河南省伊川县2013届高三数学下学期第一次月考试题 理 （扫描版）新人教A版

1 高三下学期第一次月考数学高三下学期第一次月考数学 理理 2 三三 解答题解答题 3 1717 1818 1919 2020 2121 2323 本小题满分 本小题满分 1010 分 选修分 选修 4 4 4 4 极坐标系与参数方程 极坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系已知在平面直角坐标系 xOyxOy 内 点内 点 M M x x y y 在曲线 在曲线 C C 为参数 为参数 1cos x y si n R R 上运动 以 上运动 以 OxOx 为极轴建立极坐标系 直线为极轴建立极坐标系 直线l l的极坐标方程为的极坐标方程为 cos cos 4 0 0 写出曲线 写出曲线 C C 的标准方程和直线的标准方程和直线 l l 的直角坐标方程 的直角坐标方程 若直线 若直线 l l 与曲线与曲线 C C 相交于相交于 A A B B 两点 试求两点 试求 ABM ABM 面积的最大值 面积的最大值 2424 本小题满分 本小题满分 1010 分 选修分 选修 4 4 5 5 不等式选讲 不等式选讲 已知函数已知函数 f f x x x x 1 1 g g x x 2 2 x x a a 当 当 a a 0 0 时 解不等式时 解不等式 f f x x g g x x 若存在 若存在 x Rx R 使得 使得 f f x x g g x x 成立 求实数 成立 求实数 a a 的取值范围的取值范围 4 高三下学期第一次月考数学高三下学期第一次月考数学 理 答案 理 答案 一 选择题选择题 DACDD DCCAC BB 二 填空题二 填空题 13 13 14 14 3 15 15 16 16 7 33 4 Nn n n 1 2 三 解答题 17 解 1 由条件 2 coscossinsincoscossinsincos 0 33333 2 分 5 2636326 又图象的一条对称轴离对称中心的最近距离是 所以周期为 2 分 4 2 5 分 sin 2 6 f xx 2 由 知 1fA sin 21 6 A 是的内角 A ABC 0A 13 2 666 A 从而 6 分 32 2 623 AA 3 BC 由 8 分sinsinsinsinsin 33 BCBBB 2 0 3333 BB 即 10 分 3 sin1 23 B 3 sinsin 1 2 BC 18 18 解解 1 的所有可能取值为 0 1 2 1 分 设 第一次训练时取到i个新球 即i 为事件 i A i0 1 2 因为集训前共有 6 个篮球 其中 3 个是新球 3 个是旧球 所以 5 1 0 2 6 2 3 0 C C PAP 3 分 5 3 1 2 6 1 3 1 3 1 C CC PAP 5 分 5 1 2 2 6 2 3 2 C C PAP 7 分 所以 的分布列为 注 不列表 不扣分 5 012 P 5 1 5 3 5 1 的数学期望为1 5 1 2 5 3 1 5 1 0 E 8 分 2 设 从 6 个球中任意取出 2 个球 恰好取到一个新球 为事件B 则 第二次训练时恰好取到一个新球 就是事件BABABA 210 而事件BA0 BA1 BA2互斥 所以 210210 BAPBAPBAPBABABAP 由条件概率公式 得 25 3 5 3 5 1 5 1 2 6 1 3 1 3 000 C CC ABPAPBAP 9 分 25 8 15 8 5 3 5 3 2 6 1 4 1 2 111 C CC ABPAPBAP 10 分 15 1 3 1 5 1 5 1 2 6 1 5 1 1 222 C CC ABPAPBAP 11 分 所以 第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 75 38 15 1 25 8 25 3 210 BABABAP 12 分 19 解 1 设 AC 与 BD 交于 O 连接 SO 由题意知 SO 平 面 ABCD 以 O 坐标原点分别为 x 轴 y 轴 z 轴OSOCOB 正方向建立空间直角坐标系 Oxyz 如图 设底面边长为 a 则高 于是 aSO 2 6 2 6 0 0 S 0 0 2 2 aD 0 2 2 0 aC 0 2 2 0 aOC 2 6 0 2 2 aaSD 故 从而 4 分0 SDOCSDOC SDAC 6 2 由题意知 平面 PAC 的一个发向量为 平面 DAC 的一个发向量 2 6 0 2 2 aaDS 为 设所求二面角为 则 所求二面角的大小为 2 6 0 0 aOS 2 3 cos DSOS DSOS 8 分 0 30 3 在棱 SC 上存在一点 E 使 BE 平面 PAC 由 2 知是平面 PAC 的法向量 且DS 设 则 2 6 0 2 2 aaDS 2 6 2 2 0 aaCS CStCE 2 6 1 2 2 2 2 attaaCStBCCEBCBE 而 10 分 3 1 0 tDSBE 即当 SE EC 2 1 时 而 BE 不在平面 PAC 内 故 BE 平面 PAC 12 分BEDS 20 解 1 可设 直线 的方程为 0 2 cF 11 yxA 22 yxBl 3 3 cxy 由知 222222 3 3 bayaxb cxy 032 3 42222 bycbyab 3 分 22 4 21 22 2 21 3 3 32 ba b yy ba cb yy 由知BFAF 22 3 3 3 2 1 2211 y y ycxyxc 3 1 32 3 3 32 2 4 22 2 22 2 21 2 21 1 2 2 1 b ba ba cb yy yy y y y y 7 6 分 3 4 3 12 22 2 ba c 22 3ca 3 3 e 2 由 知 所以 22 2 3 3abca 2 22 4 21 22 2 21 27 4 3 9 4 3 32 a ba b yya ba cb yy 9 分ayy k AB 9 161 1 3 16 21 2 3 3 ca 到直线 AB 的距离为 11 分 0 3 1 F01 3 3 yx3 1 3 1 10 3 3 3 12 分 3 38 3 16 3 2 1 1 ABF S 21 1 解 解 因为 所以 1 分 lnfxaxxx ln1fxax 因为函数的图像在点处的切线斜率为 3 lnfxaxxx ex 所以 即 所以 2 分 e3 f lne 13a 1a 2 解 解 由 1 知 lnfxxxx 所以对任意恒成立 即对任意恒成 1 f x k x 1x ln 1 xxx k x 1x 立 3 分 令 则 4 分 ln 1 xxx g x x 2 ln2 1 xx gx x 令 则 ln2h xxx 1x 11 10 x h x xx 所以函数在上单调递增 5 分 h x 1 因为 31 ln30 422ln20hh 所以方程在上存在唯一实根 且满足 0h x 1 0 x 0 3 4x 当 即 当 即 0 1 0 xxh x 时 0g x 0 0 xxh x 时 0g x 6 分 8 所以函数在上单调递减 在上单调递增 ln 1 xxx g x x 0 1 x 0 x 所以 7 分 0000 00 min 00 1 ln12 3 4 11 xxxx g xg xx xx 所以 故整数的最大值是 3 8 分 0 min 3 4kg xx k 3 证明证明 1 1 由 2 知 是上的增函数 9 分 ln 1 xxx g x x 4 所以当时 10 分4nm lnln 11 nnnmmm nm 即 整理 得 1 1 ln1 1 lnn mnm nm lnlnlnlnmnnmmmnmnnnm 因为 所以 nm lnlnlnlnmnnmmmnmnn 即 即 lnlnlnln mnmmnn nmmn lnln mnmmnn nmmn 所以 12 分 mn nm mnnm 证明证明 2 2 构造函数 9 分 lnlnlnlnf xmxxmmmxmxx 则 10 分 1 ln1lnfxmxmmm 因为 所以 4xm 1 ln1ln1 ln0fxmmmmmmm 所以函数在上单调递增 因为 所以 f x m nm f nf m 所以 lnlnlnlnmnnmmmnmnn 22 lnlnlnln0mmmmmmmm 即 lnlnlnlnmnnmmmnmnn 即 即 lnlnlnln mnmmnn nmmn lnln mnmmnn nmmn 所以 12