高三数学直觉思维在解数学选择题中的应用全国通用

1 直觉思维在解数学选择题中的应用直觉思维在解数学选择题中的应用 数学选择题在广东高考试卷中 所占的分值 40 分 它具有概括性强 知识 覆盖面广 小巧灵活 且有一定的综合性和深度等特点 考生能否迅速 准确 全面 简捷地解好选择题 对于能否进入最佳状态 以至于整个考试的成败起着 举足轻重的作用 解答选择题的基本策略是准确 迅速 数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式 逻辑思维严格遵守数学概念 和逻辑演绎的规则 而直觉思维不受固定的逻辑规则约束 它直接领悟事物本 质 是一种跳跃式的预见 因此大大缩短思考时间 在解数学选择题时 巧妙 运用直觉思维 能有效提高解题速度 准确度 培养数学直觉思维 可以从特殊结构 包括代数式的结构 图形的结构 问题的结构 特殊数值 特殊位置 变化趋势 变化极限 范围估计 运算结 果 特殊联系等方面来进行 一 从特殊结构入手 例题 1 一个正四面体 各棱长均为 则对棱的距离为 2 A 1 B C D 2 1 2 2 2 此题情境设置简洁 解决方法也多 通常可以考虑作出对棱的公垂线段再 转化为直角三角形求解 不过若能意识到把这个正四面体置于一个正方体结构 中 如图 1 则瞬间得到结果 就是该正方体的棱长 为 1 选 A 图 1 二 从特殊数值入手 例题 2 已知 则的值为 2 5 1 cossin xxxtan x A B 或 C D 4 3 4 3 3 4 3 4 4 3 由题目中出现的数字 3 4 5 是勾股数以及的范围 直接意识到x 2 从而得到 选 C 34 sin cos 55 xx 3 tan 4 x 例题 3 ABC 中 cosAcosBcosC 的最大值是 A B C 1 D 3 8 3 8 1 2 1 本题选自某一著名的数学期刊 作者提供了下列 标准 解法 特抄录如 下供读者比较 设 y cosAcosBcosC 则 2y cos A B cos A B cosC cos2C cos A B cosC 2y 0 构造一元二次方程 x2 cos A B x 2y 0 则 cosC 是一元二次方程的根 由 cosC 是实数知 cos2 A B 8y 0 即 8y cos2 A B 1 故应选 B 8 1 y 这就是 经典 的小题大作 事实上 由于三个角 A B C 的地位完全平 等 直觉告诉我们 最大值必定在某一特殊角度取得 故只要令 A B C 60 即 得答案 B 这就是直觉法的威力 这也正是命题人的真实意图所在 三 从特殊位置入手 例题 4 如图 2 已知一个正三角形内接于一个边长 为的正三角形中 问取什么值时 内接正三角形的面ax 积最小 A B C D 图 2 2 a 3 a 4 a3 2 a 显然小三角形的端点位于大三角形边的中点时面积最小 选 A 练习 5 双曲线的左焦点为 F 22 1xy 点 P 为左支下半支异于顶点的任意一点 则直线 PF 的 斜率的变化范围是 A B 0 1 1 C D 图 3 0 1 1 进行极限位置分析 当 P时 PF 的斜率 当时 斜率不 A0k PFx 存在 即或 当 P 在无穷远处时 PF 的斜率 选 C k k 1k 3 四 从变化趋势入手 例题 6 06 年全国卷 11 用长度分别为 2 3 4 5 6 单位 cm 的 5 根细木棍围成一个三角形 允许连接 但不允许折断 能够得到的三角形 的最大面积为多少 A 8 cm2 B 6 cm2 C 3 cm2 D 20 cm251055 此三角形的周长是定值 20 当其高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线 其面积趋向于零 可知 只有当三角形的形状趋向于最 饱满 时也就是形状 接近于正三角形时面积最大 故三边长应该为 7 7 6 因此易知最大面积为 cm2 选 B 6 10 例题 7 07 海南 宁夏理 11 文 12 甲 乙 丙三名射箭运动员在某次测 试中个射箭 20 次 三人测试成绩如下表 分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差 则有 123 S SS A B C D 213 SSS 312 SSS 321 SSS 132 SSS 我们固然可以用直接法算出答案来 标准答案也正是这样做的 但是显然 时间会花得多 凭直觉你可以估计到 它们的期望值相同 离开期望值比较近 的数据越多 则方差 等价于标准差会越小 所以选 B 五 从变化极限入手 例题 8 在 ABC 中 角 A B C 所对边长分别为 a b c 若 c a 等于 AC 边上的高 那么的值是 sincos 22 CACA A 1 B C D 1 1 2 1 3 进行极限分析 时 点 此时高 那么0A C A0 hca 所以 选 A 180 0CA sincos 22 CACA sin90cos01 例题 9 06 辽宁文 11 与方程的曲线关于直线 2 21 0 xx yeex 甲的成绩 环数78910 频数5555 乙的成绩 环数78910 频数6446 丙的成绩 环数78910 频数4664 4 对称的曲线方程为 yx A B ln 1 yx ln 1 yx C D ln 1 yx ln 1 yx 用趋势判断法 显然已知曲线方程可以化为 是个增函数 2 1 0 x yex 再令那么那么根据反函数的定义 在正确选项中当时 x y y 应该有只有 A 符合 x 六 从范围估计入手 例题 10 07 浙江文 8 甲乙两人进行乒乓球比赛 比赛规则为 3 局 2 胜 即以先赢 2 局者为胜 根据以往经验 每局比赛中甲获胜的概率为 0 6 则本 次比赛中甲获胜的概率为 A 0 216 B 0 36 C 0 432 D 0 648 先看 标准 解法 甲获胜分两种情况 甲 乙 2 0 其概率为 0 6 0 6 0 36 甲 乙 2 1 其概率为 所以甲获 1 2 0 6 0 4 0 60 288C 胜的概率为 0 36 0 288 0 648 选 D 现在再用直觉法来解 因为这种比赛没有平局 2 人获胜的概率之和为 1 而甲获胜的概率比乙大 应该超过 0 5 只有选 D 例题 11 07 湖北理 9 连续投掷两次骰子的点数为 记向量 m n b b m n 与向量 a a 1 1 的夹角为 则的概率是 0 2 A B C D 5 12 1 2 7 12 5 6 凭直觉可用估值法 画个草图 图 4 立刻 发现在范围内 含在 OB 上 的向量 b b 的个 图 4AOB 数超过一半些许 选 C 完全没有必要计算 七 从运算结果入手 例题 12 97 全国理科 函数的最小正周期是 sin 2 cos2 3 yxx A B C D 2 2 4 5 因为 所以函数的周期只与有关 这sincossin axbxAx y 里 所以选 B 根本不必计算 2 例题 13 若 则 727 0127 1 2 xaa x a xa x 0127 aaaa A 1 B 1 C 0 D 7 3 直觉告诉我们 从结果看 展开式系数取绝对值以后 其和会相当大 选 D 或者退化判断法 将 7 次改为 1 次 还有一个更加绝妙的主意 干脆把问题 转化为已知 求 这与原 727 0127 12 xaa xa xa x 0127 aaaa 问题完全等价 所以结果为 选 D 7 3 八 从特殊联系入手 例题 14 97 年高考 不等式组的解集是 x x x x x 2 2 3 3 0 A B 20 xx 5 20 xx C D 60 xx 30 xx 直接求解肯定不是最佳策略 四个选项左端都是 0 只有右端的值不同 在这四个值中会是哪一个呢 直觉 它必定是方程的根 代入 33 33 xx xx 验证 2 不是 3 不是 2 5 也不是 所以选 C 例题 15 四个平面 最多可以把空间分成几部分 A 8 B 14 C 15 D 16 这个问题等价于 一个西瓜切 4 刀 假设在此过程中西瓜不散落 则最多 可以切成几块 前 3 刀沿横 纵 竖三个方向切成 8 块应该没有问题 第 4 刀怎么切呢 要得到最多的块数 应该尽可能