高中数学竞赛讲座：第16节--不等式新人教A版

用心 爱心 专心 竞赛讲座竞赛讲座 1616 不等式 不等式 不等式是数学竞赛的热点之一 由于不等式的证明难度大 灵活性强 要求很高的 技巧 常常使它成为各类数学竞赛中的 高档 试题 而且 不论是几何 数论 函数或组合数学中的许多问题 都可能与不等式有关 这就使得不等式的问题 特 别是有关不等式的证明 在数学竞赛中显得尤为重要 证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样 没有固定的模式 证法因题而异 灵活多变 技巧性强 但它也有一些基本的常用方法 要熟练掌握不等式的证明技 巧 必须从学习这些基本的常用方法开始 一 不等式证明的基本方法一 不等式证明的基本方法 1 1 比较法 比较法 比较法可分为差值比较法和商值比较法 1 1 差值比较法 差值比较法 原理原理 A B 0A B 例 1 l m n 是奇偶性相同的自然数 求证 am bm an bn 2 am n bm n 2 证明 例 2 设 a1 a2 an b1 b2 bn j1 j2 jn是 1 2 n 的任意一个排 列 令 S a1 a2 an S0 a1bn a2bn 1 anb1 S1 a1b1 a2b2 anbn 求证 S0 S S1 2 2 商值比较法 商值比较法 原理原理 若 1 且 B 0 则 A B 用心 爱心 专心 例 3 已知 a b c 0 求证 a2ab2bc2c ab cbc aca b 2 2 分析法 分析法 例 4 若 x y 0 求证 例 5 若 a b c 是 ABC 的三边长 求证 a4 b4 c40 求证 abc a b c b c a c a b 例 7 已知 ABC 的外接圆半径 R 1 S ABC a b c 是 ABC 的三边长 令 S t 求证 t S 4 4 反证法 反证法 例 8 已知 a3 b3 2 求证 a b 2 5 5 数学归纳法 数学归纳法 例 9 证明对任意自然数 n 二 不等式证明的若干技巧二 不等式证明的若干技巧 无论用什么方法来证明不等式 都需要对数学表达式进行适当的变形 这种变形往 往要求具有很高的技巧 必须善于分析题目的特征 根据题设条件 综合地利用添 拆 分解 组合 配方 变量代换 数形结合等方法才能发现问题的本质 找到突 破口 1 1 变形技巧变形技巧 例 1 若 n N S 用心 爱心 专心 求证 n S n 1 例 2 1 若 A B C 0 求证 sinA sinB sinC 3sin 2 ABC 的三内角平分线分别交其外接圆于 A B C 求证 S ABC S A B C 2 2 引入参变量引入参变量 例 3 将一块尺寸为 48 70 的矩形铁皮剪去四角小正方形后折成一个无盖长方体 铁盒 求铁盒的最大容积 例 4 在 ABC 中 求证 a2 b2 c2 4 b c 2 c a 2 a b 2 其中 a b c 是 ABC 的三边长 S ABC 3 3 数形结合 构造数形结合 构造 例 5 证明 4 4 递推递推 例 6 已知 x1 x2 xn 求证 三 放缩法三 放缩法 例 1 若 n N n 2 求证 例 2 都是锐角 求证 9 例 3 已知 a1 1 a1 a2 1 a1 a2 an 1 求证