正余弦信号的谱分析课程设计

1 目录目录 目录 1 摘要 1 一 DFT 的简介 2 1 1 概述 2 1 2 DFT 的定义 3 1 3 谱分析的原理 3 二 用 DFT 对连续信号进行谱分析 4 三 用 DFT 进行谱分析的误差问题 5 1 混叠现象 5 2 栅栏效应 5 3 截断效应 5 四 设计实现 6 1 设计内容 6 2 用 Matlab 软件实现 6 五 结果分析 11 六 结束语 12 七 致谢 12 2 摘要摘要 数字信号处理方法的一个重要用途是在离散时间域中确定一个连续时间信 号的频谱 通常称为频谱分析 更具体的说它也包括能量谱或功率谱 所谓信 号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换 而 DFT 的实质是有限长序列傅里叶变 换的有限点离散采样 从而实现了频域离散化 使数字信号处理可以在频域采 样数值运算的方法进行 这样就大大提高了数字信号处理的灵活性 从而使信 号的实时处理和设备的简化得以实现 利用 Matlab 软件对正余弦信号进行设计 程序分析并画出频谱图 所以说 DFT 不仅在理论上有重要意义 而且在各种信 号的处理中亦起着核心的作用 数字频谱分析可以应用在很广的领域 关键字 关键字 MatlabMatlab 频谱分析频谱分析 DFTDFT 3 一 一 DFTDFT 的简介的简介 1 11 1 概述概述 频谱是为了是信号从时域转到频域而对信号进行分析的方法 可分为幅值 谱 相位谱 实频谱 虚频谱 功率谱等 他们从不同方面描述了信号的特征 从而表示出信号的频谱信息 幅值谱和功率谱反应信号各频率的能量 相位谱 可以反映信号各频率分量的初始相位 实频谱和虚频谱在工程中的应用相对比 较少 而功率谱和幅值谱则比较广泛 通常在对正余弦信号进行谱分析时主要 是用 Matlab 对其进行分析 从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现 而 DFT 是一种时域和频域均离散化的变换 适合数值运算 成为计算机分析离散 信号和系统的有力工具 1 21 2 DFTDFT 的定义的定义 设 x n 是一个长度为 M 的有限长序列 则定义 x n 的 N 点离散傅里叶变换 为 X k DFT x n k 0 1 N 1 1 kn N N on Wnx 1 X k 的离散离散傅里叶逆变换为 x n IDFT X k n 0 1 N 1 2 N 1 kn N N on WkX 1 式中 N 称为 DFT 变换区间长度 NM 通常称 1 式和 2 式为离散 傅里叶变换对 常用和分别表示 N 点离散傅里叶变换和 N nxDFT n kXIDFT N 点离散傅里叶逆变换 4 1 31 3 谱分析的原理谱分析的原理 数字信号处理方法的一个重要用途是在离散时间域中确定一个连续时间信号 的频谱 通常称为频谱分析 更具体的说它也包括能量谱或功率谱 数字频谱 分析可以应用在很广泛的领域 频谱分析方法是基于以下的观测 如果连续时 间信号 t 是带限的 那么他的离散时间等效信号 n 的 DFT 进行谱分 ga g 析 然而 在大多数情况下 t 是在范围内定义的 因而 ga t n 也就定义在的无限范围内 要估计一个无限长信号的频谱是g n 不可能的 实用的方法是 先用模拟连续信号 t 通过一个抗混叠的模拟 ga 滤波器 然后把它采样成一个离散序列 n 假定反混叠滤波器的设计是正g 确的 则混叠效应可以忽略 又假设 A D 变换器的字长足够长 则 A D 变换的 量化噪声也可忽略 假定表征正余弦信号的基本参数 如振幅频率和相位不随时间变化 则此 信号的傅里叶变换 G 可以用计算它的 DTFT 得到 e jw G e jw e jwn n ng 实际上无限长序列 n 首先乘以一个长度为 M 的窗函数 W n 使g 它变成一个长为 M 的有限长序列 G n n W n 对 G n 求出的g DTFTG e jw 应该可以作为原连续模拟信号 t 的频谱估计 然后求出 G 在 ga e jw 区间等分为 N 点的离散傅里叶变换 为保证足够的分辨率 DFT 的长度 20 w N 选的比窗长度 M 大 其方法是截断了序列后面补上 N M 个零 二 二 用用 DFTDFT 对连续信号进行谱分析对连续信号进行谱分析 工程实际中 经常遇到连续信号 t 其频谱函数也是连续信 xa J Xa 5 号 为了利用 DFT 对 t 进行频谱分析 先对 t 进行时域采样 得到 xaxa x n 在对 x n 进行 DFT 得到的 X k 则是 x n 的傅里叶变换 nT xa X 在频域区间 0 2 上的 N 点等间隔采样 这里 x n 和 X k 均为有 e jw 限长序列 实际上对频谱很宽的信号 为防止时域采样后产生频谱混叠失真 可用预滤波器滤除幅度较小的高频成分 是连续信号的带宽小于折叠频率 对 于持续时间很长的信号 采样点数太多 以致无法存储和计算 只好截取有限 点进行 DFT 即 x n n W n 最后进行频域采样 将进 n xN g n xN 行 DFT 得到 DFT 将作为对 t 的谱分析结果 由此可 k xN n xN k xNxa 知 用 DFT 对连续信号进行谱分析必然是近似的 其近似度与信号带宽采样频 率和截取长度有关 三 三 用用 DFTDFT 进行谱分析的误差问题进行谱分析的误差问题 DFT 可以用来对连续信号和数字信号进行谱分析 但在实际分析过程中 要对连续信号采样和截断 有时非时限数据序列也要截断 因此可能引起分析 的误差 1 1 混叠现象混叠现象 对连续信号进行谱分析时 首先要对其采样 变成时域离散信号后才能用 DFT 进行谱分析 采样速率必须满足采样定理 否则会在 w 附近发生频 f s 谱混叠现象 这是用 DFT 分析结果必然在附近产生较大误差 因此 f 2 Fs 理论上必须满足 对确定的情况 一般在采样前进行预滤波 滤除高 f F c s 2 FS 于折叠频率的频率成分 以免发生频谱混叠现象 2 Fs 2 2 栅栏效应栅栏效应 N 点 DFT 是在频率区间 0 2 上对时域离散信号的频谱进行 N 点等间 6 隔采样 而采样点之间的频谱是看不到的 这就好像从 N 个栅栏缝隙中观看信 号的频谱情况 仅得到 N 个缝隙中看到的频谱函数值 这就是栅栏效应 由于 栅栏效应可能漏掉大的频谱分量 故对于有限长序列 可以在原序列尾部补零 对于无限长序列 可以增大截取长度及 DFT 变换区间长度 从而使频域采样间 隔变小 增大频域采样点数和采样点位置 使原来漏掉的某些频谱分量被检测 出来 3 3 截断效应截断效应 实际中遇到的序列 x n 可能是无限长的 用 DFT 对其进行谱分析师必须将其 截断 形成有限长序列 y n x n w n 长度为 N w n 称为矩形窗 n RN 函数 截断后对谱分析的影响主要表现在以下两点 1 泄露 原来序列 x n 的频谱是离散谱线 经截断后 是原来的离散谱 线向附近展宽 通常称这种展宽为泄露 泄露可以是频谱变模糊 使谱分辨率 降低 2 普间干扰 在主谱线两边形成很多旁瓣 引起不同频率分量间的干扰 特别是强信号谱的旁瓣可能湮没弱信号的主谱线 或者把强信号谱的旁瓣误认 为是另一频率的信号的谱线 从而造成假信号 这样就会使谱分析产生较大偏 差 截断效应就是有以上两种影响对信号截断引起的 四 设计实现四 设计实现 1 1 设计内容设计内容 1 对一个频率为 10Hz 采样频率为 64Hz 的 32 点余弦序列进行谱分析 画 出其频谱图 若将频率改为 11Hz 其他参数不变 重新画出该序列的频谱图 观察频谱泄漏现象 分析原因 2 考察 DFT 的长度对双频率信号频谱分析的影响 设待分析的信号为 150 2sin 2sin 5 0 21 nnfnfnx 7 令两个长度为 16 的正余弦序列的数字频率为及 取 N 为四22 0 1 f34 0 2 f 个不同值 16 32 64 128 画出四个 DFT 幅频图 分析 DFT 长度对频谱分辨 率的影响 3 在上题中若把两个正弦波的频率取得较近 令 试22 0 1 f25 0 2 f 问怎样选择 FFT 参数才能在频谱分析中分辨出这两个分量 2 2 用用 MatlabMatlab 软件实现软件实现 1 当频率为 10Hz 时 F input 输入信号频率 t 0 0 001 0 2 x1 cos 2 pi F t subplot 3 1 1 plot t x1 title x1连续余弦信号 n 0 31 x2 cos 2 pi F n 1 64 subplot 3 1 2 stem n x2 xlabel n ylabel x1 n title x2采样 后的余弦信号 k 0 31 X abs fft x2 32 subplot 3 1 3 stem k X xlabel k ylabel X k string num2str 32 点FFT幅频曲线 title strin 8 当频率为 11Hz 时 F input 输入信号频率 t 0 0 001 0 2 x1 cos 2 pi F t subplot 3 1 1 plot t x1 title x1连续余弦信号 n 0 31 x2 cos 2 pi F n 1 64 subplot 3 1 2 stem n x2 xlabel n ylabel x1 n title x2采样 后的余弦信号 k 0 31 X abs fft x2 32 subplot 3 1 3 stem k X xlabel k ylabel X k string num2str 32 点 FFT 幅频曲线 title strin 9 2 当两个长度为 16 的正余弦序列的数字频率为及时22 0 1 f34 0 2 f N1 16 N2 32 N3 64 N4 128 n 1 N 1 figure 1 f1 0 22 f2 0 34 x 0 5 sin 2 pi f1 n sin 2 pi f2 n subplot 4 2 1 stem n x xlabel n ylabel x1 n title 余弦系列 X abs fft x N1 subplot 4 2 2 k 0 N1 1 stem k X xlabel k ylabel X k string num2str N1 点DFT幅频曲线 title string X1 abs fft x N1 subplot 4 2 3 stem n x xlabel n ylabel x2 n title 余弦系 列 X abs fft x N2 subplot 4 2 4 k 0 N2 1 stem k X xlabel k ylabel X k string num2str N2 点DFT幅频曲线 title string X2 abs fft x N2 subplot 4 2 5 stem n x xlabel n ylabel x3 n title 余弦系列 X abs fft x N2 subplot 4 2 6 k 0 N2 1 stem k X 10 xlabel k ylabel X k string num2str N3 点DFT幅频曲线 title string X3 abs fft x N3 subplot 4 2 7 stem n x xlabel n ylabel x4 n title 余弦系 列 X abs fft x N2 subplot 4 2 8 k 0 N2 1 stem k X xlabel k ylabel X k string num2str N4 点DFT幅频曲线 title string X4 abs fft x N4 3 当两个长度为 16 的正余弦序列的数字频率为及时22 0 1 f25 0 2 f N1 16 N2 32 N3 64 N4 128 n 1 N 1 figure 1 f1 0 22 f2 0 25 x 0 5 sin 2 pi f1 n sin 2 pi f2 n subplot 4 2 1 stem n x xlabel n ylabel x1 n title 余弦系列 X abs fft x N1 subplot 4 2 2 k 0 N1 1 stem k X xlabel k ylabel X k 11 string num2str N1 点DFT幅频曲线 title string X1 abs fft x N1 subplot 4 2 3 stem n x xlabel n ylabel x2 n title 余弦系 列 X abs fft x N2 subplot 4 2 4 k 0 N2 1 stem k X xlabel k ylabel X k string num2str N2 点DFT幅频曲线 title string X2 abs fft x N2 subplot 4 2 5 stem n x xlabel n ylabel x3 n title 余弦系 列 X abs fft x N2 subplot 4 2 6 k 0 N2 1 stem k X xlabel k ylabel X k string num2str N3 点DFT幅频曲线 title string X3 abs fft x N3 subplot 4 2 7 stem n x xlabel n ylabel x4 n title 余弦系 列 X abs fft x N2 subplot 4 2 8 k 0 N2 1 stem k X xlabel k ylabel X k string num2str N4 点DFT幅频曲线 title string X4 abs fft x N4 12 五 结果分析五 结果分析 1 当频率为 10Hz 时 它的 DFT 只有两个不等于零 这样 DFT 确实正确的 分辨了余弦信号的频率 但这样理想的结果只是恰好得到的 当把频 率改成 11Hz 时 其他的都不变 用同样的程序计算此预先信号的频谱 可以得到频谱上有两个较大的峰值 其他点上的幅度也不再为零 由 此可知 信号的频谱峰值确实位于两者之间 本来是单一的 11Hz 频率 的能量会分布到许多 DFT 频率上的现象称为频率泄露 2 当两个长度为 16 的正余弦序列的数字频率为及时可22 0 1 f34 0 2 f 知 当频率不变时 要提高频谱分辨率可以增加采样点数 N 如果保持 采样点数 N 不变时 要提高频率分辨率 就必须降低采样频率 而且 随着采样点数 N 的增大 频谱分辨率可提高 3 当两个长度为 16 的正余弦序列的数字频率为及时22 0 1 f25 0 2 f 由图可知 当采样点数 N 为 32 时最接近 33 此时分辨率最好 因而 要增大频谱分辨率不仅与其窗函数的宽度 N 有关还与两频率差有关 13 随着 N 的增大 其频谱的分辨率增大 但当 N 增大到一定程度时它的 频谱分辨率反而下降 六 六 结束语结束语 通过此次课程设计我在老师的热心帮助下完成了正余弦信号的谱分析实验 使我对数字信号处理这门课的理解得到了进一步的加深 在以往学习中 我学 到的都是一些理论知识对 Matlab 软件的具体使用知识会一些表面上的没有很具 体的