高三数学高考第一轮复习——直线与圆锥曲线（理）人教实验A版 知识精讲

用心 爱心 专心 高三数学高考第一轮复习高三数学高考第一轮复习 直线与圆锥曲线 理 人教实验直线与圆锥曲线 理 人教实验 A 版版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 直线与圆锥曲线 二 重点 难点 1 曲线 0 yxF 2 直线 0 cbyax 0 0 cbyax yxF 0 2 CBxAx ACB4 2 1 无交点0 2 一个交点 相切0 3 两个交点 P Q0 1 21 2 xxkPQ 典型例题典型例题 例 1 A 4 1 过 A 作 交曲线 M 于 P Q A 恰为 PQ 中点 求 ll 1 1 1625 22 yx M 2 1 3 2 2 y xM 3 xyM4 2 解 解 1 设 11 yxP 22 yxQ 1 1625 1 1625 2 2 2 2 2 1 2 1 yx yx 16 25 21212121 yyyyxxxx 0 用心 爱心 专心 21 21 21 21 25 16 yy xx xx yy A 为 PQ 中点 8 21 xx2 21 yy 25 64 21 21 xx yy k 4 25 64 1 xyl 2 同理 4 121 xy 3 同理 4 21 xy 例 2 过曲线 M 的焦点 F 作直线 交曲线 M 于 A B 求的最小值 l AB 1 1 3 2 2 y xM 2 1 2 2 2 2 b y a x M 3 pxyM2 2 解 解 1 设 2 xkyl 1 3 2 2 2 y x xky 0 43 4 3 2222 kxkxk 3 1 6 1 2 2 21 2 k k xxkAB 交于两支 3 3 k03 2 k 6 3 24 3 66 22 2 kk k AB 时 0 k2 min AB 3 3 k 交于右支03 2 k 用心 爱心 专心 3 24 6 3 66 22 2 kk k AB 6 AB 2 xl6 AB 综上所述 2 min AB 2 同理 a b AB 2 min 2 3 同理 pAB2 min 例 3 1 椭圆 直线 若 M 上存在两个不同的点 关于1 34 22 yx Mmxyl 4 对称 求 m 的取值范围 l 2 双曲线 直线 若 M 上存在两个不同的点关于33 22 yxM4 kxyl 对称 求 k 的取值范围 l 解 解 1 设对称点 A B nxylAB 4 1 1 34 4 1 22 yx nxy 04816813 22 nnxx nnxnx yy nnxx 13 12 4 1 4 1 2 1 2 13 4 2 1 13 8 2 21 21 21 上中点在 存在 lBA BA nm n 13 4 0391264 2 13 132 13 132 m 2 设对称点 A B mkyxlAB 用心 爱心 专心 33 22 yx mkyx 0336 13 222 mmkyyk 132 13 3 2 2 21 2 21 k mxx k mkyy 上中点在l 0 k k m mk 13 013 2 22 0 13 14 22 kk 3 3 2 1 2 1 3 3 k 例 4 椭圆 M 中心在原点 焦点在 x 轴 直线交椭圆于 P Q 且1 xyl OP OQ 求椭圆方程 2 10 PQ 解 解 设椭圆 1 1 2 2 2 2 xy b y a x 0 1 2 222222 baxaxba 设 2211 yxQyxP 0 2 10 2 2 10 2121 21 yyxx xx OQOP PQ 0 4 5 4 2121 21 2 21 yyxx xxxx 0 1 1 16 5 1 22 22 22 22 2222222 ba ab ba ba bababa 用心 爱心 专心 2222 2222222 2 16 5 1 baba bababa 令 tba 222 4 16 5 12 ttt 3 4 t 3 4 3 8 22 22 ba ba 3 2 2 2 2 b a 1 3 2 2 22 yx 例 5 曲线P 在 M 上 A 1 2 B 3 8 求最小值 0 1 92 22 x yx M PAB S 与 AB 平行的曲线的切线 013 yxlAB03 yx 1829 03 22 yx yx 0 182 129 22 xx 0 182 36144 22 3 依图3 5 10 10 2 AB lld 切 102 AB 2102 5 10 2 1 min PAB S 例 6 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆 它的中心在原点 左焦点为xOy F 0 右顶点为 D 2 0 设点 A 3 2 1 1 用心 爱心 专心 1 求该椭圆的标准方程 2 若 P 是椭圆上的动点 求线段 PA 中点 M 的轨迹方程 3 过原点 O 的直线交椭圆于点 B C 求 ABC 面积的最大值 解析 解析 1 由已知得椭圆的半长轴 半焦距 则半短轴2 a3 c1 b 又 椭圆的焦点在 x 轴上 椭圆的标准方程为1 4 2 2 y x 2 设线段 PA 的中点为 M x y 点 P 的坐标是 00 y x 由 得 2 2 1 2 1 0 0 y y x x 2 1 2 12 0 0 yy xx 由点 P 在椭圆上 得 1 2 1 2 4 12 2 2 y x 线段 PA 中点 M 的轨迹方程是1 4 1 4 2 1 22 yx 3 当直线 BC 垂直于 x 轴时 BC 2 因此 ABC 的面积 S ABC 1 当直线 BC 不垂直于 x 轴时 该直线方程为 代入kxy 1 4 2 2 y x 解得 14 2 14 2 22 k k k B 14 2 14 2 22 k k k C 则 又因为点 A 到直线 BC 的距离 2 2 41 1 4 k k BC 2 1 2 1 k k d ABC 的面积 2 41 12 2 1 k k dABS ABC 用心 爱心 专心 于是 14 144 2 2 k kk S ABC 14 4 1 2 k k 由 得 其中 当时 等号成立1 14 4 2 k k 2 ABC S 2 1 k 的最大值是 ABC S 2 例 7 如图 双曲线的离心率为 F1 F2分别为左 右焦点 0 01 2 2 2 2 ba b y a x 2 5 M 为左准线与渐近线在第二象限内的交点 且 4 1 21 MFMF 1 求双曲线的方程 2 设 A m 0 和是 x 轴上的两点 过点 A 作斜率不为 0 的 10 0 1 m m B 直线 使得 交双曲线于 C D 两点 作直线 BC 交双曲线于另一点 E 证明直线 DE 垂ll 直于 x 轴 解析 解析 1 根据题设条件 设点 M x y 则 x y 满足 0 0 21 cFcF 因 解得 x a b y c a x 2 2 5 a c e 5 2 5 2ba M 故 5 2 5 2 5 2 5 2 21 b c ab c a MFMF 4 1 5 4 5 4 222 bca 利用 得 于是 222 cba 4 5 2 c 4 1 1 22 ba 用心 爱心 专心 因此 所求双曲线方程为14 22 yx 2 证明 证明 设点 C D E 则直线 的方程为 11 y x 22 y x 33 y xl 1 1 mx mx y y 于是两点坐标满足 2211 yxDyxC 214 1 22 1 1 yx mx mx y y 将代入得 024842 2 1 2 1 22 1 2 1 22 1 2 1 2 1 mmxxmyxmyxymmxx 由 点 C 在双曲线上 上面方程可化简为14 2 1 2 1 yx 02812 2 1 2 1 2 1 2 1 2 mmxxxmyxmxm 由已知 显然012 1 2 mxm 于是 因为 得 12 2 1 2 2 1 2 1 2 1 21 mxm xmmxx xx0 1 x 12 2 1 2 1 2 1 2 mxm xmmx x 同理 两点坐标满足 3311 yxEyxC 14 1 1 22 1 1 yx m x m x y y 可解得 2 1 11 2 1 2 1 2 1 3 21 2 1 1 2 1 11 2 mmx xmxm m x m x mm x x 所以 故直线 DE 垂直于 x 轴 32 xx 例 8 已知点 M 2 0 N 2 0 动点 P 满足条件 记动点 P22 PNPM 的轨迹为 W 1 求 W 的方程 2 若 A B 是 W 上的不同两点 O 是坐标原点 求的最小值 OBOA 解析 解法一 解析 解法一 1 由知 动点 P 的轨迹是以 M N 为焦点的22 PNPM 用心 爱心 专心 双曲线的右支 实半轴长 2 a 又半焦距 故虚半轴长2 c2 22 acb W 的方程为2 1 22 22 x yx 2 设 A B 的坐标分别为 2211 yxyx 当 AB x 轴时 从而 2121 yyxx 2 2 1 2 12121 yxyyxxOBOA 当 AB 与 x 轴不垂直时 设直线 AB 的方程为 与 W 的方法联立 消去 ymkxy 得 故 0221 222 mkmxxk 21 2 21 1 2 xx k km xx 1 2 2 2 k m 2121 yyxxOBOA mkxmkxxx 2121 2 2121 2 1mxxkmxxk 2 2 22 2 22 1 2 1 21 m k mk k mk 1 4 2 1 22 22 2 kk k 又 从而0 21 xx01 2 k2 OBOA 综上 当 AB x 轴时 取得最小值 2OBOA 解法二 解法二 1 同解法一 2 设 A B 的坐标分别为 2211 yxyx 则 2 12 22 iyxyxyx iiiiii 令 则 且 iiiiii yxtyxs 2 iit s 2 10 0 its ii 2121 yyxxOBOA 22112211 4 1 4 1 tstststs 2 2 1 2 1 21212121 ttssttss 当且仅当 即时 成立 2121 ttss 21 21 yy xx 的最小值是 2OBOA 用心 爱心 专心 例 9 无论 m 为何值 直线 与双曲线 C 恒有公共点 lmxy 01 2 2 22 b b yx 1 求 C 的离心率的取值范围 e 2 若直线 过 C 的右焦点 F 与双曲线交于 P Q 并且满足 求 C 的方lFQFP 5 1 程 解 解 1 1 2 2 22 b yx mxy 0222 22222 bmmxxxb 0242 2222 bmmxxb 时 m 0 方程组无解 不合题意02 2 b 恒成立 即恒成立02 2 b 02 224 mbb 22 2mb 2 2 b2 2 2 2 2 2 b a c a c e2 e 2 设 lcxy 1 2 2 22 b yx cxy 0222 222222 bcbcybyb 2 2 2 2 2 222 21 2 2 21 b bcb yy b cb yy FQFP 5 1 21 5 1 yy 5 2 29 2 2 5 2 2 6 222 2 42 2 222 2 1 2 2 1 bcb b bc b bcb y b cb y 又 2 22 bc97 22 cb1 72 22 yx 用心 爱心 专心 例 10 如图 F 1 0 点 M 在 x 轴上 若且向量与的交点FMFN FNFM MN 在 y 轴上 1 求 N 的轨迹 2 是否存在过点 1 0 的直线 交轨迹于 A B 且 并说明理由 l4 OBOA 解 解 1 设 N x y M a 0 与的交点为 P FNFM MNFMFN P 为中点 且 MNMNPF P yy ax 20 0 0 xM 2 0 y P1 PFPM kkxy4 2 2 设存在直线 满足条件l 令 1 xkyl 2211 yxOByxOA 042 4 1 2222 2 kxkxk xy xky 0442 4 2 2 kk10 2 k 1 00 1 k 1 24 21 2 2 21 xx k k xx 用心 爱心 专心 111 2121 2 2121 xxxxkxkxkyy 411 24 2 2 2 k k k 定值541 2121 yyxxOBOA 不存在 使 4lOBOA 例 11 如图 已知椭圆 过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆 521 1 22 m m y m x 及其准线的交点从左到右的顺序为 A B C D 设CDABmf 1 求的解析式 2 求的最值 mf mf 考查方向 本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式 并求其最值 体现了 圆锥曲线与代数间的科间综合 知识背景 直线与圆锥曲线的交点 韦达定理 根的判别式 利用单调性求函数的最 值 易错分析 易错分析 在第 1 问中 要注意验证当时 直线与椭圆恒有交点 52 m 技巧方法 第 1 问中 若注意到为一对相反数 则可迅速将化 DA xx CDAB 简 第 2 问 利用函数的单调性求最值是常用方法 解 解 1 设椭圆的半长轴 半短轴及半焦距依次为 则 cba 1 22 mbma 1 222 bac 椭圆的焦点为 0 1 0 1 21 FF 故直线的方程为 又椭圆的准线方程为 即1 xy c a x 2 mx 1 1 mmDmmA 用心 爱心 专心 考虑方程组 消去 y 得 1 1 1 22 m y m x xy 111 2 2 mmxmxm 整理得 02212 22 mmmxxm 2 22 1821244 mmmmmm 恒成立 52 m0 12 2 m m xx CB 又 A B C D 都在直线上 1 xy 22 ABAB xxxxAB 22 BABA ABxxxx 2 CD xxCD DACBCDAB xxxxxxxxCDAB 22 又 mxmx DA 0 DA xx 52 12 22 2 21 2 2 m m m m m xxCDAB CB 故 mf 2 2 21 m m 5 2 m 2 由 可知 mf 2 2 21 m m m mf 1 2 22 又 5 1 2 1 2 2 1 2 m 3 24 9 210 mf 故的最大值为 此时的最小值为 此时 m 5 mf 3 24 2mfm 9 210 模拟试题模拟试题 答题时间 80分钟 1 函数的图象与直线 y x 相切 则等于 1 2 axya A B C D 1 8 1 4 1 2 1 用心 爱心 专心 2 直线与椭圆的两个交点在 x 轴上的射影恰为椭圆的xy 2 2 01 2 2 2 2 ba b y a x 两个焦点 则椭圆的离心率 e 等于 A B C D 2 3 2 2 3 3 2 1 3 以椭圆内的点 M 1 1 为中点的弦所在的直线方程是 1 416 22 yx A B 034 yx034 yx C D 054 yx054 yx 4 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于 A B 两点 它们的横坐标之和xy4 2 等于 5 则这样的直线 A 有且仅有一条 B 有且仅有两条 C 有无穷多条 D 不存在 5 设直线关于原点对称的直线为 若与椭圆的交点022 yxl l l 1 4 2 2 y x 为 A B 两点 点 P 为椭圆上的动点 则使 PAB 的面积为的点 P 的个数为 2 1 A 1 B 2 C 3 D 4 6 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点 A B 则等3 2 xy0 yxAB 于 A 3 B 4 C D 2324 7 过 M 2 0 的直线 与椭圆交于 P1 P2两点 线段 P1P2的中点为l22 22 yx P 设直线 的斜率为 直线 OP 的斜率为 则的值等于 l 0 11 kk 2 k 21 kk A 2 B 2 C D 2 1 2 1 8 直线与椭圆相切 则的取值范围是 1 kxy1 4 22 a yx ka A B 2 1 2 1 1 0ka 2 1 2 1 1 0 ka C D 2 1 0 0 2 1 1 0ka 2 1 2 1 1 0 ka 用心 爱心 专心 9 斜率为 2 的直线过中心在原点 焦点在 x 轴上的双曲线的右焦点 与双曲线的两个交 点分别在左 右两支上 则双曲线的离心率的范围是 A B C D 2 e31 e51 e5 e 10 设 F1 F2分别是双曲线的左 右焦点 若双曲线上存在点 A 使1 2 2 2 2 b y a x F1AF2 90 且 则双曲线的离心率为 21 3 AFAF A B C D 2 5 2 10 2 15 5 11 如图 F1和 F2分别是双曲线的两个焦点 A 和 B 是以 O 0 01 2 2 2 2 ba b y a x 为圆心 以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点 且 F2AB 是等边三角形 则双 1 OF 曲线的离心率为 A B C D 35 2 5 31 12 已知双曲线的右焦点为 F 若过点 F 且倾斜角为 60 的直 0 01 2 2 2 2 ba b y a x 线与双曲线的右支有且只有一个交点 则此双曲线离心率的取值范围是 A B 1 2 C D 2 2 1 2 13 给定四条曲线 2 5 22 yx1 49 22 yx 1 4 2 2 y x 其中与直线仅有一个交点的曲线是 1 4 2 2 y x 05 yx A B C D 14 椭圆与直线交于 A B 两点 过原点与线段 AB 中点的直线1 22 byaxxy 1 用心 爱心 专心 的斜率为 则的值