高三数学解题方法谈：“焦点”访谈

用心 爱心 专心 焦点焦点 访谈访谈 焦点是确定圆锥曲线位置和形状的重要元素 与圆锥曲线的焦点相关的问题 考查力 度不断增大 越来越多的焦点问题使其真正成为高考的 焦点 记者 围绕 焦点 问 题作了如下访谈 话题一 焦点与定义 回归定义是解答圆锥曲线问题的最基本的方法 特别是涉及求焦半径 圆锥曲线上的点到 焦点的距离 的和或差 利用定义略加转化 大多能迎刃而解 例 1 已知 4 0 A 31 B P为双曲线 22 1 97 xy 左支上任一点 求PAPB 的最 小值 解 4 0 A 是双曲线 22 1 97 xy 的右焦点 4 0 F 为左焦点 由已知得 6PAPF 则665 26PAPBPFPBBF PAPB 的 最小值为5 26 编导提示 2004 年福建卷文科第 12 题正是以实际生活为背景的圆锥曲线定义的应用 2006 年四川卷第 15 题将椭圆上动点到左焦点的距离加上到右焦点的距离 利用定义和对 称性迅速求解 2003 年上海春季高考理科第 12 题也特别典型 话题二 焦点与准线 准线也是圆锥曲线的重要元素 圆锥曲线上的任意一点到焦点距离与到相应准线的距离之 比都等于曲线的离心率 圆锥曲线的第二定义 把焦半径利用离心率的倒数转化为到准线 的距离 达到化曲 折 为直求最值的目的 已成为常考模式 例 2 已知定点 23 A F是椭圆 22 1 1612 xy 的右焦点 点M在椭圆上移动 求 2AMMF 的最小值及此时M点的坐标 解 由椭圆方程得其右准线 8l x 离心率 1 2 e 设M到l的距离为MH 则 1 2 MF MH 即2MHMF 于是210AMMFAMMHAH 当且仅当AMH 三点共线时取等号 设 00 M xy 则 0 3y 用心 爱心 专心 代入椭圆方程 得 0 2 3x 舍去负值 故M点的坐标为 2 33 编导提示 这道全国高中数学联赛试题是椭圆中焦点与准线转化的典型题 2004 年福建卷 理科第 12 题 见所附 互动训练 第 2 题 则是双曲线中这种思想的代表 抓住离心率的 倒数是使问题获解的关键 话题三 焦点与圆 圆锥曲线与圆都是高考中二次曲线考查的重点 它们的综合体现在构造与焦点有关的辅助 圆上 例 3 椭圆 22 1 94 xy 的焦点为 1 F 2 F P为其上的点 当 12 FPF 为钝角时 点P的 横坐标的取值范围是 解析 以 12 FF为直径的圆为 22 5xy 与椭圆方程联立消去y 解得 3 5 5 x 此时 12 FPF 如图 1 当 12 FPF 为钝角时 点P须位于椭圆的劣弧 A 12 p p或 A 12 p p 上 此时它的横坐 标的取值范围是 3 53 5 55 x 编导提示 本题是 2000 年全国卷第 14 题 不直接求 12 FPF 为钝角应具备的条件 先退 到 12 FPF 为直角 处理反而简单 解答客观题需要这种灵活 2005 年浙江卷文科第 19 题 理科第 17 题 见所附 互动训练 第 3 题 均是焦点与圆交汇的范例 两道试题都需要 了解平面几何中切割线定理 关于焦点的话题还有很多 咱不能光说不练 还是适时笔谈 互动训练 吧 互动训练 1 给出问题 12 FF 是双曲线 22 1 1620 xy 的焦点 P在双曲线上 若P到 1 F的距 离为 9 求P到 2 F的距离 某学生的解答 双曲线的实轴长为 8 由 12 8PFPF 得 2 1PF 或17 该生的解答是否正确 若正确 请将他的解题 依据填在下面横线上 若不正确 将正确结果填在下面横线 上 2 如图 2 B地在A地的正东方向4km处 C地在B地的北 用心 爱心 专心 偏东 30 方向 2km 处 河流的沿岸PQ 曲线 上任意一点到A的距离比到B的距离远 2km 现要在曲线PQ上选一处M建一座码头 向BC 两地转运货物 经测算 从M到 B 从M到C修建公路的费用分别是a万元 km 2a万元 km 那么修建这两条公路的总 费用最低是 A 2 72 a 万元 B 5a万元 C 2 71 a 万元 D 2 33 a 万元 3 如图 3 已知椭圆的中心在坐标原点 焦点 1 F 2 F在x轴 长轴 12 A A的长为 4 左准线l与x轴的交点为M 111 2 1MAAF 1 求椭圆的方程 2 文 P为l上的动点 求 12 FPF 最大值 理 若直线 1 1 lxm m P为 1 l上