高考数学一轮复习（例题解析） 11.1 古典概型

用心 爱心 专心 1 高中数学一轮复习资料高中数学一轮复习资料 第十一章第十一章 概率概率 第一节第一节 古典概型古典概型 A 组组 1 某产品分甲 乙 丙三级 其中乙 丙两级均属次品 在正常生产情况下 出现乙级品 和丙级品的概率分别是 5 和 3 则抽验一只是正品 甲级品 的概率为 解析 记抽验的产品是甲级品为事件 A 是乙级品为事件 B 是丙级品为事件 C 这三 个事件彼此互斥 因而抽验产品是正品 甲级品 的概率为 P A 1 P B P C 1 5 3 92 0 92 答案 0 92 2 某射手在一次射击中 射中 10 环 9 环 8 环的概率分别是 0 20 0 30 0 10 则此射手在 一次射击中不够 8 环的概率为 解析 射中 8 环及以上的概率为 0 20 0 30 0 10 0 60 故不够 8 环的概率为 1 0 60 0 40 答案 0 40 3 从甲 乙 丙 丁四人中任选两名代表 甲被选中的概率为 解析 从甲 乙 丙 丁四人中任选两名代表的所有可能为 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁 满足题意的有 甲乙 甲丙 甲丁 所以概率为 P 答案 3 6 1 2 1 2 4 2010 年佛山第二次质检 从一个信箱中任取一封信 记一封信的重量为 单位 克 如 果 P 30 解析 P 30 1 P 10 P 10 30 1 0 3 0 4 0 3 答案 0 3 5 某种电子元件在某一时刻是否接通的可能性是相同的 有 3 个这样的电子元件 则出现 至少有一个接通的概率为 解析 设电子元件接通记为 1 没有接通记为 0 又设 A 表示 3 个电子元件至少有一个 接通 显然 表示 3 个电子元件都没有接通 表示 3 个电子元件的状态 则 A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 由 8 个基本事件组 成 而且这些基本事件的出现是等可能的 0 0 0 事件 由 1 个基本事件组成 因此 AA P P A P 1 P A 1 P 1 答案 A 1 8AA 1 8 7 8 7 8 6 2010 年南京调研 某学校的篮球队 羽毛球队 乒乓球队各有 10 名队员 某些队员不止 参加了一支球队 具体情况如图所示 现从中随机抽取一名队 员 求 1 该队员只属于一支球队的概率 2 该队员最多属于两支球队的概率 解 从图中可以看出 3 个球队共有 20 名队员 1 记 随机抽取一名队员 该队员只属于一支球队 为事 件 A 则 P A 故随机抽取一名队员 该 3 5 4 20 3 5 队员只属 于一支球队的概率为 3 5 2 记 随机抽取一名队员 该队员最多属于两支球队 为事件 B 则 P B 1 P B 1 2 20 9 10 故随机抽取一名队员 该队员最多属于两支球队的概率为 9 10 B 组组 1 2009 年高考安徽卷 从长度分别为 2 3 4 5 的四条线段中任意取出三条 则以这三条 线段为边可以构成三角形的概率是 解析 从四条线段中任取三条有 4 种取法 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5 其中能构 用心 爱心 专心 2 成三角形的取法有 3 种 2 3 4 2 4 5 3 4 5 故所求的概率为 3 4 答案 3 4 2 甲射手击中靶心的概率为 乙射手击中靶心的概率为 甲 乙两人各射击一次 那么 1 3 1 2 甲 乙不全击中靶心的概率为 解析 P 1 答案 1 3 1 2 5 6 5 6 3 口袋内装有一些大小相同的红球 白球和黑球 从中摸出 1 个球 摸出红球的概率是 0 42 摸出白球的概率是 0 28 那么摸出黑球的概率是 解析 P 1 0 42 0 28 0 30 答案 0 30 4 甲 乙两人各写一张贺年卡随意送给丙 丁两人中的一人 则甲 乙将贺年卡送给同一 人的概率是 解析 甲送给丙 乙送给丁 甲送给丁 乙送给丙 甲 乙都送给丙 甲 乙都送 给丁 共四种情况 其中甲 乙将贺年卡送给同一人的情况有两种 答案 1 2 5 2008 年高考江苏卷 若将一颗质地均匀的骰子 一种各面上分别标有 1 2 3 4 5 6 个点的正 方体玩具 先后抛掷 2 次 则出现向上的点数之和为 4 的概率是 解析 基本事件共 6 6 个 点数和为 4 的有 1 3 2 2 3 1 共 3 个 故 P 3 6 6 答案 1 12 1 12 6 有两个质地均匀 大小相同的正四面体玩具 每个玩具的各面上分别写有数字 1 2 3 4 把两个玩具各抛掷一次 斜向上的面写有的数字之和能被 5 整除的概率为 解析 由于正四面体各面都完全相同 故每个数字向上都是等可能的 被 5 整除的可能 为 2 3 3 2 1 4 4 1 共 4 种 而总共有 4 4 16 种 故 P 答案 4 16 1 4 1 4 7 有一个奇数列 1 3 5 7 9 现在进行如下分组 第一组有 1 个数为 1 第二组有 2 个数 为 3 5 第三组有 3 个数为 7 9 11 依此类推 则从第十组中随机抽取一个数恰为 3 的倍数的概率为 解析 由已知可得前九组共有 1 2 3 9 45 个 奇数 第十组共有 10 个奇数且 依次构成公差为 2 的等差数列 且第一个奇数为 a1 1 2 46 1 91 所以 第十组的奇 数为 91 93 95 97 99 101 103 105 107 109 这十个数字 其中恰为 3 的倍数的数有 93 99 105 三 个 故所求概率为 P 答案 3 10 3 10 8 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子 它们的六个面分别标有点数 1 2 3 4 5 6 骰子朝 上的面的点数分别为 x y 则满足 log2xy 1 的概率为 解析 由 log2xy 1 得 y 2x 满足条件的 x y 有 3 对 而骰子朝上的点数 x y 共有 6 6 36 概率为 答案 3 36 1 12 1 12 9 2010 年江苏宿迁模拟 将一枚骰子抛掷两次 若先后出现的点数分别为 b c 则方程 x2 bx c 0 有实根的概率为 解析 一枚骰子掷两次 其基本事件总数为 36 方程有实根的充要条件为 b2 4c b123456 使 b2 4c 的基本 事件个数 012466 用心 爱心 专心 3 由此可见 使方程有实根的基本事件个数为 1 2 4 6 6 19 于是方程有实根的概 率为 P 答案 19 36 19 36 10 如图 四边形 ABCD 被两条对角线分成四个小三角形 若每个 小三角形用 4 种不同颜色中的任一种涂染 求出现相邻三角形均不 同色的概率 解 若不考虑相邻三角形不同色的要求 则有 44 256 种 涂法 下面求相邻三角形不同色的涂法种数 若 AOB 与 COD 同色 它们共有 4 种涂法 对每一 种涂法 BOC 与 AOD 各有 3 种涂法 所以此时共有 4 3 3 36 种 涂法 若 AOB 与 COD 不同色 它们共有 4 3 12 种 涂法 对每一种涂法 BOC 与 AOD 各有 2 种涂 法 所以此时有 4 3 2 2 48 种 涂法 故相邻三角形均不同色的概率 P 36 48 256 21 64 11 在数学考试中 小明的成绩在 90 分及以上的概率是 0 18 在 80 89 分的概率是 0 51 在 70 79 分的概率是 0 15 在 60 69 分的概率是 0 09 计算小明在数学考试中取得 80 分 及以上成绩的概率和小明考试不及格 低于 60 分 的概率 解 设小明的数学考试成绩在 90 分及以上 在 80 89 分 在 70 79 分 在 60 69 分 分别为事件 B C D E 这 4 个事件是彼此互斥的 根据互斥事件的加法公式 小明的考试成绩在 80 分及以上的概率为 P B C P B P C 0 18 0 51 0 69 小明考试及格的概率 即成绩在 60 分及以上的概率为 P B C D E P B P C P D P E 0 18 0 51 0 15 0 09 0 93 而小明考试不及格与小明考试及格互为对立事件 所以小明考试不及格的概率为 1 P B C D E 1 0 93 0 07 12 盒中有 6 只灯泡 其中 2 只次品 4 只正品 有放回地从中任取 2 次 每次只取 1 只 试求下列事件的概率 1 取到的 2 只都是次品 2 取到的 2 只中正品 次品各 1 只 3 取 到的 2 只中至少有 1 只正品 解 从 6 只灯泡中有放回地任取 2 次 每次只取 1 只 共有 62 36 种 不同取法 1 取到的 2 只都是次