同角三角函数基本关系教学设计

1 同角三角函数的教学设计 华南师范大学附属中学南海实验高级中学 蓝美健 教学目标 一 知识目标 1 已知某角的正弦 余弦 正切中的一个 根据同角关系式 求其余两个三角函数值 2 利用同角三角函数关系化简三角函数式 3 利用同角三角函数关系证明三角恒等式 二 能力目标 1 通过同角三角函数的基本关系的推导 培养学生的探究研 究能力 2 运用同角三角函数关系 求解三角函数值 培养学生的运 算能力和逻辑推理能力 3 熟练运用同角三角函数关系巧化和证明三角恒等式 培养 学生的化归思想 三 德育目标 通过求解 化简与证明 使学生提高三角恒等变形的能力 树 立化归的思想方法 认识事物之间的普遍联系规律 培养辩证唯物 主义观 教学重点 求解各三角函数值 三角函数式的化简 三角恒等式的 证明 教学难点 求解各三角函数值时 正负符号的选取 三角函数式的 巧化 三角恒等式的证明 2 教学方法 问题法 学生自主探索完成 这节课的主要任务是引导学生根据三角函数的定义探索出同角 三角函数的两个基本关系式 并进行初1cossin 22 xxx x x tan cos sin 步的应用 由于该节内容比较容易 所以 同角三角函数的基本关系式 的探索以及习题的解决 甚至是一题多解都可以放手让学生独立探 究完成 即由学生自己把要学的知识发掘出来 并用以解决新的问题 必要时 教师可以强调以下几点 1 同角 是前提 2 关系式的适用条 件 3 化简题的常用方法 4 怎样优化解题过程 教学设计 一 问题情境 教师出示问题 上一节内容 我们学习了任意角 的三个三角函 数及正弦线 余弦线和正切线 你知道它们之间有什么联系吗 你 能得出它们之间的直接关系吗 二 建立模型 1 引导学生写出任意角 的六个三角函数 并探索它们之间的关 系 在角 的终边上任取一点 P x y 它与原点的 距离是 r r 0 如 图 1 则角 的三个三角 函数值是 x y r x r y tan cos sin 2 推导同角三角函数关系式 引导学生通过观察 分析探究 由勾股定理知 即 222 ryx 3 1cossin 2 2 2 22 22 r r r yx x y r x r y cos sin tan 从而获取下述基本关系 1 平方关系 2 商数关系 1cossin 22 x y tan 3 探究同角三角函数关系式的适用条件 问题 1 成立吗 1cossin 22 问题 2 在商数关系中 是任意角吗 为什么 x y tan 引导学生在模型中找反例 学生很容易举出 例如 00 30 45 则 问题 1 不成立 在问题 2 中 x1 4 5 2 3 2 2 cossin 2222 不能为 0 则模型中 p 点不能在 y 轴上 故 zkk 2 自然界的万物都有着千丝万缕的联系 只要有一颗善于发现的心 也许每天都会有新的发现 刚才我们发现了同角三角函数的基本关 系式 那么这些关系式能用于解决哪些问题呢 三 同角三角函数的运用 同角三角函数的依据就那么两条公式 但公式的运用就非常丰 富多彩 所以 我们要通过做一道题就会做同一类型的题 学会对 问题的反思 通过改变题目的条件 培养学生的数学思维能力 可 以使学生充分发挥自己的潜能 创造性地解决新情境下的问题 使 学生在实际情境中获取和构造数学 而不是机械地去复述数学 4 例 1 已知 且是第二象限角 求角 的余弦值和正 2 1 sin 切值 解 由求得 则 又是第 1cossin 22 4 3 cos2 2 3 cos 二象限角 所以 2 3 cos 3 3 cos sin tan 有部分学生在 则 中很容易直接开方 4 3 cos2 2 3 cos 忽略了负数的情况 在求值过程中 若能避免直接开方的应尽量避免 这问题是基本关系的简单运用 可让学生独立去完成并在黑板板书 以便规范解题步骤 更重要的是要引导学生题后反思 反思 1 若没有条件 是第二象限角 怎么做 这时候就要 对分第一 二象限讨论了 反思 2 已知 求角 的正弦值和余弦值 这时候 问 2tan 题就没那么好解了 由得 代入 得 5 cos sin tan cos2sin 1cossin 22 若是第一象限角时 1cos2 5 5 cos 5 5 cos 若是第三象限角时 5 52 sin 5 5 cos 5 52 sin 由平方关系求值时 要涉及开方运算 自然存在符号的选取问题 如果题目没有具体指明 是第几象限角 一定要对 可能所处的象 限 分类讨论 例 2 已知 求 2tan cossin cossin 有了对上述反思 2 的认识后 学生逐渐对题目 已知 2tan 5 产生了条件反射 学生不难得出以下两种解法 解法 1 已知 得2tan cos sin tan xxcos2sin 则 3 cossin cossin coscos2 coscos2 解法 2 已知 当为第一象限2tan 角时 如图 2 由三角形可得 5 5 cos 5 52 sin 同理当为第三象限角时 cossin cossin 3 5 5 5 52 5 5 5 52 3 cossin cossin 引导学生思考 出了这两种解法还有更简便的解法吗 关于 与的一次式之值的问题 能不能化成来解答 sin cos tan 解法三 cossin cossin 3 1tan 1tan cos cossin cos cossin 问题提供的仅仅是一种情景 可以引导学生从不同角度去理解 和思考 若问题改成如下 反思 1 反思 2 22 2 cossin sin1 反思 3 1 cossin2sin 2 cossin2sin 2 这时候 化归思想就显得特别重要 反思 1 中 学生首先想 到的是如何把式子化成与有关 分子分母同除 那分式的 tan cos 1 怎么办 联想到刚学过的 他们得出 1cossin 22 6 22 2 cossin sin1 2 22 2 222 cos cossin cos sin cos sin 3 1tan 1tan2 2 2 反思 2 中 学生第一反应是 怎么样子和前几道小题的不对 分母怎么凑出来 分母是什么 学生又马上想到把 1 化成 22 cossin cossin2sin 2 2 22 2 2 22 2 cos cossin cos cossin2sin cossin cossin2sin 反思 3 中 学生条件反射 又会把 1 化成 5 8 1tan tan2tan 2 2 然后根据反思 2 的做法解答 但实际上 这个 22 cossin 1 并不需要化归 1 这时候 我们又得到反思 4 cossin2sin 2 5 13 1 5 8 2010 解法如反思 3 cossin2sin 2 对于这种关于和的一次或两次 齐次 式的问题 要 sin cos 注意以下几点 1 一定是关于和的齐次式 或能化成齐 sin cos 次式的三角函数 2 解决此类问题的策略是利用 可用0cos 去除原式分子 分母的各项 将原式先化成的 n cos Nn tan 表达式 再整体带入求值 例 3 求证 cos sin1 sin1 cos 证法 1 左边 右边 证毕 cos sin1 sin1 cos sin1 sin1 cos cos 22 对于三角恒等式的证明题 要细心观察等式两边的差异 灵活 7 运用学过的知识 使证明简便 引导学生寻找更多的证明方法 例 如从右边能证到左边吗 证法 2 右边 左边 证毕 sin1 cos sin1 cos cos sin1 cos sin1 sin1 cos sin1 sin1 22 证明题除了从左边证明到右边 或从右边证明到左边外 还有 其他的证明方法吗 观察证明题的两边 十字相乘法后 式子旨在 证 但这是个恒等式 于是我们发现另一种 sin1 sin1 cos2 证明方法 证法 3 1cossin 22 sin1 sin1 sin1cos 22 证毕 cos sin1 sin1 cos 四 作业布置 1 已知 求 3 1 2 sin tan2sin 2 已知 求 1 tan2 tan1 2