高中数学 2.4《平面向量的坐标》教案 北师大版必修4

1 2 42 4 平面向量的坐标平面向量的坐标 一 教学目标 1 知识与技能 1 掌握平面向量正交分解及其坐标表示 2 会用坐标表示平面向量的加 减及数乘运算 3 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 2 过程与方法 教材利用正交分解引出向量的坐标 在此基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及 向量平行的坐标表示 最后通过讲解例题 巩固知识结论 培养学生应用能力 3 情感态度价值观 通过本节内容的学习 使同学们对认识到在全体有序实数对与坐标平面内的所有向 量之间可以建立一一对应关系 即点或向量都可以看作有序实数对的直观形象 让学 生领悟到数形结合的思想 培养学生勇于创新的精神 二 教学重 难点 重点 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示 难点 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示 三 学法与教学用具 学法 1 自主性学习 探究式学习法 2 反馈练习法 以练习来检验知识的应用情况 找出未掌握的内容及其存在的差距 教学用具 电脑 投影机 四 教学设想 创设情境 回忆 平面向量的基本定理 基底 1 2a 1 e 2 e 其实质 同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合 探究新知 一 平面向量的坐标表示 1 在坐标系下 平面上任何一点都可用一对实数 坐标 来表示 思考 在坐标系下 向量是否可以用坐标来表示呢 取轴 轴上两个单位向量 作基底 则平面内作一向量xyijjyi xa 记作 x y 称作向量的坐标a a 如 2 2 2 1 a OAji22 b OBji 2 1 5 1 0 0 1 0 0 c OCji5 ij0 由以上例子让学生讨论 向量的坐标与什么点的坐标有关 每一平面向量的坐标表示是否唯一的 两个向量相等的条件是 两个向量坐标相等 展示投影展示投影 思考与交流 思考与交流 O B C A x y a b c 2 直接由学生讨论回答 思考思考 1 1 1 已知 x1 y1 x2 y2 求 的坐标a b a b a b 2 已知 x y 和实数 求 的坐标a a 解 x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 a b ijijij 即 x1 x2 y1 y2 a b 同理 x1 x2 y1 y2 a b x y x ya ijij x y a 结论 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 实数与向量的积的坐标 等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标 思考思考 2 已知你觉得的坐标与 A B 点的坐标有什么关系 2211 yxByxA AB x2 y2 x1 y1 AB OB OA x2 x1 y2 y1 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段终点的坐标减去始点的坐标 展示投影展示投影 例题讲评例题讲评 学生先做 学生讲 教师提示或适当补充 例 1 教材 P104例 2 例 2 教材 P104例 3 例 3 已知三个力 3 4 2 5 x y 的合力 1 F 2 F 3 F 1 F 2 F 3 F0 求的坐标 3 F 解 由题设 得 3 4 2 5 x y 0 0 1 F 2 F 3 F0 即 5 1 054 023 y x 1 5 y x 3 F 例 4 已知平面上三点的坐标分别为 A 2 1 B 1 3 C 3 4 求点 D 的坐标使这 四点构成平行四边形四个顶点 解 当平行四边形为 ABCD 时 仿例 2 得 D1 2 2 当平行四边形为 ACDB 时 仿例 2 得 D2 4 6 当平行四边形为 DACB 时 O x y B x2 y2 A x1 y1 O x y B A C D1 D2 D3 3 仿例 2 得 D3 6 0 巩固深化 发展思维巩固深化 发展思维 1 若 M 3 2 N 5 1 且 求 P 点的坐标 2 1 MP MN 解 设 P x y 则 x 3 y 2 8 1 4 2 1 2 1 P 点坐标为 1 2 1 2 43 y x 2 3 1 y x 2 3 2 若 A 0 1 B 1 2 C 3 4 则 2 3 3 AB BC 3 已知 四点 A 5 1 B 3 4 C 1 3 D 5 3 求证 四边形 ABCD 是梯 形 解 2 3 4 6 2 AB DC AB DC 且 四边形 ABCD 是梯形 AB DC AB DC 探究新知 展示投影展示投影 思考与交流 思考与交流 思考 思考 共线向量的条件是有且只有一个实数 使得 那么这个条件如何用坐标b a 来表示呢 设其中 2211 yxbyxa 0 b 由得 ba 2211 yxyx 21 21 yy xx 消去 中至少有一个不为 00 1221 yxyx0 b 22 y x 结论 用坐标表示为 a b 0 b0 1221 yxyx 注意 消去 时不能两式相除 y1 y2有可能为 0 这个条件不能写成 有可能为 0 2 2 1 1 x y x y 21 x x 向量共线的两种判定方法 a b 0 b 0 1221 yxyx ba 展示投影展示投影 例题讲评例题讲评 学生先做 学生讲 教师提示或适当补充 例 5 如果向量轴正方向上的单位轴分别是其中yxjimjiBCjiAB 2 向量 试确定实数 m 的值使 A B C 三点共线 4 解法 1 利用可得于是得 BCAB 2jmiji 2 1 m 2 m 解法 2 易得202 1 2 1 mmBCABmBCAB得共线得 由 故当时 三点共线2 m 例 6 若向量 1 x 与 x 2 共线且方向相同 求 x a b 解 1 x 与 x 2 共线 1 2 x x 0 a b x 与方向相同 x 2a b 2 学习小结 学生总结 其它学生补充 巩固深化 发展思维巩固深化 发展思维 1 教材 P105练习 1 5 2 已知的值求且 yxcbaycxba 3 2 1 2 3 已知点 A 0 1 B 1 0 C 1 2 D 2 1 求证 AB CD 4 证明下列各组点共线 A 1 2 B 3 4 C 2 3 5 P 1 2 Q 0 5 0 R 5 6 5 已知向量 1 3 x 1 且 求 x a b a b 学习小结 学生总结 其它学生补充 向量加法运算的坐标表示 向量减法运算的坐标表示 实数与向量的积的坐标表示 向量共线的条件 五 评价设计 1 作业 习题 2 4 A 组第 1 2 3 7 8 题 2 备选题 已知 A 1 1 B 1 3 C 1 5 D 2 7 向量与平行吗 直 AB CD 线 AB