陕西省西安市2013届高三物理二轮复习 专题3 圆周运动、航天与星体问题

1 第第 3 3 专题专题 圆周运动 航天与星体问题圆周运动 航天与星体问题 知识网络知识网络 考点预测考点预测 本专题包含两类问题或者说两大题型 无论是星体问题还是其他圆周运动的问题 往 往都要运用牛顿运动定律和功能关系进行求解 但由于在高考中地位重要 因 而单独作为 一个专题进行总结 分类和强化训练 航天与星体问题是近几年各地高考卷中的必考题型 由于对这个小模块每年都考 各 类题型都有 考得很细 所以历年高考试题往往与近期天文的新发现或航天的新成就 新 事件结合 我们在平时学习的过程中应多思考这类天文新发现和航天新事件中可能用于命 题的要素 在高考卷中 关于航天及星体问题的大部分试题的解题思路明确 即向心力由万有引 力提供 设问的难度不大 但也可能出现设问新颖 综合性强 难度大的试题 要点归纳要点归纳 一 圆周运动 1 描述匀速圆周运动的相关物理量及其关系 1 物理量 线速度v 角速度 周期T 频率f 转速n 向心加速度a等等 2 2 关系 v r 2 rf a 2r r 4 2f2r 2 r T v2 r 4 2 T2 2 匀速圆周运动的向心力 1 向心力的来源 向心力是由效果命名的力 它可以由重力 弹力 摩擦力等力来充 当 也可以是由这些力的合力或它们的分力来提供 即任何力都可能提供向心力 向心力 的作用是只改变线速度的方向 不改变线速度的大小 2 大小 F向 ma m m 2r mr v2 r 4 2 T2 4m 2f2r 牛顿第二定律 3 圆周运动的临界问题 分析圆周运动的临界问题时 一般应从与研究对象相联系的物体 如 绳 杆 轨道等 的 力学特征着手 1 如图 3 1 所示 绳系小球在竖直平面内做圆周运动及小球沿竖直圆轨道的内侧面 做圆周运动过最高点的临界问题 小球只受重力 绳或轨道的弹力 图 3 1 由于小球运动到圆轨迹的最高点时 绳或轨道对小球的作用力只能向下 作用力最小 为零 所以小球做完整的圆周运动在最高点应有一最小速度vmin 当小球刚好能通过最高 点时 有 mg m vmin2 r 解得 vmin gr 又由机械能守恒定律有 mv下2 mv上2 mg 2R 可得v下 1 2 1 25gR 所以 小球要能通过最高点 它在最高点时的速度v需要满足的条件是v 当 gr v 时 绳对球产生拉力 轨道对球产生压力 gr 2 如图 3 2 所示 轻质杆一端的小球绕杆的另一端做圆周运动及小球在竖直放置的 圆环内做圆周运动过最高点的临界问题 图 3 2 分析小球在最高点的受力情况 小球受重力mg 杆或轨道对小球的力F 小球在最高点的动力学方程为 mg F m v2 r 由于小球运动到圆轨迹的最高点时 杆或轨道对小球的作用力可以向下 可以向上 也可以为零 以向下的方向为正方向 设小球在最高点时杆或轨道对它的作用力大小为 F 方向向上 速度大小为v 则有 mg F m v2 r 3 当v 0 时 F mg 方向向上 当 0 v 时 F随v的增大而减小 方向向上 gr 当v 时 F 0 gr 当v 时 F为负值 表示方向向下 且F随v的增大而增大 gr 4 弯道问题 1 火车的弯道 公路的弯道都向内侧倾斜 若弯道半径为r 车辆通过速度为v0 则 弯道的倾角应为 2 飞机 鸟在空中盘旋时受力与火车以 v0 过弯道相同 故机翼 翅膀的倾角 arctan v2 rg 图 3 3 3 骑自行车在水平路面上转弯时 向心力由静摩擦力提供 但车身的倾斜角仍为 arctan v2 rg 二 航天与星体问题 1 天体运动的两个基本规律 1 万有引力提供向心力 行星卫星模型 F G m mr 2 mr Mm r2 v2 r 4 2 T2 双星模型 G m1 2r1 m2 2 L r1 m1m2 L2 其中 G 6 67 10 11 N m2 kg2 2 万有引力等于重力 G mg 物体在地球表面且忽略地球自转效应 Mm R2 G mg 在离地面高h处 忽略地球自转效应完全相等 g 为该处的重力加 Mm R h 2 速度 2 人造卫星的加速度 线速度 角速度 周期跟轨道半径的关系 F万 G F向 Error Mm r2 3 宇宙速度 1 第一宇宙速度 环绕速度 v 7 9 km s 是卫星发射的最小速度 也是卫星 gR 环绕地球运行的最大速度 2 第二宇宙速度 v 11 2 km s 3 第三宇宙速度 v 16 7 km s 注意 三个宇宙速度的大小都是取地球中心为参照系 以上数据是地球上的宇宙速度 其他星球上都有各自的宇宙速度 计算方法与地球 相同 4 关于地球同步卫星 地球同步卫星是指与地球自转同步的卫星 它相对于地球表面是静止的 广泛应用于 通信领域 又叫做同步通信卫星 其特点可概括为六个 一定 4 1 位置一定 必须位于地球赤道的上空 地球同步卫星绕地球旋转的轨道平面一定与地球的赤道面重合 假设同步卫星的轨道平面与赤道平面不重合 而与某一纬线所在的平面重合 如图 3 4 所示 同步卫星由于受到地球指向地心的万有引力F的作用 绕地轴做圆周运动 F 的一个分力F1提供向心力 而另一个分力F2将使同步卫星不断地移向赤道面 最终直至与 赤道面重合为止 此时万有引力F全部提供向心力 图 3 4 2 周期 T 一定 同步卫星的运行方向与地球自转的方向一致 同步卫星的运转周期与地球的自转周期相同 即T 24 h 3 角速度 一定 由公式 知 地球同步卫星的角速度 因为T恒定 为常数 故 t 2 T 也一定 4 向心加速度 a 的大小一定 地球同步卫星的向心加速度为a 则由牛顿第二定律和万有引力定律得 G ma a Mm R h 2 GM R h 2 5 距离地球表面的高度 h 一定 由于万有引力提供向心力 则在 一定的条件下 同步卫星的高度不具有任意性 而 是唯一确定的 根据G m 2 R h 得 Mm R h 2 h R R 36000 km 3 GM 2 3 GM f 2 T 2 6 环绕速率 v 一定 在轨道半径一定的条件下 同步卫星的环绕速率也一定 且为v 3 08 GM r R2g R h km s 因此 所有同步卫星的线速度大小 角速度大小及周期 半径都相等 由此可知要发射同步卫星必须同时满足三个条件 卫星运行周期和地球自转周期相同 卫星的运行轨道在地球的赤道平面内 卫星距地面高度有确定值 热点 重点 难点热点 重点 难点 一 圆周运动 关于圆周运动 在高考中除了一般会出现星体问题 带电粒子在匀强磁场中的运动的 试题外 还常会出现其他考查动能和功能关系的圆周运动问题 如 2009 年高考安徽理综卷 第 24 题 浙江理综卷第 24 题 2008 年高考山东理综卷第 24 题 广东物理卷第 17 题 2007 年高考全国理综卷 第 23 题等 5 例 1 如图 3 5 所示 两个 圆弧轨道固定在水平地面上 半径R相同 A轨道由 3 4 金属凹槽制成 B轨道由金属圆管制成 均可视为光滑轨道 在两轨道右侧的正上方分别 将金属小球A和B由静止释放 小球距离地面的高度分别用hA和hB表示 则下列说法正确 的是 图 3 5 A 若hA hB 2R 则两小球都能沿轨道运动到最高点 B 若hA hB 由于机械能守恒 两个小球沿轨道上升的最大高度均为 3R 2 3R 2 C 适当调整hA和hB 均可使两小球从轨道最高点飞出后 恰好落在轨道右端口处 D 若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出 A小球的最小高度为 B小球在hB 2R 5R 2 的任何高度均可 解析 当hB 2R时 B小球能沿圆管运动到达最高点 且由机械能守恒定律知到达 最高点时速度减为零 故当hA 2R时 A小球到达最高点前已离开圆弧轨道 同理 当 hA hB R时 B小球能恰好上升至R A小球上升至前已离开圆弧 故选项 A B 错 3 2 3 2 3R 2 误 要使小球从轨道最高点飞出后恰好落在轨道右端口 在最高点的初速度应为 v0 R 2R g Rg 2 又因为A小球沿凹槽到达最高点的条件为m mg 即v 故A小球不可能从轨 v2 RgR 道最高点飞出后恰好落在轨道右端口处 又由机械能守恒定律 A小球能到达凹槽轨道高点的条件为 mgha mg 2R m 2 1 2gR 得ha R 故选项 C 错误 D 正确 5 2 答案 D 点评 除了天体问题和带电粒子在匀强磁场中运动外 竖直方向的圆周运动问题是 较常出现的题型 本例题较典型地包含这类问题中的动力学关系和动能关系 二 天体质量 密度及表面重力加速度的计算 1 星体表面的重力加速度 g G M R2 2 天体质量常用的计算公式 M rv2 G 4 2r3 GT2 例 2 假设某个国家发射了一颗绕火星做圆周运动的卫星 已知该卫星贴着火星表 面运动 把火星视为均匀球体 如果知道该卫星的运行周期为T 引力常量为G 那么 A 可以计算火星的质量 B 可以计算火星表面的引力加速度 C 可以计算火星的密度 6 D 可以计算火星的半径 解析 卫星绕火星做圆周运动的向心力由万有引力提供 则有 G mr Mm r2 4 2 T2 而火星的质量M r3 4 3 联立解得 火星的密度 3 GT2 由M g G r知 不能确定火星的质量 半径和其的表面引力加速度 4 2r3 GT2 M r2 4 2 T2 所以 C 正确 答案 C 点评 历年的高考中都常见到关于星体质量 或密度 重力加速度的计算试题 如 2009 年高考全国理综卷 第 19 题 江苏物理卷第 3 题 2008 年高考上海物理卷 1 A 等 同类拓展 1 我国探月的嫦娥工程已启动 在不久的将来 我国宇航员将登上月球 假 如宇航员在月球上测得摆长为l的单摆做小振幅振动的周期为T 将月球视为密度均匀 半径为r的球体 则月球的密度为 A B C D 3 GT2 3 l GrT2 16 l 3GrT2 3 l 16GrT2 解析 设月球表面附近的重力加速度为g0 有 T 2 l g0 又由g0 G M r2 3M 4 r3 可解得 3 l GrT2 答案 B 三 行星 卫星的动力学问题 不同轨道的行星 卫星 的速度 周期 角速度的关系在 要点归纳 中已有总结 关 于这类问题还需特别注意分析清楚卫星的变轨过程及变轨前后的速度 周期及向心加速度 的关系 例 3 2008 年 9 月 25 日到 28 日 我国成功发射了神舟七号载人航天飞行并实现了 航天员首次出舱 飞船先沿椭圆轨道飞行 后在远地点 343 千米处点火加速 由椭圆轨道 变成高度为 343 千米的圆轨道 在此圆轨道上飞船运行周期约为 90 分钟 下列判断正确的 是 2009 年高考 山东理综卷 A 飞船变轨前后的机械能相等 B 飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态 C 飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度 D 飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度 解析 飞船点火变轨 反冲力对飞船做正功 飞船的机械能不守恒 A 错误 飞船 在圆形轨道上绕行时 航天员 包括飞船及其他物品 受到的万有引力恰好提供所需的向心 力 处于完全失重状态 B 正确 神舟七号的运行高度远低于同步卫星 由 2 知 C 1 r3 正确 由牛顿第二定律a G知 变轨前后过同一点的加速度相等 F引 m M r2 答案 BC 点评 对于这类卫星变轨的问题 特别要注意比较加速度时不能根据运动学公式 a 2r 因为变轨前后卫星在同一点的速度 轨道半径均变化 一般要通过决定式 v2 r a 来比较 F m 7 同类拓展 2 为纪念伽利略将望远镜用于天文观测 400 周年 2009 年被定为以 探 索我的宇宙 为主题的国际天文年 我国发射的嫦娥一号卫星绕月球经过一年多的运行 完成了既定任务 于 2009 年 3 月 1 日 16 日 13 分成功撞月 图示为嫦娥一号卫星撞月的模 拟图 卫星在控制点 1 开始进入撞月轨道 假设卫星绕月球做圆周运动的轨道半径为R 周期为T 引力常量为G 根据题中信息 A 可以求出月球的质量 B 可以求出月球对嫦娥一号卫星的引力 C 可知嫦娥一号卫星在控制点 1 处应减速 D 可知嫦娥一号在地面的发射速度大于 11 2 km s 解析 由G mR可得月球的质量M A 正确 由于不知嫦娥一号的质 Mm R2 4 2 T2 4 2R3 GT2 量 无法求得引力 B 错误 卫星在控制点 1 开始做近月运动 知在该点万有引力要大于 所需的向心力 故知在控制点 1 应减速 C 正确 嫦娥一号进入绕月轨道后 同时还与月 球一起绕地球运行 并未脱离地球 故知发射速度小于 11 2 km s D 错误 答案 AC 四 星体 航天问题中涉及的一些功能关系 1 质量相同的绕地做圆周运动的卫星 在越高的轨道动能Ek mv2 G越小 引力 1 2 Mm 2r 势能越大 总机械能越大 2 若假设距某星球无穷远的引力势能为零 则距它r处卫星的引力势能 Ep G 不需推导和记忆 在星球表面处发射物体能逃逸的初动能为Ek Ep G Mm r Mm R 例 4 2008 年 12 月 天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞 人马座 A 的质量与太阳质量的倍数关系 研究发现 有一星体 S2 绕人马座 A 做椭圆运动 其轨 道半长轴为 9 50 102天文单位 地球公转轨道的半径为一个天文单位 人马座 A 就处在 该椭圆的一个焦点上 观测得到 S2 星的运动周期为 15 2 年 1 若将 S2 星的运行轨道视为半径r 9 50 102天文单位的圆轨道 试估算人马座 A 的质量MA是太阳质量MS的多少倍 结果保留一位有效数字 2 黑洞的第二宇宙速度极大 处于黑洞表面的粒子即使以光速运动 其具有的动能也 不足以克服黑洞对它的引力束缚 由于引力的作用 黑洞表面处质量为m的粒子具有的势 能为Ep G 设粒子在离黑洞无限远处的势能为零 式中M R分别表示黑洞的质量和 Mm R 半径 已知引力常量G 6 7 10 11 N m2 kg2 光速c 3 0 108 m s 太阳质量 MS 2 0 1030 kg 太阳半径RS 7 0 108 m 不考虑相对论效应 利用上问结果 在经典 力学范围内求人马座 A 的半径RA与太阳半径RS之比应小于多少 结果按四舍五入保留整 数 2009 年高考 天津理综卷 解析 1 S2 星绕人马座 A 做圆周运动的向心力由人马座 A 对 S2 星的万有引力提供 设 S2 星的质量为mS2 角速度为 周期为T 则有 G mS2 2r MAmS2 r2 8 2 T 设地球质量为mE 公转轨道半径为rE 周期为TE 则 G mE 2rE MSmE rE2 2 TE 综合上述三式得 3 2 MA MS r rE TE T 上式中TE 1 年 rE 1 天文单位 代入数据可得 4 106 MA MS 2 引力对粒子作用不到的地方即为无限远处 此时粒子的势能为零 处于黑洞表面 的粒子即使以光速运动 其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚 说明了黑洞表 面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功 粒子在到达无限远之前 其动 能便减小为零 此时势能仍为负值 则其能量总和小于零 根据能量守恒定律可知 粒子 在黑洞表面处的能量也小于零 则有 mc2 G 0 1 2 Mm R 依题意可知 R RA M MA 可得 RA 2GMA c2 代入数据得 RA 1 2 1010 m 故 17 RA RS 答案 1 4 106 2 17 RA RS 点评 黑洞 问题在高考中时有出现 关键要理解好其 不能逃逸 的动能定 理方程 mc2 G 0 1 2 Mm R Ep G是假定离星球无穷远的物体与星球共有的引力势能为零时 物体在其他 Mm R 位置 与星球共有 的引力势能 同样有引力做的功等于引力势能的减少 同类拓展 3 2005 年 10 月 12 日 神舟六号飞船顺利升空后 在离地面 340 km 的圆 轨道上运行了 73 圈 运行中需要多次进行轨道维持 所谓 轨道维持 就是通过控制飞船 上发动机的点火时间 推力的大小和方向 使飞船能保持在预定轨道上稳定运行 如果不 进行轨道维持 由于飞船在轨道上运动受摩擦阻力的作用 轨道高度会逐渐缓慢降低 在 这种情况下 下列说法正确的是 A 飞船受到的万有引力逐渐增大 线速度逐渐减小 B 飞船的向心加速度逐渐增大 周期逐渐减小 线速度和角速度都逐渐增大 C 飞船的动能 重力势能和机械能都逐渐减小 D 重力势能逐渐减小 动能逐渐增大 机械能逐渐减小 解析 飞船的轨道高度缓慢降低 由万有引力定律知其受到的万有引力逐渐增大 向心加速度逐渐增大 又由于轨道变化的缓慢性 即在很短时间可当做匀速圆周运动 由 G m m 2r mr知 其线速度逐渐增大 动能增大 由此可知飞船动能逐渐增 Mm r2 v2 r 4 2 T2 大 重力势能逐渐减小 由空气阻力做负功知机械能逐渐减少 答案 BD 五 双星问题 例 5 天文学家将相距较近 仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星 双 星系统在银河系中很普遍 利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质 量 已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动 周期 均为T 两颗恒星之间的距离为r 试推算这个双星系统的总质量 引力常量为G 9 2008 年高考 宁夏理综卷 解析 设两颗恒星的质量分别为m1 m2 做圆周运动的半径分别为r1 r2 角速度 分别为 1 2 根据题意有 1 2 r1 r2 r 根据万有引力定律和牛顿定律 有 G m1r1 12 m1m2 r2 G m2r2 22 m1m2 r2 联立解得 r1 m2r m1 m2 根据角速度与周期的关系知 1 2 2 T 联立解得 m1 m2 4 2r3 T2G 答案 4 2r3 T2G 点评 在双星系统中 当其中一星体质量远远大于另一星体时 它们的共同圆心就 在大质量星球内部且趋近于球心 经典考题经典考题 1 天文学家新发现了太阳系外的一颗行星 这颗行星的体积是地球的 4 7 倍 质量是 地球的 25 倍 已知某一近地卫星绕地球运行的周期约为 1 4 小时 引力常量 G 6 67 10 11 N m2 kg2 由此估算该行星的平均密度约为 2009 年高考 全国理综卷 A 1 8 103 kg m3 B 5 6 103 kg m3 C 1 1 104 kg m3 D 2 9 104 kg m3 解析 由G mR 可得 地球密度 再由质量和体积关系 Mm R2 4 2 T2 3M 4 R3 3 GT2 得该行星的密度 2 9 104 kg m3 答案 D 2 2009 年 2 月 11 日 俄罗斯的 宇宙 2251 卫星和美国的 铱 33 卫星在西伯 利亚上空约 805 km 处发生碰撞 这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件 碰撞过程 中产生的大量碎片可能会影响太空环境 假定有甲 乙两块碎片 绕地球运行的轨道都是 圆 甲的运行速率比乙的大 则下列说法中正确的是 2009 年高考 安徽理综卷 A 甲的运行周期一定比乙的长 B 甲距地面的高度一定比乙的高 C 甲的向心力一定比乙的小 D 甲的加速度一定比乙的大 解析 由v 可知 甲碎片的速率大 轨道半径小 故 B 错误 由公式T 2 GM r 可知 甲的周期小 故 A 错误 由于未知两碎片的质量 无法判断向心力的大小 故 C R3 GM 错误 碎片的加速度是指引力加速度 由G ma 可得a 甲的加速度比乙大 D 正 Mm R2 GM R2 确 答案 D 10 3 1990 年 4 月 25 日 科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约 600 km 的高空 使 得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展 假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运 行 已知地球半径为 6 4 106 m 利用地球同步卫星与地球表面的距离为 3 6 107 m 这一 事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期 以下数据中 最接近其运行周期的是 2008 年 高考 四川理综卷 A 0 6 小时 B 1 6 小时 C 4 0 小时 D 24 小时 解析 由开普勒行星运动定律可知 恒量 所以 其中r R3 T2 r h1 3 t12 r h2 3