43 全是女生的选法有 C63 所以男 女生都有的概率是 P 1 C43 C63 C103 4 5 文 例 1 2011 东营模拟 甲 乙等四人参加 4 100 米接力赛 求甲跑第一棒或乙跑第 四棒的概率 解析 设事件 A 为 甲跑第一棒 事件 B 为 乙跑第四棒 则 P A P B 计算 1 4 1 4 P A B 记 x 为甲跑的棒数 y 为乙跑的棒数 记为 x y 则共有 12 种可能结果 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 2 1 3 1 4 1 3 2 4 2 4 3 而 甲跑第一棒 乙跑第四棒只有一种可能 1 4 故 P A B 所以甲跑第一棒或乙跑第四 1 12 棒的概率为 P A B P A P B P A B 1 4 1 4 1 12 5 12 文 例 2 现有 8 名奥运会志愿者 其中志愿者 A1 A2 A3 通晓日语 B1 B2 B3 通晓 俄语 C1 C2 通晓韩语 从中选出通晓日语 俄语和韩语的志愿者各 1 名 组成一个小组 用心 爱心 专心 9 1 求 A1 被选中的概率 2 求 B1 和 C1 不全被选中的概率 分析 1 列举出所有基本事件和 A1 被选中 包含的基本事件 然后代入公式计算 2 先求 B1 和 C1 全被选中的概率 解析 1 从 8 人中选出日语 俄语和韩语志愿者各 1 名 其一切可能的结果组成的基本 事件有 A1 B1 C1 A1 B1 C2 A1 B2 C1 A1 B2 C2 A1 B3 C1 A1 B3 C2 A2 B1 C1 A2 B1 C2 A2 B2 C1 A2 B2 C2 A2 B3 C1 A2 B3 C2 A3 B1 C1 A3 B1 C2 A3 B2 C1 A3 B2 C2 A3 B3 C1 A3 B3 C2 共 18 个基本事件 由于每一个基本事件被抽取的机会均等 因此这些基本事件的发生是等可能的 用 M 表示 A1 恰被选中 这一事件 则 M 包含以下事件 A1 B1 C1 A1 B1 C2 A1 B2 C1 A1 B2 C2 A1 B3 C1 A1 B3 C2 事件 M 由 6 个基本事件组成 因而 P M 6 18 1 3 2 用 N 表示 B1 C1 不全被选中 这一事件 则其对立事件表示 B1 C1 全被选中 N 这一事件 由于包含的基本事件有 A1 B1 C1 A2 B1 C1 A1 B1 C1 事件由 3 个基本 N N 事件组成 所以 P N 3 18 1 6 由对立事件的概率公式得 P N 1 P 1 N 1 6 5 6 四 求有关几何概型的概率问题 二 求有关几何概型的概率问题 文 几何概型同古典概型一样 也是最具有代表性的概率模型之一 在高考中占有重要的地 位 用几何概型计算事件的概率时 关键是要构造出随机事件对应的几何图形 利用图形的 几何度量 长度 面积或体积 来求随机事件的概率 例 8 文 例 3 若 k R 且 k 1 2 则 k 的值使得过 A 1 1 可以作两条直线与圆 x2 y2 kx 2y k 0 相切的概率是多少 5 4 解析 由题意 点 A 应该在圆的外部 所以就有 Error Error 即Error Error 又因为 k 1 2 所以 1 k 0 因为 k 的取值区间的长度为 3 而使得过 A 可以作两条直线与圆相切的 k 的取值区间的长度 为 1 由几何概型的计算公式得所求概率 P 1 3 文 例 4 街道旁边有一游戏 在铺满边长为 9cm 的正方形塑料板的宽广地面上 掷一枚 半径为 1cm 的小圆板 规则如下 每掷一次交 5 角钱 若小圆板压在边上 可重掷一次 若 用心 爱心 专心 10 掷在正方形内 须再交 5 角钱可玩一次 若压在塑料板的顶点上 可获一元钱 试问 1 小圆板压在塑料板的边上的概率是多少 2 小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少 解析 小圆板中心用 O 表示 考虑 O 落在 ABCD 的哪个范围时 能使小圆板与塑料板 ABCD 的边相交 及 O 落在哪个范围时能使小圆板压在塑料板 ABCD 的顶点上 1 如图所示 因为 O 落在正方形 ABCD 内任何位置是等可能的 小圆板与正方形塑料 ABCD 的边相交是在小圆板的中心 O 到与它靠近的边的距离不超过 1 时 所以 O 落在图 1 中的阴 影部分时 小圆板就能与塑料板 ABCD 的边相交 因此 区域是边长为 9cm 的正方形 图中 阴影部分表示事件 A 小圆板压在塑料板的边上 于是 S 正 9 9 81 S 阴 9 9 7 7 32 故所求概率 P A S阴 S正 32 81 2 小圆板与正方形的顶点相交是在中心 P 到正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径 1 时 如图 2 所示阴影部分 图中阴影部分表示事件 B 小圆板压在塑料板顶点上 于是 S 正 9 9 81 S 阴 12 故所求的概率 P B S阴 S正 81 五 事件概率的求法 熟练地求出事件的概率 是进一步求分布列 期望 方差的基础 本章中条件概率 独立重 复试验恰好发生 k 次的概率是高考的热点 求解过程中 要注意先判断概率类型 以便准确 应用概率加法公式 乘法公式和除法公式 例 9 甲箱的产品中有 5 个正品和 3 个次品 乙箱的产品中有 4 个正品和 3 个次品 1 从甲箱中任取 2 个产品 求这 2 个产品都是次品的概率 2 若从甲箱中任取 2 个产品放入乙箱中 然后再从乙箱中任取一个产品 求取出的这个产 品是正品的概率 解析 1 从甲箱中任取 2 个产品的事件数为 C82 28 8 7 2 这 2 个产品都是次品的事件数为 C32 3 这 2 个产品都是次品的概率为 3 28 2 设事件 A 为 从乙箱中取出的一个产品是正品 事件 B1 为 从甲箱中取出 2 个产品都 用心 爱心 专心 11 是正品 事件 B2 为 从甲箱中取出 1 个正品 1 个次品 事件 B3 为 从甲箱中取出 2 个产 品都是次品 则事件 B1 事件 B2 事件 B3 彼此互斥 P B1 P B2 C52 C82 5 14 C51C31 C82 15 2