高一数学指数函数人教版知识精讲

用心 爱心 专心 高一数学高一数学指数函数指数函数人教版人教版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 指数函数 二 重点 难点 指数函数在底数和两种情况的图象和性质如下表所示 x ay 1 a10 a 1 a10 a 图象 y 1 0 1 x y a 1 y ax O y 1 0 1 O 0 a 1 y ax y x 1 定义域 R 2 值域 0 3 过点 0 1 即时 0 x1 y 4 时 0 x1 y 时 0 x10 y 4 时 0 x10 y 时 0 x1 y 性质 5 在 R 上是增函数在 R 上是减函数 本节重点是指数函数的图象和性质 典型例题典型例题 例 1 试比较 三者之间的大小关系 8 0 8 0 a 8 09 0 2 1 8 0 cb 解 解 由于指数函数在 R 上是减函数 则由 故 x y8 0 9 08 0 9 08 0 8 08 0 在中 当时 由 故 x y8 0 8 0 x08 0 18 0 8 0 在中 当时 由 故 x y2 1 8 0 x08 0 12 1 8 0 因此 综上所述 有 8 08 0 2 118 0 8 08 09 0 2 18 08 0 例 2 设 试确定的大小关系 10 a1 nm aanm nmaa 解 解 由 故指数函数为减函数 又由 故 10 a x ay 1 nm1 nm aa 由 则指数函数为增函数 又 故 同理 1 n x ny 10 a1 a n1 a m 又由 故 1 a a a n m n m aa nm 所以 mnaa aanm 1 例 3 已知 试判定的奇偶性 1 0 1 1 aa a ax xf x x xf 解 解 显然定义域为 R xf 当时 0 x0 0 fxfxf 当时 此时0 x0 xf 用心 爱心 专心 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x ax a a ax a ax a ax xf xf 1 1 1 1 1 1 1 1 1 xxx xxx xx xx aaa aaa aa aa 即 xfxf 所以 对任意为偶函数 xfxfxfRx 例 4 91 全国高考文科 设 解关于 x 不等式0 a1 a 224 1 2axx a a 解 解 原不等式 224 2axx aa 1 当时 上式10 a02 224 axx 222 1111axa 或 2222 111111 11axaaxa 22 1111axa 2 当时 原不等式1 a022 224224 axxaxx 由 故此式对任意均成立 所以解集0 1 444 22 aaRx x 综上 原不等式解集为 当时 10 a 当时 11 11 11 11 2222 aaaax 1 a x 例 5 已知函数 其中 是 R 上的增函数 求 a 的 2 2 xx aa a a xf 1 0 aa 取值范围 解 解 设 且 则Rxx 21 21 xx 2 2 1122 22 12 xxxx aa a a aa a a xfxf 2 2 2112 2 xxxx aaaa a 1 2 2 12 21 12 2 xx xx xx aa aa aa a 1 1 2 2 21 12 2xx xx aa aa a 由 且为增函数 故 a 应满足 0 1 1 0 21 xx aa a xf0 2 12 2 xx aaa 则或 0 02 12 2 xx aa a 0 02 12 2 xx aa a 则或 2 a10 a 例 6 设 2 1 1 1 x fxg x xf 1 写出函数与的定义域 xf xg 2 函数与是否具有奇偶性 并说明理由 xf xg 用心 爱心 专心 3 求出函数的单调递减区间 xg 解 解 1 因 故定义域为 1 x xf 1 1 因 故 定义域为 012 x 0 x xg 0 0 2 因的定义域不关于原点对称 故函数为非奇非偶函数 xf xf 因 故函数为偶函数 2 2 xgffxg xx xg 3 设 且 由于 0 21 xx 21 xx 2 2 12 12 xx ffxgxg 12 12 22 12 1 12 1 12 21 12 xx xx xx 由 故 即函数在 2112 22 012 012 xxxx 0 12 xgxg xg 上是减函数 又由为偶函数 则在 上为增函数 0 xg xg0 3 还可利用复合函数单调性结论来解 令 1 1 1 u uf t tuu2 则 列表如下 xxtt xtufxg x 0 0 xxt t tu2 1 1 1 u uf xtufxg 故在上是减函数 xg 0 模拟试题模拟试题 一 选择题 1 如图 指数函数 1 2 3 4 的图象 x ay x by x cy x dy 则 a b c d 的大小关系是 A B dcba 1cdab 1 C D dcba 1cdba 1 1 O y 1 2 3 4 x 2 函数满足且 则与的大cbxxxf 2 2 xfxf 3 0 f x bf x cf 小关系是 A B xx cfbf xx cfbf C D 不能确定 xx cfbf 3 已知函数的图象过点 1 7 其反函数图象过点 4 0 则baxf x 的表达式为 xf 用心 爱心 专心 A B 43 x xf34 x xf C D 52 x xf25 x xf 二 填空题 1 函数的最小值为 22 244 xxxx y 2 函数的单调递减区间为 12 212 xx y 3 已知函数的值域为 1 7 则定义域为 3234 xx y 三 解答题 1 已知 试求函数 并1 2 1 aaaxf xx 1 2 xxxg xfgy 讨论它的奇偶性 2 已知函数 52132 22 2 1 2 1 xxxx xgxf 1 求使成立的 x 值 xgxf 2 求使 均为增函数的单调区间 xf xg 3 求和的值域 xf xg 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 一 选择题 1 B 2 A 3 B 二 填空题 1 2 3 2 0 2 1 1 三 解答题 1 解 由 则1 1 2 1 2 xxxgaaaxf xx 1 2 xfxfxfg 1 2 1 2 1 2 xxxx aaaa 2 2 1 2 1 xxxx aaaa 2 1 2 1 xxxx aaaa 由 当时 1 a0 x xxxxxxx aaaaaxfgaa 2 1 2 1 当时 0 x xxxxxxx aaaaaxfgaa 2 1 2 1 故 0 0 xa xa xfg x x 当时 0 x0 x xfgaaxfg xx 当时 0 x0 x xfgaxfg x 当时 0 x 1 0 xfgaxfg 综上 对内的任意 x 有 故为偶函数 Rx xfgxfg xfg 2 解 1 由 52132 22 2 1 2 1 xxxx 52132 22 xxxx 即的解集为 2 3 065 2 xx32 x xgxf 2 的减区间为 的减区间为 132 2 xxy 4 3 52 2 xxy 1 而为减函数 故使均为增函数的单调区间为 x