平面向量知识点总结(精华)

平面向量基础知识复习 1 必修必修 4 4 平面向量知识点小结平面向量知识点小结 一 向量的基本概念 1 向量的概念 既有大小又有方向的量 注意向量和数量的区别 向量常用有向线段来表示 注意 不能说向量就是有向线段 为什么 提示 向量可 以平移 举例 1 已知 则把向量按向量平移后得到的 1 2 A 4 2 BAB 1 3 a 向量是 结果 3 0 2 零向量 长度为 0 的向量叫零向量 记作 规定 零向量的0 方向是任意的 3 单位向量 长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与共AB 线的单位向量是 AB AB 4 相等向量 长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量 相等 向量有传递性 5 平行向量 也叫共线向量 方向相同或相反的非零向量 a 叫做平行向量 记作 b a b 规定 零向量和任何向量平行 注 相等向量一定是共线向量 但共线向量不一定相等 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念 两个向 量平行包含两个向量共线 但两条直线平行不包含两条直线重合 平行向量无传递性 因为有 0 三点共线共线 ABC AB AC 6 相反向量 长度相等方向相反的向量叫做相反向量 的相反向a 量记作 a 举例 2 如下列命题 1 若 则 ab ab 2 两个向量相等的充要条件是它们的起点相同 终点相同 3 若 则是平行四边形 ABDC ABCD 4 若是平行四边形 则 ABCDABDC 5 若 则 ab bc ac 6 若 则 其中正确的是 结果 4 ab bc ac 5 二 向量的表示方法 1 几何表示 用带箭头的有向线段表示 如 注意起点在前 AB 平面向量基础知识复习 2 终点在后 2 符号表示 用一个小写的英文字母来表示 如 等 a b c 3 坐标表示 在平面内建立直角坐标系 以与 轴 轴方向相同xy 的两个单位向量为基底 则平面内的任一向量 可表示为 ij a 称为向量 的坐标 叫做向量 的坐标表示 axiyjx y x ya ax y a 结论 如果向量的起点在原点 那么向量的坐标与向量的终点坐 标相同 三 平面向量的基本定理 定理 设同一平面内的一组基底向量 是该平面内任一向量 12 e e a 则存在唯一实数对 使 12 1 122 aee 1 定理核心 2 从左向右看 是对向量 的分解 1 122 a e e a 且表达式唯一 反之 是对向量 的合成 a 3 向量的正交分解 当时 就说为对向量 的正交 12 e e 1 122 a e e a 分解 举例 3 1 若 则 结果 1 1 a 1 1 b 1 2 c c 13 22 ab 2 下列向量组中 能作为平面内所有向量基底的是 B A B C 1 0 0 e 2 1 2 e 1 1 2 e 2 5 7 e 1 3 5 e 2 6 10 e D 1 2 3 e 2 13 24 e 3 已知分别是的边 上的中线 且 则 AD BE ABC BCACADa BEb 可用向量表示为 结果 BC a b 24 33 ab 4 已知中 点 在边上 且 则的ABC DBC2CDDB CDrABsAC rs 值是 结果 0 四 实数与向量的积 实数 与向量 的积是一个向量 记作 它的长度和方向规定如 a a 下 1 模 aa 2 方向 当时 的方向与 的方向相同 当时 0 a a 0 的方向与 的方向相反 当时 a a 0 0a 注意 0a 平面向量基础知识复习 3 五 平面向量的数量积 1 两个向量的夹角 对于非零向量 作 则把a b OAa OBb 称为向量 的夹角 0 AOB a b 当时 同向 当时 反向 当时 垂0 a b a b 2 a b 直 2 平面向量的数量积 如果两个非零向量 它们的夹角为 a b 我们把数量叫做 与 的数量积 或内积或点积 记作 cosab a b 即 a b cosa bab 规定 零向量与任一向量的数量积是 0 注 数量积是一个实数 不再是一个向量 举例 4 1 中 则 ABC 3AB 4AC 5BC AB BC 结果 9 2 已知 与 的夹角为 则 1 1 2 a 1 0 2 b cakb dab c d 4 k 结果 1 3 已知 则 结果 2a 5b 3a b ab 23 4 已知是两个非零向量 且 则 与的夹角为 a b abab a ab 结果 30 3 向量 在向量 上的投影 它是一个实数 但不一定大b a cosb 于 0 举例 5 已知 且 则向量 在向量 上的投影为 3a 5b 12a b a b 结果 12 5 4 的几何意义 数量积等于 的模与 在 上的投影的积 a b a b a a b a 5 向量数量积的性质 设两个非零向量 其夹角为 则 a b 1 0aba b 2 当 同向时 特别地 a b a bab 222 aa aaaa 是 同向的充要分条件 a bab a b 当 反向时 是 反向的充要分条a b a bab a bab a b 件 当 为锐角时 且 不同向 是 为锐角的必要不 0a b a b 0a b 充分条件 当 为钝角时 且 不反向 是 为钝角的必要不 0a b a b 0a b 充分条件 平面向量基础知识复习 4 3 非零向量 夹角 的计算公式 a b cos a b ab a bab 举例 6 1 已知 如果 与 的夹角为锐角 则 的 2 a 3 2 b a b 取值范围是 结果 或且 4 3 0 1 3 2 已知的面积为 且 若 则 夹角 的OFQ S1OF FQ 13 22 S OF FQ 取值范围是 结果 4 3 3 已知 且满足 其中 cos sin axx cos sin byy 3 kabakb 0k 用 表示 求的最小值 并求此时 与 的夹角 的大小 ka b a b a b 结果 最小值为 2 1 0 4 k a bk k 1 2 60 六 向量的运算 1 几何运算 1 向量加法 运算法则 平行四边形法则 三角形法则 运算形式 若 则向量叫做 与的和 即ABa BCb AC a b abABBCAC 作图 略 注 平行四边形法则只适用于不共线的向量 2 向量的减法 运算法则 三角形法则 运算形式 若 则 即由减向量的终ABa ACb abABACCA 点指向被减向量的终点 作图 略 注 减向量与被减向量的起点相同 举例 7 1 化简 ABBCCD ABADDC 结果 ABCDACBD AD CB 0 2 若正方形的边长为 1 则 ABCDABa BCb ACc abc 结果 2 2 3 若 是所在平面内一点 且满足 则OABC 2OBOCOBOCOA 的形状为 结果 直角三角形 ABC 4 若 为的边的中点 所在平面内有一点 满足DABC BCABC P 设 则 的值为 结果 2 0PABPCP AP PD 5 若点 是的外心 且 则的内角 为 OABC 0OAOBCO ABC C 平面向量基础知识复习 5 结果 120 2 坐标运算 设 则 11 ax y 22 bxy 1 向量的加减法运算 1212 abxxyy 1212 abxxyy 举例 8 1 已知点 若 则当 2 3 A 5 4 B 7 10 C APABAC R 时 点 在第一 三象限的角平分线上 结果 P 1 2 2 已知 且 则 结 2 3 A 1 4 B 1 sin cos 2 ABxy 2 2 x y xy 果 或 6 2 3 已知作用在点的三个力 则合力 1 1 A 1 3 4 F 2 2 5 F 3 3 1 F 的终点坐标是 结果 123 FFFF 9 1 2 实数与向量的积 1111 ax yxy 3 若 则 即一个向量的坐标等 11 A x y 22 B xy 2121 ABxx yy 于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 举例 9 设 且 则的坐标分别是 2 3 A 1 5 B 1 3 ACAB 3ADAB C D 结果 11 1 7 9 3 4 平面向量数量积 1212 a bx xy y 举例 10 已知向量 sin cos axx sin sin bxx 1 0 c 1 若 求向量 的夹角 3 x a c 2 若 函数的最大值为 求 的值 结果 3 84 x f xa b 1 2 1 2 或 150 1 2 21 5 向量的模 222222 aaxyaxy 举例 11 已知均为单位向量 它们的夹角为 那么 a b 60 3 ab 结果 13 6 两点间的距离 若 则 11 A x y 22 B xy 22 2121 ABxxyy 举例 12 如图 在平面斜坐标系中 平面上任一点 关xOy60 xOy P 于斜坐标系 的斜坐标是这样定义的 若 其中分别为与 轴 轴同 12 OPxeye 12 e e xy 方向的单 位向量 则 点斜坐标为 P x y 1 若点 的斜坐标为 求 到 的距离 P 2 2 PO PO 2 求以 为圆心 1 为半径的圆在斜坐标系中的方程 OxOy 结果 1 2 2 22 10 xyxy Ox y 60 平面向量基础知识复习 6 七 向量的运算律 1 交换律 abba aa a bb a 2 结合律 abcabc abcabc a ba bab 3 分配律 aaa abab abca cb c 举例 13 给出下列命题 abca ba c ab ca bc 222 2 abaa bb 若 则或 若则 0a b 0a 0b a bc b ac 22 aa 2 a bb aa 222 a bab 222 2abaa bb 其中正确的是 结果 说明 1 向量运算和实数运算有类似的地方也有区别 对于一 个向量等式 可以移项 两边平方 两边同乘以一个实数 两边同时 取模 两边同乘以一个向量 但不能两边同除以一个向量 即两边不 能约去一个向量 切记两向量不能相除 相约 2 向量的 乘法 不满足结合律 即 为什么 ab ca bc 八 向量平行 共线 的充要条件 22 1212 0aba ba babx yy x 举例 14 1 若向量 当 时 与 共线且方向 1 ax 4 bx x a b 相同 结果 2 2 已知 且 则 1 1 a 4 bx 2uab 2vab uv x 结果 4 3 设 则 时 共线 结 12 PAk 4 5 PB 10 PCk k A B C 果 或 11 2 九 向量垂直的充要条件 1212 0 0aba bababx xy y 特别地 ABACABAC ABACABAC 举例 15 1 已知 若 则 结果 1 2 OA 3 OBm OAOB m 3 2 m 2 以原点 和为两个顶点作等腰直角三角形 则O 4 2 AOAB90B 点 的坐标是 结果 1 3 或 3 1 B 3 已知向量 且 则的坐标是 结果 na b nm nm m 或 ba b a 十 线段的定比分点 平面向量基础知识复习 7 1 定义 设点 是直线上异于 的任意一点 若存在一个P 12 PP 1 P 2 P 实数 使 则实数 叫做点 分有向线段所成的比 12 PPPP P 12 PP 点叫做有向线段的以定比为 的定比分点 P 12 PP 2 的符号与分点 的位置之间的关系 P 1 内分线段 即点 在线段上 P 12 PP P 12 PP0 2 外分线段时 点 在线段的延长线上 P 12 PP P 12 PP1 点 在线段的反向延长线上 P 12 PP10 注 若点 分有向线段所成的比为 则点 分有向线段所成P 12 PP P 21 P P 的比为 1 举例 16 若点 分所成的比为 则 分所成的比为 PAB 3 4 ABP 结果 7 3 3 线段的定比分点坐标公式 设 点分有向线段所成的比为 则定比 111 P x y 222 P xy P x y 12 PP 分点坐标公式为 12 12 1 1 1 xx x yy y 特别地 当时 就得到线段的中点坐标公式1 12 PP 12 12 2 2 xx x yy y 说明 1 在使用定比分点的坐标公式时 应明确 x y 11 x y 的意义 即分别为分点 起点 终点的坐标 22 xy 2 在具体计算时应根据题设条件 灵活地确定起点 分点和 终点 并根据这些点确定对应的定比 举例 17 1 若 且 则点 的坐标为 3 2 M 6 1 N 1 3 MPMN P 结果 7 6 3 2 已知 直线与线段交于 且 则 0 A a 3 2 Ba 1 2 yax ABM2AMMB 结果 或 a 4 十一 平移公式 如果点按向量平移至 则 曲线 P x y ah k P x y xxh yyk 按向量平移得曲线 0f x y ah k 0f xh yk 平面向量基础知识复习 8 说明 1 函数按向量平移与平常 左加右减 有何联系 2 向量平移具有坐标不变性 可别忘了啊 举例 18 1 按向量 把平移到 则按向量 把点平a 2 3 1 2 a 7 2 移到点 结果 8 3 2 函数的图象按向量 平移后 所得函数的解析式是sin2yx a 则 结果 cos21yx a 1 4 十二 向量中一些常用的结论 1 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量 要注意运用 2 模的性质 ababab 1 右边等号成立条件 同