高中数学 1.2.2(2)复合函数的求导法则高中教案教案 新人教A版选修2-2

用心 爱心 专心 1 1 2 21 2 2 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 教学目标教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则 教学重点教学重点 复合函数的求导方法 复合函数对自变量的导数 等于已知函数对中间变量的 导数乘以中间变量对自变量的导数之积 教学难点教学难点 正确分解复合函数的复合过程 做到不漏 不重 熟练 正确 一 创设情景一 创设情景 一 基本初等函数的导数公式表 一 基本初等函数的导数公式表 二 导数的运算法则 二 导数的运算法则 导数运算法则导数运算法则 1 1 f xg xfxg x 2 2 f xg xfx g xf x g x 3 3 2 0 f xfx g xf x g x g x g x g x 2 2 推论 推论 cf xcfx 常数与函数的积的导数 等于常数乘函数的导数 常数与函数的积的导数 等于常数乘函数的导数 函数导数 yc 0y n yf xxnQ 1n ynx sinyx cosyx cosyx sinyx x yf xa ln 0 x yaa a x yf xe x ye logaf xx 1 log 01 ln a f xxfxaa xa 且 lnf xx 1 fx x 用心 爱心 专心 2 二 新课讲授二 新课讲授 复合函数的概念复合函数的概念 一般地 对于两个函数和 如果通过变量 yf u ug x u 可以表示成的函数 那么称这个函数为函数和的复合函数 复合函数 记作 yx yf u ug x 复合函数的导数复合函数的导数 复合函数的导数和函数和的导数间 yf g x yf u ug x 的关系为 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积 xux yyu yxyuux 若若 则 则 yf g x yf g xfg xg x 三 典例分析三 典例分析 例例 1 1 课本例 课本例 4 4 求下列函数的导数 1 2 2 23 yx 0 051x ye 3 其中均为常数 sin yx 解 解 1 函数可以看作函数和的复合函数 根据复合函 2 23 yx 2 yu 23ux 数求导法则有 xux yyu 2 23 4812uxux 2 函数可以看作函数和的复合函数 根据复合函数 0 051x ye u ye 0 051ux 求导法则有 xux yyu 0 051 0 051 0 0050 005 uux exee 3 函数可以看作函数和的复合函数 根据复合sin yx sinyu ux 函数求导法则有 xux yyu sin ss uxco ucox 例例 2 2 求的导数 2 sin tan yx 解 2 222 sin tan cos tan sec 2yxxxx 222 2 cos tan sec xxx 222 2 cos tan sec yxxx 点评点评 求复合函数的导数 关键在于搞清楚复合函数的结构 明确复合次数 由外层向内层逐 层求导 直到关于自变量求导 同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果 用心 爱心 专心 3 例例 3 3 求的导数 2 2 xa y xax 解 2 2 2 22 12 22 2 xa xaxxa xax y xax 222 22 22 2 2 22 aaxax xax xax xax 22 22 2 2 axax y xax 点评 本题练习商的导数和复合函数的导数 求导数后要予以化简整理 例例 4 4 求y sin4x cos 4x的导数 解法一 y sin 4x cos 4x sin2x cos2x 2 2sin2cos2x 1 sin22 x 2 1 1 1 cos 4 x cos 4 x y sin 4 x 4 1 4 3 4 1 解法二 y sin 4 x cos 4 x 4 sin 3 x sin x 4 cos 3x cos x 4 sin 3 x cos x 4 cos 3 x sin x 4 sin x cos x sin 2 x cos 2 x 2 sin 2 x cos 2 x sin 4 x 点评 解法一是先化简变形 简化求导数运算 要注意变形准确 解法二是利用复合函数求导 数 应注意不漏步 例例 5 5 曲线y x x 1 2 x 有两条平行于直线y x的切线 求此二切线之间的 距离 解 y x 3 x 2 2 x y 3 x 2 2 x 2 令y 1 即 3 x2 2 x 1 0 解得 x 或x 1 3 1 于是切点为P 1 2 Q 3 1 27 14 过点P的切线方程为 y 2 x 1 即 x y 1 0 显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离 故所求距离为 2 1 27 14 3 1 2 27 16 四 课堂练习四 课堂练习 1 求下列函数的导