高三数学重点知识解析：参数取值题型与分析素材

用心 爱心 专心 高三数学重点知识解析 参数取值题型与分析高三数学重点知识解析 参数取值题型与分析 参数取值问题的探讨 一 若在等式或不等式中出现两个变量 其中一个变量的范围已知 另一个变量的范围 为所求 且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边 则可将恒成立问 题转化成函数的最值问题求解 例 1 已知当 x R 时 不等式 a cos2x 5 4sinx 45 a 恒成立 求实数 a 的取值范 围 分析 在不等式中含有两个变量 a 及 x 其中 x 的范围已知 x R 另一变量 a 的范 围即为所求 故可考虑将 a 及 x 分离 解 原不等式即 4sinx cos2x3 即 45 a a 2 上式等价于 2 2 45 045 02 aa a a 或 045 02 a a 解得 5 4 a 8 说明 注意到题目中出现了 sinx 及 cos2x 而 cos2x 1 2sin2x 故若把 sinx 换元成 t 则 可把原不等式转化成关于 t 的二次函数类型 另解 a cos2x 5 4sinx 45 a 即 a 1 2sin2x0 t 1 1 恒成立 设 f t 2t2 4t 4 a 45 a 则二次函数的对称轴为 t 1 f x 在 1 1 内单调递减 只需 f 1 0 即 45 a a 2 下同 例 2 已知函数 f x 在定义域 1 上是减函数 问是否存在实数 k 使不等式 f k sinx f k2 sin2x 对一切实数 x 恒成立 并说明理由 分析 由单调性与定义域 原不等式等价于 k sinx k2 sin2x 1 对于任意 x R 恒成 立 这又等价于 用心 爱心 专心 2 2 1 sin 4 1 1 sin1 22 22 xkk xk 对于任意 x R 恒成立 不等式 1 对任意 x R 恒成立的充要条件是 k2 1 sin2x min 1 即 1 k 1 3 不等式 2 对任意 x R 恒成立的充要条件是 k2 k 4 1 sinx 2 1 2 max 4 9 即 k 1 或 k 2 4 由 3 4 求交集 得 k 1 故存在 k 1 适合题设条件 说明 抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号 例 3 设直线l过点 P 0 3 和椭圆 xy 22 94 1 顺次交于 A B 两点 试求 AP PB的 取值范围 分析 本题中 绝大多数同学不难得到 AP PB B A x x 但从此后却一筹莫展 问题的 根源在于对题目的整体把握不够 事实上 所谓求取值范围 不外乎两条路 其一是构 造所求变量关于某个 或某几个 参数的函数关系式 或方程 这只需利用对应的思 想实施 其二则是构造关于所求量的一个不等关系 思路 1 从第一条想法入手 AP PB B A x x 已经是一个关系式 但由于有两个变量 BA xx 同时这两个变量的范围不好控制 所以自然想到利用第 3 个变量 直线 AB 的斜率 k 问题就转化为如何将 BA xx 转化为关于 k 的表达式 到此为止 将直线方程 代入椭圆方程 消去 y 得出关于x的一元二次方程 其求根公式呼之欲出 所求量的取值范围 把直线 l 的方程 y kx 3 代入椭圆方程 消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 xA f k xB g k 得到所求量关于 k 的函数关系式 求根公式 AP PB xA xB 由判别式得出 k 的取值范围 用心 爱心 专心 解 1 当直线l垂直于 x 轴时 可求得 5 1 PB AP 当l与 x 轴不垂直时 设 2211 yxByxA 直线l的方程为 3 kxy 代入椭 圆方程 消去 y 得 0455449 22 kxxk 解之得 49 59627 2 2 2 1 k kk x 因为椭圆关于 y 轴对称 点 P 在 y 轴上 所以只需考虑 0 k 的情形 当 0 k 时 49 59627 2 2 1 k kk x 49 59627 2 2 2 k kk x 所以 2 1 x x PB AP 5929 5929 2 2 kk kk 5929 18 1 2 kk k 2 5 929 18 1 k 由 049180 54 22 kk 解得 9 5 2 k 所以 5 1 5 929 18 11 2 k 综上 5 1 1 PB AP 思路 2 如果想构造关于所求量的不等式 则应该考虑到 判别式往往是产生不等的根 源 由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围 于是问题转化为如何将所求量与 联系起来 一般来说 韦达定理总是充当这种问题的桥梁 但本题无法直接应用韦达定理 原因在于 2 1 x x PB AP 不是关于 21 x x 的对称关系式 原因找到后 解决问题的方法自然也 就有了 即我们可以构造关于 21 x x 的对称关系式 把直线 l 的方程 y kx 3 代入椭圆方程 消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 xA xB f k xA xB g k 构造所求量与 k 的关系 式 关于所求量的不等 式 韦达定理 AP PB xA xB 由判别式得出 k 的取值范围 用心 爱心 专心 解 2 设直线l的方程为 3 kxy 代入椭圆方程 消去 y 得 0455449 22 kxxk 则 49 45 49 54 2 21 2 21 k xx k k xx 令 2 1 x x 则 2045 324 2 1 2 2 k k 在 中 由判别式 0 可得 9 5 2 k 从而有 5 36 2045 324 4 2 2 k k 所以 5 36 2 1 4 解得 5 5 1 结合 10 得 1 5 1 综上 5 1 1 PB AP 说明 范围问题不等关系的建立途径多多 诸如判别式法 均值不等式法 变量的有界性 法 函数的性质法 数形结合法等等 本题也可从数形结合的角度入手 给出又一优美解 法 二 直接根据图像判断 若把等式或不等式进行合理的变形后 能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象 则可以通过画图直接判断得出结果 尤其对于选择题 填空题这种方法更显方便 快捷 例 4 已知长方形四个顶点 A 0 0 B 2 0 C 2 1 和 D 0 1 一质点从 AB 的中点 P 沿与 AB 夹角为 的方向射到 BC 上的点 P1 后 依次反射到 CD DA 和 AB 上的点 P2 P3 和 P4 入射角等于反射角 设 P4 的坐标为 x4 0 若 1 x4 2 则tan 的取 值范围是 用心 爱心 专心 A 1 3 1 B 3 2 3 1 C 2 1 5 2 D 3 2 5 2 分析 高中数学课程标准 提倡让学生自主探 索 动手实践 并主张在高中学课程设立 数学 探究 学习活动 本题可以尝试用特殊位置来解 不妨设 4 P 与 AB 的中点 P 重合 如图 1 所示 则 P1 P2 P3 分别是线段 BC CD DA 的中点 所以 1 tan 2 由于在四个选择支中只有 C 含 有 1 2 故选 C 当然 本题也可以利用对称的方法将 折线 问题转化成 直线 问题来直接求解 如 图 2 所示 说明 由本题可见 探索猜想在数学学习中的地位 这也是选择题的应有特点 x y o 1 2 y1 x 1 2 y2 logax x 图 1 ABP 1 P 2 P 3 P 4 P 2 P 3 P 3 P 4 P 4 P 4 P C D y xH 图 2 用心 爱心 专心 例 5 当 x 1 2 时 不等式 x 1 2 logax 恒成立 求 a 的取值范围 分析 若将不等号两边分别设成两个函数 则左边为二次函数 图象是抛物线 右边为 常见的对数函数的图象 故可以通过图象求解 解 设 y1 x 1 2 y2 logax 则 y1 的图象为右图所示的抛物线 要使对一切 x 1 2 y11 并且必须也只需当 x 2 时 y2 的函数值大于等于 y1 的函数值 故 loga2 1 a 1 10 则根据函数的 图象 直线 可得上述结论等价于 0 0 mf a 或 0 0 nf a 亦可合并定成 0 0 nf mf 同理 若在 m n 内恒有 f x 2p x 恒成立的 x 的取值范围 分析 在不等式中出现了两个字母 x 及 P 关键在于该把哪个字母看成是一个变量 另 一个作为常数 显然可将 p 视作自变量 则上述问题即可转化为在 2 2 内关 于 p 的一次函数大于 0 恒成立的问题 略解 不等式即 x 1 p x2 2x 1 0 设 f p x 1 p x2 2x 1 则 f p 在 2 2 上恒 大 于 0 故有 2 0 2 f f 即 01 034 2 2 x xx 解得 11 13 xx xx 或 或 x3 用心 爱心 专心 例 8 设 f x x2 2ax 2 当 x 1 时 都有 f x a 恒成立 求 a 的取值范围 分析 题目中要证明 f x a 恒成立 若把 a 移到等号的左边 则把原题转化成左边二 次函数在区间 1 时恒大于 0 的问题 解 设 F x f x a x2 2ax 2 a 当 4 a 1 a 2 0 时 即 2 a0 则原方程有解即方程 t2 4 a t 4 0 有正根 04 0 4 0 21 21 xx axx 即 4 016 4 2 a a 4 80 a aa或 解得 a 8 解法 2 利用根与系数的分布知识 即要求 t2 4 a t 0 有正根 设 f x t2 4 a t 4 10 0 即 4 a 2 16 0 a 0 或 a 8 a 0 时 f x t 2 2 0 得 t 20 符合题意 a 8 20 0 即 a0 时 f 0 4 0 故只需对称轴 0 2 4 a 即 a 4 a0 y 0 x y Z 计年利润为 s 那么 s 3x 6y 2 4x 4y 即 s 0 6x 2y 作出不等式表示的平面区域 问题转化为求直线 0 6x 2x s 0 截距的最大值 过点 A 作 0 6x 2y 0 的平行线即可求出 s 的最大值 用心 爱心 专心 联立 12005828 30 yx yx 得 A 18 12 将 x 18 y 12 代入 s 0 6x 2y 求得 Smax 34 8 设经过 n 年可收回投资 则 11 6 23 2 34 8 n 2 1200 可得 n 33 5 学校规模初中 18 个班级 高中 12 个班级 第一年初中招生 6 个班 300 人 高中招生 4 个 班 160 人 从第三年开始年利润 34 8 万元 大约经过 36 年可以收回全部投资 说明 本题的背景材料是投资办教育 拟定一份计划书 本题是计划书中的部分内容 要 求运用数形结合思想 解析几何知识和数据处理的综合能力 通过计算可知 投资教育主 要是社会效益 提高整个民族的素质 经济效益不明显 强化训练 1 南京市质量检测试题 若对n个向量 n aaa 21 存在n个不全为零的实数 n kkk 21 使得 0 2211 nna kakak 成立 则称向量 n aaa 21 为 线性相 关 依此规定 能说明 1 1 0 a 2 1 1 a 3 2 2 a 线性相关 的实数 321 kkk 依次可以取 写出一组数值即可 不必考虑所有情况 2 已知双曲线 1 22 22 xy C 直线l过点 0 2A 斜率为k 当 10 k 时 双曲 线的上支上有且仅有一点 B 到直线l的距离为 2 试求k的值及此时点 B 的坐标 3 设函数 f x 2x 1 2 x 1 x R 若当 0 2 时 f cos2 2msin f 2m 2 0 恒成立 求实数 m 的取值范围 4 已知关于 x 的方程 lg x 2 20 x lg 8x 6a 3 0 有唯一解 求实数 a 的取值范围 5 试就k的不同取值 讨论方程 22 2 6 6 2 kxk yk k 所表示的曲线形 状 并指出其焦点坐标 6 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能型洗衣机 由于这两种产品的市场需 求量非常大 有多少就能销售多少 因此该公司要根据实际情况 如资金 劳动力 确定产品的月供应量 以使得总利润达到最大 已知对这两种产品有直接限制的因素 是资金和劳动力 通过调查 得到关于这两种产品的有关数据如下表 单位产品所需资金 百元 资金 空调机洗衣机 月资金供应量 百元 成本 3020300 劳动力 工资 510110 单位利润 68 试问 怎样确定两种货物的月供应量 才能使总利润达到最大 最大利润是多少 用心 爱心 专心 7 某校伙食长期以面粉和大米为主食 而面食每 100 克含蛋白质 6 个单位 含淀粉 4 个 单 位 售价 0 5 元 米食每 100 克含蛋白质 3 个单位 含淀粉 7 个单位 售价 0 4 元 学 校要求给学生配制盒饭 每盒饭至少有 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉 问应如 何配制盒饭 才既科学又费用最少 8 发电厂主控室的表盘 高 m 米 表盘底边距地面 n 米 问值班人员坐在什么位 置上 看得最清楚 值班人员坐在椅子上眼睛距地面的高度一般为 1 2 米 9 某养鸡厂想筑一个面积为 144 平方米的长方形围栏 围栏一边靠墙 现有 50 米铁丝网 筑成这样的围栏最少要用多少米铁丝网 已有的墙最多利用多长 最少利用多长 参考答案 分析 本题将高等代数中n维向量空间的线形相关的定义 移植到平面向量中 定 义了n个平面向量线性相关 在解题过程中 首先应该依据定义 得到 112233 0k ak ak a 即 123 1 0 1 1 2 2 0kkk 于是 12323 2 2 0kkkkk 所以 123 23 20 20 kkk kk 即 13 23 4 2 kk kk 则 123 4 2 1kkk 所以 123 k k k 的值依次可取 4 2 cc c c是不等于零的任意实数 2 分析 1 解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科 因此 数形结合必然是研 究解析几何问题的重要手段 从 有且仅有 这个微观入手 对照草图 不难想到 过点 B 作与l平行的直线 必与双曲线 C 相切 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 0 由此出发 可设计如下解题思路 10 2 kxkyl kkkxyl22 2 2 的值解得k 解题过程略 分析 2 如果从代数推理的角度去思考 就应当把距离用代数式表达 即所谓 有且仅 有 一点 B 到直线l的距离为 2 相当于化归的方程有唯一解 据此设计出如下解题思路 把直线 l 的方程代入双曲线方程 消去 y 令判别式 0 直线 l 在 l 的上方且到直线 l 的距离为 2 转化为一元二次方程根的问题 求解 问题 关于 x 的方程 102 1 22 2 2 k k kxkx 有唯一解 用心 爱心 专心 解 设点 2 2 xxM 为双曲线 C 上支上任一点 则点 M 到直线l的距离为 2 1 22 2 2 k kxkx 10 k 于是 问题即可转化为如上关于x的方程 由于 10 k 所以 kxxx 2 2 从而有 2222 22 kxkxkxkx 于是关于x的方程 1 222 22 kkxkx 02 1 2 2 1 2 2 2 22 2 2 kxkk kxkkx 0 2 1 2 022 1 22 1 221 2 2 2222 kxkk kkxkkkxk 由 10 k 可知 方程 022 1 22 1 221 2 2222 kkxkkkxk 的二根同正 故 02 1 2 2 kxkk 恒成立 于是 等价于 022 1 22 1 221 2 2222 kkxkkkxk 由如上关于x的方程有唯一解 得其判别式 0 就可解得 5 52 k 说明 上述解法紧扣解题目标 不断进行问题转换 充分体现了全局观念与整体思维的 优越性 3 分析与解 从不等式分析入手 易知首先需要判断 f x 的奇偶性和单调性 不难证 明 在 R 上 f x 是奇函数和增函数 由此解出 cos2 2msin sin 0 t 0 1 恒成立时 求实数 m 的取值范围 接下来 设 g t t2 2mt 2m 1 按对称轴 t m 与区间 0 1 的位置关系 分类使 g t min 0 综合求得 m 1 2 用心 爱心 专心 本题也可以用函数思想处理 将 化为 2m 1 t t2 1 t 0 1 当 t 1 时 m R 当 0 th t 2 1 t t 1 2 由函数 F u u u 2 在 1 1 上是减函数 易知当 t 0 时 h x max 1 m 1 2 综合 1 2 知 m 2 1 说明 本题涉及函数的奇偶性 单调性 二次函数的条件极值 不等式等知识 以及用函 数的思想 数形结合 分类讨论 转化和化归的思想方法解题 是综合性较强的一道好题 4 分析 方程可转化成 lg x2 20 x lg 8x 6a 3 从而 得 x2 20 x 8x 6a 3 0 注意到若将等号两边看成是二次函 数 y x2 20 x 及一次函数 y 8x 6a 3 则只需考虑这两个 函数的图象在 x 轴上方恒有唯一交点即可 解 令 y1 x2 20 x x 10 2 100 y2 8x 6a 3 则如图 所示 y1 的图象为一个定抛物线 y2 的图象是一条斜率为 定值 8 而截距不定的直线 要使 y1 和 y2 在 x 轴上有唯 一交点 则直线必须位于 l1 和 l2 之间 包括 l1 但不包 括 l2 当直线为 l1 时 直线过点 20 0 此时纵截距为 6a 3 160 a 6 163 当直线为 l2 时 直线过点 0 0 纵截距为 6a 3 0 a 2 1 a 的范围为 6 163 2 1 5 解 1 当 2k 时 方程化为 0y 表示x轴 2 当 6k 时 方程化为 0 x 表示 y 轴 3 当 2 6k 时 方程为标准形式 22 1 62 xy kk 当6 24kkk 时 方程化为 22 2xy 表示以原点为圆心 2为半 径 的圆 当 2k 时 方程 表示焦点在x轴上的双曲线 焦点为 82 0 k x y l1 l2 l 20o 用心 爱心 专心 当2 4k 时 方程 表示焦点在x轴上的椭圆 焦点为 82 0 k 当4 6k 时 方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆 焦点为 0 28 k 当 6k 时 方程 表示焦点在 y 轴上的双曲线 焦点为 0 28 k 6 解 设空调机 洗衣机的月供应量分别是 x y 台 总利润是 P 则 P 6x 8y 由题意 30 x 20y 300 5x 10y 110 x 0 y 0 x y 均为整数 画图知直线 y 3 4x 1 8P 过 M 4 9 时 纵截距最大 这时 P