高三数学重点知识解析 解析几何题型与分析教案

用心 爱心 专心1 解析几何解析几何 一 复习目标 一 复习目标 1 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程 从直线的点斜式方程出发推 导 出直线方程的其他形式 斜截式 两点式 截距式 能根据已知条件 熟练地选择恰 当的方程形式写出直线的方程 熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化 能利用直线 的方程来研究与直线有关的问题了 2 能正确画出二元一次不等式 组 表示的平面区域 知道线性规划的意义 知道线 性约束条件 线性目标函数 可行解 可行域 最优解等基本概念 能正确地利用图解法 解决线性规划问题 并用之解决简单的实际问题 了解线性规划方法在数学方面的应用 会用线性规划方法解决一些实际问题 3 理解 曲线的方程 方程的曲线 的意义 了解解析几何的基本思想 掌握求 曲线的方程的方法 4 掌握圆的标准方程 222 rbyax r 0 明确方程中各字母的几何 意义 能根据圆心坐标 半径熟练地写出圆的标准方程 能从圆的标准方程中熟练地求出 圆心坐标和半径 掌握圆的一般方程 0 22 FEyDxyx 知道该方程表示圆的 充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化 能根据条件 用待定系数法求出圆的 方程 理解圆的参数方程 cos sin xr yr 为参数 明确各字母的意义 掌握直线与圆的 位置关系的判定方法 5 正确理解椭圆 双曲线和抛物线的定义 明确焦点 焦距的概念 能根据椭圆 双 曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程 记住椭圆 双曲线和抛物线的各种标准方程 能根据条件 求出椭圆 双曲线和抛物线的标准方程 掌握椭圆 双曲线和抛物线的几何 性质 范围 对称性 顶点 离心率 准线 双曲线的渐近线 等 从而能迅速 正确地 画出椭圆 双曲线和抛物线 掌握 a b c p e 之间的关系及相应的几何意义 利用椭 圆 双曲线和抛物线的几何性质 确定椭圆 双曲线和抛物线的标准方程 并解决简单问 题 理解椭圆 双曲线和抛物线的参数方程 并掌握它的应用 掌握直线与椭圆 双曲线 和抛物线位置关系的判定方法 二 考试要求 二 考试要求 一 直线和圆的方程 1 理解直线的斜率的概念 掌握过两点的直线的斜率公式 掌握直线方程的点斜式 两点式 一般式 并能根据条件熟练地求出直线方程 2 掌握两条直线平行与垂直的条件 两条直线所成的角和点到直线的距离公式 能够 根据直线的方程判断两条直线的位置关系 3 了解二元一次不等式表示平面区域 4 了解线性规划的意义 并会简单的应用 5 了解解析几何的基本思想 了解坐标法 6 掌握圆的标准方程和一般方程 了解参数方程的概念 理解圆的参数方程 二 圆锥曲线方程 1 掌握椭圆的定义 标准方程和椭圆的简单几何性质 2 掌握双曲线的定义 标准方程和双曲线的简单几何性质 3 掌握抛物线的定义 标准方程和抛物线的简单几何性质 4 了解圆锥曲线的初步应用 三 教学过程 三 教学过程 基础知识详析 高考解析几何试题一般 30 分左右 考查的知识点约为 20 个左右 其命题一般紧扣课 本 突出重点 全面考查 选择题和填空题考查直线 圆 圆锥曲线 参数方程和极 坐标系中的基础知识 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点 通过知识的重组与 链接 使知识形成网络 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系 求解有时还要用到平 用心 爱心 专心2 几的基本知识和向量的基本方法 这一点值得强化 一 直线的方程 1 点斜式 11 xxkyy 2 截距式 bkxy 3 两点式 12 1 12 1 xx xx yy yy 4 截距式 1 b y a x 5 一般式 0 CByAx 其中 A B 不同时为 0 二 两条直线的位置关系 两条直线 1 l 2 l有三种位置关系 平行 没有公共点 相交 有且只有一个公共点 重合 有无数个公共点 在这三种位置关系中 我们重点研究平行与相交 设直线 1 l y 1 kx 1 b 直线 2 l y 2 kx 2 b 则 1 l 2 l的充要条件是 1 k 2 k 且 1 b 2 b 1 l 2 l的充要条件是 1 k 2 k 1 三 线性规划问题 1 线性规划问题涉及如下概念 存在一定的限制条件 这些约束条件如果由 x y 的一次不等式 或方程 组成的不等 式组来表示 称为线性约束条件 都有一个目标要求 就是要求依赖于 x y 的某个函数 称为目标函数 达到最大值或 最小值 特殊地 若此函数是 x y 的一次解析式 就称为线性目标函数 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题 统称为线性规划问题 满足线性约束条件的解 x y 叫做可行解 所有可行解组成的集合 叫做可行域 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 叫做这个问题的最优解 2 线性规划问题有以下基本定理 一个线性规划问题 若有可行解 则可行域一定是一个凸多边形 凸多边形的顶点个数是有限的 对于不是求最优整数解的线性规划问题 最优解一定在凸多边形的顶点中找到 3 线性规划问题一般用图解法 四 圆的有关问题 1 1 圆的标准方程圆的标准方程 222 rbyax r 0 称为圆的标准方程 其圆心坐标为 a b 半径为 r 特别地 当圆心在原点 0 0 半径为 r 时 圆的方程为 222 ryx 2 2 圆的一般方程圆的一般方程 0 22 FEyDxyx FED4 22 0 称为圆的一般方程 其圆心坐标为 2 D 2 E 半径为FEDr4 2 1 22 当FED4 22 0 时 方程表示一个点 2 D 2 E 当FED4 22 0 时 方程不表示任何图形 3 3 圆的参数方程圆的参数方程 圆的普通方程与参数方程之间有如下关系 222 ryx cos sin xr yr 为参数 222 rbyax cos sin xar ybr 为参数 五 椭圆及其标准方程 1 椭圆的定义 椭圆的定义中 平面内动点与两定点 1 F 2 F的距离的和大于 用心 爱心 专心3 1 F 2 F 这个条件不可忽视 若这个距离之和小于 1 F 2 F 则这样的点不存在 若距离之和 等于 1 F 2 F 则动点的轨迹是线段 1 F 2 F 2 椭圆的标准方程 1 2 2 2 2 b y a x a b 0 1 2 2 2 2 b x a y a b 0 3 椭圆的标准方程判别方法 判别焦点在哪个轴只要看分母的大小 如果 2 x项的分母 大于 2 y项的分母 则椭圆的焦点在 x 轴上 反之 焦点在 y 轴上 4 求椭圆的标准方程的方法 正确判断焦点的位置 设出标准方程后 运用待 定系数法求解 六 椭圆的简单几何性质 1 椭圆的几何性质 设椭圆方程为1 2 2 2 2 b y a x a b 0 范围 a x a b x b 所以椭圆位于直线 x a 和 y b 所围成的矩形里 对称性 分别关于 x 轴 y 轴成轴对称 关于原点中心对称 椭圆的对称中心叫做 椭圆的中心 顶点 有四个 1 A a 0 2 A a 0 1 B 0 b 2 B 0 b 线段 1 A 2 A 1 B 2 B分别叫做椭圆的长轴和短轴 它们的长分别等于 2a 和 2b a 和 b 分 别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 所以椭圆和它的对称轴有四个交点 称为椭圆的 顶点 离心率 椭圆的焦距与长轴长的比 a c e 叫做椭圆的离心率 它的值表示椭圆的扁 平程度 0 e 1 e 越接近于 1 时 椭圆越扁 反之 e 越接近于 0 时 椭圆就越接 近于圆 2 椭圆的第二定义 定义 平面内动点 M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 a c e e 1 时 这个动点的轨迹是椭圆 准线 根据椭圆的对称性 1 2 2 2 2 b y a x a b 0 的准线有两条 它们的方 程为 c a x 2 对于椭圆1 2 2 2 2 b x a y a b 0 的准线方程 只要把 x 换成 y 就可以了 即 c a y 2 3 椭圆的焦半径 由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径 设 1 F c 0 2 F c 0 分别为椭圆1 2 2 2 2 b y a x a b 0 的左 右两焦点 M x y 是椭圆上任一点 则两条焦半径长分别为exaMF 1 exaMF 2 椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便 椭圆的四个主要元素 a b c e 中有 2 a 2 b 2 c a c e 两个关系 因此确定椭圆的 标准方程只需两个独立条件 七 椭圆的参数方程 椭圆1 2 2 2 2 b y a x a b 0 的参数方程为 cos sin xa yb 为参数 说明 这里参数 叫做椭圆的离心角 椭圆上点 P 的离心角 与直线 OP 的倾斜角 用心 爱心 专心4 不同 tantan a b 椭圆的参数方程可以由方程1 2 2 2 2 b y a x 与三角恒等式1sincos 22 相比较 而得到 所以椭圆的参数方程的实质是三角代换 八 双曲线及其标准方程 1 双曲线的定义 平面内与两个定点 1 F 2 F的距离的差的绝对值等于常数 2a 小于 1 F 2 F 的动点M的轨迹叫做双曲线 在这个定义中 要注意条件 2a 1 F 2 F 这一条 件可以用 三角形的两边之差小于第三边 加以理解 若 2a 1 F 2 F 则动点的轨迹是两 条射线 若 2a 1 F 2 F 则无轨迹 若 1 MF 2 MF时 动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支 又若 1 MF 2 MF时 轨迹为双曲线的另一支 而双曲线是由两个分支组成的 故在定义中应为 差的绝对值 2 双曲线的标准方程 1 2 2 2 2 b y a x 和1 2 2 2 2 b x a y a 0 b 0 这里 222 acb 其中 1 F 2 F 2c 要注意这里的 a b c 及它们之间的关系与椭圆中 的异同 3 双曲线的标准方程判别方法是 如果 2 x项的系数是正数 则焦点在 x 轴上 如果 2 y项的系数是正数 则焦点在 y 轴上 对于双曲线 a 不一定大于 b 因此不能像椭圆那样 通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上 4 求双曲线的标准方程 应注意两个问题 正确判断焦点的位置 设出标准方 程后 运用待定系数法求解 九 双曲线的简单几何性质 1 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的实轴长为 2a 虚轴长为 2b 离心率 a c e 1 离心率 e 越 大 双曲线的开口越大 2 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的渐近线方程为x a b y 或表示为0 2 2 2 2 b y a x 若已知双曲 线的渐近线方程是x n m y 即0 nymx 那么双曲线的方程具有以下形式 kynxm 2222 其中 k 是一个不为零的常数 3 双曲线的第二定义 平面内到定点 焦点 与到定直线 准线 距离的比是一个大 于 1 的常数 离心率 的点的轨迹叫做双曲线 对于双曲线1 2 2 2 2 b y a x 它的焦 点坐标是 c 0 和 c 0 与它们对应的准线方程分别是 c a x 2 和 c a x 2 在双曲线中 a b c e 四个元素间有 a c e 与 222 bac 的关系 与椭圆一样确 定双曲线的标准方程只要两个独立的条件 十 抛物线的标准方程和几何性质 1 抛物线的定义 平面内到一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹 叫抛物线 这个定点 F 叫抛物线的焦点 这条定直线 l 叫抛物线的准线 用心 爱心 专心5 需强调的是 点 F 不在直线 l 上 否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线 而不是 抛 物线 2 抛物线的方程有四种类型 pxy2 2 pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 对于以上四种方程 应注意掌握它们的规律 曲线的对称轴是哪个轴 方程中的该项 即为一次项 一次项前面是正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的正方向 一次项 前面是负号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的负方向 3 抛物线的几何性质 以标准方程 y2 2px 为例 1 范围 x 0 2 对称轴 对称轴为 y 0 由方程和图像均可以看出 3 顶点 O 0 0 注 抛物线亦叫无心圆锥曲线 因为无中心 4 离心率 e 1 由于 e 是常数 所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的 5 准线方程 2 p x 6 焦半径公式 抛物线上一点 P x1 y1 F 为抛物线的焦点 对于四种抛物线 的焦半径公式分别为 p 0 22 11 22 11 2 2 22 2 2 22 pp ypx PFxypx PFx pp xpyPFyxpyPFy 7 焦点弦长公式 对于过抛物线焦点的弦长 可以用焦半径公式推导出弦长公式 设过抛物线 y2 2px p O 的焦点 F 的弦为 AB A x1 y1 B x2 y2 AB 的倾斜角为 则有 AB x1 x2 p 以上两公式只适合过焦点的弦长的求法 对于其它的弦 只能用 弦长公式 来求 8 直线与抛物线的关系 直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程 x 2 bx c 0 当 a 0 时 两者的位置关系的判定和椭圆 双曲线相同 用判别 式法即可 但如果 a 0 则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线 此 时 直线和抛物线相交 但只有一个公共点 用心 爱心 专心6 十一 轨迹方程 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么 这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 图形或轨迹 十二 注意事项 1 直线的斜率是一个非常重要的概念 斜率k反映了直线相对于 x 轴的倾斜程度 当 斜率k存在时 直线方程通常用点斜式或斜截式表示 当斜率不存在时 直线方 程为 x a a R R 因此 利用直线的点斜式或斜截式方程解题时 斜率 k 存在 与否 要分别考虑 直线的截距式是两点式的特例 a b 分别是直线在 x 轴 y 轴上的截距 因为 a 0 b 0 所以当直线平行于 x 轴 平行于 y 轴或直线经过原点 不能用截距 式求出它的方程 而应选择其它形式求解 求解直线方程的最后结果 如无特别强调 都应写成一般式 当直线 1 l或 2 l的斜率不存在时 可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直 在处理有关圆的问题 除了合理选择圆的方程 还要注意圆的对称性等几何性质的 运用 这样可以简化计算 2 用待定系数法求椭圆的标准方程时 要分清焦点在 x 轴上还是 y 轴上 还是两种 都存在 注意椭圆定义 性质的运用 熟练地进行 a b c e 间的互求 并能根据所给的方 程画出椭圆 求双曲线的标准方程 应注意两个问题 正确判断焦点的位置 设出标准方 程后 运用待定系数法求解 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的渐近线方程为x a b y 或表示为0 2 2 2 2 b y a x 若已知双曲 线的渐近线方程是x n m y 即0 nymx 那么双曲线的方程具有以下形 式 kynxm 2222 其中 k 是一个不为零的常数 双曲线的标准方程有两个1 2 2 2 2 b y a x 和1 2 2 2 2 b x a y a 0 b 0 这里 222 acb 其中 1 F 2 F 2c 要注意这里的 a b c 及它们之间的关系与椭圆 中的异同 求抛物线的标准方程 要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型 再求抛物线的 标准方程 要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型 再由条件确定参数 p 的值 同时 应明确抛物线的标准方程 焦点坐标 准线方程三者相依并存 知道其中抛 物线的标准方程 焦点坐标 准线方程三者相依并存 知道其中一个 就可以求出 其他两个 范例分析范例分析 例例 1 1 求与直线 3x 4y 12 0 平行 且与坐标轴构成的三角形面积是 24 的直线 l 的方 程 分析分析 满足两个条件才能确定一条直线 一般地 求直线方程有两个解法 即用其中 一个条件列出含待定系数的方程 再用另一个条件求出此参数 解法一解法一 先用 平行 这个条件设出 l 的方程为 3x 4y m 0 再用 面积 条件去求 m 直线 l 交 x 轴于 0 3 m A 交 y 轴于 4 0 m B 由24 432 1 mm 得 24 m 代入 得所求直线的方程为 02443 yx 解法二解法二 先用面积这个条件列出 l 的方程 设 l 在 x 轴上截距离 a 在 y 轴上截距 b 用心 爱心 专心7 x 1 1 O 5 3 4 2 1 6 y 3x 5y 30 0 x 3y 4 0 x 2x y 0 5423 0 2 C A l l 6 l B 1 则有24 2 1 ab 因为 l 的倾角为钝角 所以 a b 同号 ab ab l 的截距式 为1 48 a y a x 即 48x a2y 48a 0 又该直线与 3x 4y 2 0 平行 2 48 43 48 2 aa 8 a代入 得所求直线 l 的方程为02443 yx 说明说明 与直线 Ax By C 0 平行的直线可写成 Ax By C1 0 的形式 与 Ax By C 0 垂直的 直线的方程可表示为 Bx Ay C2 0 的形式 例例 2 2 若直线 mx y 2 0 与线段 AB 有交点 其中 A 2 3 B 3 2 求实数 m 的取值 范围 解解 直线 mx y 2 0 过一定点 C 0 2 直线 mx y 2 0 实际上表示的是过定点 0 2 的 直线系 因为直线与线段 AB 有交点 则直线只能落在 ABC 的内部 设 BC CA 这两条直线的斜率分别为 k1 k2 则由斜率的定义可知 直线 mx y 2 0 的斜率 k 应满足 k k1或 k k2 A 2 3 B 3 2 2 5 3 4 21 kk m 3 4 或 m 2 5 即 m 3 4 或 m 2 5 说明说明 此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题 这 里要清楚直线 mx y 2 0 的斜率 m 应为倾角的正切 而当倾角在 0 90 或 90 180 内 角 的正切函数都是单调递增的 因此当直线在 ACB 内部变化时 k 应大于或等于 kBC 或 者 k 小于或等于 kAC 当 A B 两点的坐标变化时 也要能求出 m 的范围 例例 3 3 已知 x y 满足约束条件 x 1 x 3y 4 3x 5y 30 求目标函数 z 2x y 的最大值和最小值 解 解 根据 x y 满足的约束条件作出可行域 即 如图所示的阴影部分 包括边界 作直线 0 l 2x y 0 再作一组平行于 0 l的直线l 2x y t t R R 可知 当l在 0 l的右下方时 直线l上的点 x y 满足 2x y 0 即 t 0 而且直线l往右 平移时 t 随之增大 当直线l平移至 1 l的位置时 直线经过可行域上的点 B 此时所对应的 t 最大 当l在 0 l的左上方时 直线l上的点 x y 满足 2x y 0 即 t 0 而且直线l往左平移时 t 随之减小 当直线l平移至 2 l的位置时 直 线经过可行域上的点 C 此时所对应的 t 最小 x 3y 4 0 由 解得点 B 的坐标为 5 3 3x 5y 30 0 x 1 由 解得点 C 的坐标为 1 5 27 3x 5y 30 0 o x y A B C 0 2 用心 爱心 专心8 6x 7y 0 7x 8y 0 6 2 4 O 264 A 8 x y 11 10 8 12 y 1 x 10 10 B l 12 y 5 x l0 所以 最大值 z 2 5 3 7 最小值 z 2 1 5 27 5 17 例例 4 4 某运输公司有 10 辆载重量为 6 吨的 A 型卡车与载重量为 8 吨的 B 型卡车 有 11 名驾驶员 在建筑某段高速公路中 该公司承包了每天至少搬运 480 吨沥青的任 务 已知每辆卡车每天往返的次数为 A 型卡车 8 次 B 型卡车 7 次 每辆卡车每 天的成本费 A 型车 350 元 B 型车 400 元 问每天派出 A 型车与 B 型车各多少辆 公司所花的成本费最低 最低为多少 解 解 设每天派出 A 型车与 B 型车各 x y 辆 并设公司每天的成本为 z 元 由题意 得 x 10 y 5 x y 11 48x 56y 60 x y N N 且 z 350 x 400y x 10 y 5 即 x y 11 6x 7y 55 x y N N 作出可行域 作直线 0 l 350 x 400y 0 即 7x 8y 0 作出一组平行直线 7x 8y t 中 t 为参数 经过可行域内的点和原点距离最近的直线 此 直线经过 6x 7y 60 和 y 5 的交点 A 6 25 5 由于点 A 的坐标不都是整数 而 x y N N 所以可行域内的点 A 6 25 5 不是最优解 为求出最优解 必须进行定量分析 因为 7 6 25 8 5 69 2 所以经过可行域内的整点 横坐标和纵坐标都是整数的 点 且与原点最小的直线是 7x 8y 10 在可行域内满足该方程的整数解只有 x 10 y 0 所以 10 0 是最优解 即当l通过 B 点时 z 350 10 400 0 3500 元为 最小 答 答 每天派出 A 型车 10 辆不派 B 型车 公司所化的成本费最低为 3500 元 例例 5 5 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点 AB 2 OT t 0 t 1 以 AB 为直腰作直 角梯形BBAA 使AA 垂直且等于 AT 使BB 垂直且等于 BT BA 交半 圆于 P Q 两点 建立如图所示的直角 坐标系 1 写出直线BA 的方程 2 计算出点 P Q 的坐标 3 证明 由点 P 发出的光线 经 AB 反 射后 反射光线通过点 Q 解解 1 显然 tA 1 1 tB 11 于是 直线BA 的方程为1 txy 2 由方程组 1 1 22 txy yx 解出 用心 爱心 专心9 10P 2 2 2 1 1 1 2 t t t t Q 3 tt kPT 1 0 01 ttt t t t t t t kQT 1 1 1 1 2 0 1 1 2 2 2 2 2 由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知 由点 P 发出的光线经点 T 反射 反射光线通过点 Q 说明 说明 需要注意的是 Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式 有趣吗 例例 6 6 设 P 是圆 M x 5 2 y 5 2 1 上的动点 它关于 A 9 0 的对称点为 Q 把 P 绕 原点依逆时针方向旋转 90 到点 S 求 SQ 的最值 解解 设 P x y 则 Q 18 x y 记 P 点对应的复数为 x yi 则 S 点对应的复数为 x yi i y xi 即 S y x 22 18 xyyxSQ 22 22 22222 9 9 2 818118182 22363618 yx yxyx xyyxxyyxyx 其中 22 9 9 yx可以看作是点P到定点B 9 9 的距离 共最大值为 1532 rMB最小值为1532 rMB 则 SQ 的最大值为21062 SQ 的最小值为21062 例例 7 7 已知 M xQyx是 1 2 22 轴上的动点 QA QB 分别切 M 于 A B 两 点 1 如果 3 24 AB 求直线 MQ 的方程 2 求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程 解解 1 由 3 24 AB 可得 3 1 3 22 1 2 2222 AB MAMP由射 影 定理 得 3 2 MQMQMPMB得 在 Rt MOQ 中 523 2222 MOMQOQ 故55 aa或 所以直线 AB 方程是 0525205252 yxyx或 2 连接 MB MQ 设 0 aQyxP由 点 M P Q 在一直线上 得 22 x y a 由射影定理得 2 MQMPMB 即 14 2 222 ayx 把 及 消去a 并注意到2 y 可得 2 16 1 4 7 22 yyx 说明 说明 适时应用平面几何知识 这是快速解答本题的要害所在 用心 爱心 专心10 例例 8 8 直线l过抛物线 0 2 2 ppxy的焦点 且与抛物线相交于 A 2211 yxByx和 两点 1 求证 2 21 4pxx 2 求证 对于抛物线的任意给定的一条弦 CD 直线l不是 CD 的垂直平分线 解解 1 易求得抛物线的焦点 0 2 PF 若l x轴 则l的方程为 4 2 2 21 P xx P x 显然 若l不垂直于x轴 可设 2 P xky 代入抛物线方程整理得 4 0 4 2 1 2 21 2 2 2 P xx P x k P Px 则 综上可知 2 21 4pxx 2 设 dcd p d Dc p c C 且 2 2 22 则 CD 的垂直平分线 l 的方程为 4 22 22 p dc x p dcdc y 假设 l 过 F 则 42 22 0 22 p dcp p dcdc 整理得 0 2 222 dcpdc 0 p 02 222 dcp 0 dc 这时 l 的方程为 y 0 从而 l 与抛物线pxy2 2 只相交于原点 而l与抛物线有两 个 不同的交点 因此 l 与l不重合 l不是 CD 的垂直平分线 说明 说明 此题是课本题的深化 课本是高考试题的生长点 复习要重视课本 例例 9 9 已知椭圆1 34 22 yx 能否在此椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一点 M 使 它到左准线的距离为它到两焦点 F1 F2距离的等比中项 若能找到 求出该点的坐 标 若不能找到 请说明理由 解 解 假设存在满足条件的点 设 M x1 y1 a2 4 b2 3 a 2 3 b c 1 2 1 e 2 1 2 1 22 1121 4 1 4 xxeaexaexaMFMF 点 M 到椭圆左准线的距离 4 1 2 1 x c a xd 2 1 2 121 4 4 1 4 xxdrr 048325 1 2 1 xx 4 1 x或 5 12 1 x 这与 x1 2 0 相矛盾 满足条件的 点 M 不存在 例例 1010 已知椭圆中心在原点 焦点在y轴上 焦距为 4 离心率为 3 2 求椭圆方程 设椭圆在 y 轴正半轴上的焦点为 M 又点 A 和点 B 在椭圆上 且 M 分有向线段 AB 所成的比为 2 求线段 AB 所在直线的方程 用心 爱心 专心11 解解 设椭圆方程为1 2 2 2 2 b x a y 由 2c 4 得 c 2 又 3 2 a c 故 a 3 5 222 cab 所求的椭圆方程为 22 1 95 yx 若 k 不存在 则2 MB AM 若 k 存在 则设直线 AB 的方程为 y kx 2 又设 A 221 1 yxByx 由 1 95 2 22 yx kxy 得 02520 59 22 kxxk 12 2 20 95 k xx K 12 2 25 95 xx K 点 M 坐标为 M 0 2 2 2 2211 yxMByxAM 由得2 MB AM MBAM2 2 2 2 2211 yxyx 21 2xx 代入 得 2 2 20 95 k x k 2 2 2 25 2 95 x k 由 得 2 2 20 2 95 k k 2 25 95k 2 1 3 k 3 3 k 线段 AB 所在直线的方程为 2 3 3 xy 说明说明 有向线段所成的比 线段的定比分点等概念 本身就是解析几何研究的一类重 要问题 向量概念的引入 使这类问题的解决显得简洁而流畅 求解这类问题可 以用定比分点公式 也可以直接用有向线段的比解题 另外 向量的长度 点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系 向量与解析几何 的结合 为解决这些问题开辟了新的解题途径 例例 1111 已知直线l与椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 有且仅有一个交点 Q 且与x轴 y 轴分别交于 R S 求以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方 程 解 解 从直线l所处的位置 设出直线l的方程 由已知 直线l不过椭圆的四个顶点 所以设直线l的方程为 0 kmkxy 代入椭圆方程 222222 bayaxb 得 2 22222222 bamkmxxkaxb 化简后 得关于x的一元二次方程 0 2 222222222 bamamxkaxbka 于是其判别式 4 4 2 222222222222222 mbkababamabkamka 由已知 得 0 即 2222 mbka 在直线方程mkxy 中 分别令 y 0 x 0 求得 0 0 mS k m R 用心 爱心 专心12 y xO A B P 令顶点 P 的坐标为 x y 由已知 得 ym x y k my k m x 解得 代入 式并整理 得 1 2 2 2 2 y b x a 即为所求顶点 P 的轨迹方程 说明说明 方程 1 2 2 2 2 y b x a 形似椭圆的标准方程 你能画出它的图形吗 例例 1212 已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的离心率 3 32 e 过 0 0 bBaA 的直线到原点 的距离是 2 3 1 求双曲线的方程 2 已知直线 0 5 kkxy交双曲线于不同的点 C D 且C D都在以B为圆心的圆 上 求k的值 解解 1 3 32 a c 原点到直线AB 1 b y a x 的距离 3 1 2 3 22 ab c ab ba ab d 故所求双曲线方程为 1 3 2 2 y x 2 把335 22 yxkxy代入中消去y 整理得 07830 31 22 kxxk 设CDyxDyxC 2211 的中点是 00 yxE 则 11 31 5 5 31 15 2 0 0 2 00 2 21 0 kx y k k kxy k kxx x BE 0 00 kkyx 即7 0 0 31 5 31 15 2 22 kkk k k k k 又 故所求k 7 说明 说明 为了求出k的值 需要通过消元 想法设法建构k的方程 例例 1313 过点 0 3 P作直线l与椭圆 3x2 4y2 12 相交于 A B 两点 O 为坐标原点 求 OAB 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值 分析 分析 若直接用点斜式设l的方程为 3 0 xky 则 要 求l的斜率一定要存在 但在这里l的斜率有可能不存在 因此要讨论斜率不存在的情形 为了避免讨论 我们可 以 设直线l的方程为3 myx 这样就包含了斜率不 存 用心 爱心 专心13 在时的情形了 从而简化了运算 解 解 设 A x1 y1 B x2 y2 l 3 myx 3 3 2 1 2 1 212121 yyyyyOPyOPS AOB 把3 myx代入椭圆方程得 0124 332 3 222 ymyym 即 0336 43 22 myym 43 36 2 21 m m yy 43 3 2 21 m yy 48144 43 1 43 12 43 108 2 2222 2 21 x mmm m yy 3 13 1334 43 1334 43 394 2 2 2 2 2 2 m m m m m m 2 32 34 13 3 13 34 2 2 m m m 32 2 3 S 此时 13 3 13 2 2 m m 3 6 m 令直线的倾角为 则 2 6 6 3 tg 即 OAB 面积的最大值为3 此时直线倾斜角的正切值为 2 6 例例 1414 已知常数0 a 向量 0 1 0 ca i 经过原点 O 以ci 为方向向量的直线与经过定点 A 0 a 以2ic 为方向向量的 直线相交于点 P 其中 R 试问 是否存在两个定点 E F 使得 PE PF 为定值 若存在 求出 E F 的坐标 若不存在 说明理由 解 解 i 1 0 c 0 a c i a i 2 c 1 2 a 因此 直线 OP 和 AP 的方程分别为 axy 和 axay 2 消去参数 得点 yxP的坐标满足方程 22 2 xaayy 整理得 1 2 2 8 1 2 2 2 a a y x 因为 0 a所以得 i 当 2 2 a时 方程 是圆方程 故不存在合乎题意的定点 E 和 F ii 当 2 2 0 a 时 方程 表示椭圆 焦点 2 2 1 2 1 2 a aE 和 2 2 1 2 1 2 a aF 为合 乎题意的两个定点 iii 当 2 2 a 时 方程 也表示椭圆 焦点 2 1 2 1 0 2 aaE 和 2 1 2 1 0 2 aaF 为合乎题意的两个定点 用心 爱心 专心14 说明说明 由于向量可以用一条有向线段来表示 有向线段的方向可以决定解析几何中直线 的斜率 故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系 求解此类问题 的关键是 根据直线的方向向量得出直线方程 再转化为解析几何问题解决 例例 1515 已知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的长 短轴端点分别为 A B 从此椭圆上一 点 M 向 x 轴作垂线 恰好通过椭圆的左焦点 1 F 向量AB与OM是共线向量 1 求椭圆的离心率 e 2 设 Q 是椭圆上任意一点 1 F 2 F分别是左 右焦点 求 21QF F 的取值范围 解 解 1 a b ycxcF MM 2 1 0 则 ac b kOM 2 ABOM a b kAB与 是共线向量 a b ac b 2 b c 故 2 2 e 2 设 112212 1212 2 2 FQr F QrF QF rra FFc 2222222 12121 2 2 12 1 21 21 2 4 24 cos110 22 2 rrcrrrrcaa rr rrrrrr 当且仅当 21 rr 时 cos 0 2 0 说明说明 由于共线向量与解析几何中平行线 三点共线等具有异曲同工的作用 因此 解析 几何中与平行线 三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题 求 解此类问题的关键是 正确理解向量共线与解析几何中平行 三点共线等的关系 把有关向量的问题转化为解析几何问题 例例 1616 一条斜率为 1 的直线l与离心率为 2 2 的椭圆 C 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 交于 P Q 两点 直线l与 Y 轴交于点 R 且3 OQOP RQPR3 求 直线l和椭圆 C 的方程 解 解 椭圆离心率为 2 2 a c 2 2 22 2ba 所以椭圆方程为1 2 2 2 2 2 b y b x 设l方程为 mxy 2211 yxQyxP 由 mxy b y b x 1 2 2 2 2 2 消去y得02243 222 bmmxx 0 3 8 22 3416 22222 bmbmm 22 3mb mxx 3 4 21 1 3 2 22 21 bmxx 2 3 OQOP 所以3 2121 yyxx 而 2 21212121 mxxmxxmxmxyy 用心 爱心 专心15 所以3 2 2 2121 mxxmxx 3 3 4 3 4 2222 mmbm 所以943 22 bm 3 又 0 mR RQPR3 3 2211 myxymx 从而 21 3xx 4 由 1 2 4 得 22 3bm 5 由 3 5 解得3 2 b 1 m 适合 所以所求直线l方程为 1 xy或1 xy 椭圆 C 的方程为1 36 2 2 yx 说明说明 向量数量积的坐标表示 构建起向量与解析几何的密切关系 使向量与解析几何融 为一体 求此类问题的关键是 利用向量数量积的坐标表示 沟通向量与解析几何 的联系 体现了向量的工具性 例例 1717 已知椭圆 C 的中心在原点 焦点 F1 F2在x轴上 点 P 为椭圆上的一个动点 且 F1PF2的最大值为 90 直线l过左焦点 F1与椭圆交于 A B 两点 ABF2 的面积最大值为 12 1 求椭圆 C 的离心率 2 求椭圆 C 的方程 解法一 解法一 1 设 cFFrPFrPF2 212211 对 21F PF 由余弦定理 得 1 2 2 44 1 2 44 2 42 2 4 cos 221 22 21 22 21 2 21 2 21 21 22 2 1 1 21 rr ca rr ca rr crrrr rr crr PFF 021 2 e 解出 2 2 e 2 考虑直线l的斜率的存在性 可分两种情况 i 当 k 存在时 设l的方程为 cxky 椭圆方程为 1 2211 2 2 2 2 yxByxA b y a x 由 2 2 e 得 2222 2cbca 于是椭圆方程可转化为 022 222 cyx 将 代入 消去y得 02 2 2222 ccxkx 整理为x的一元二次方程 得 0 1 24 21 22222 kcxckxk 则x1 x2是上述方程的两根 且 2 2 12 21 122 k kc xx 2 2 12 2 21 1 22 1 k kc xxkAB AB 边上的高 1 2sin 2 2121 k k cFBFFFh c k k k k cS2 1 21 1 22 2 1 2 2 2 224 2222 224 42 1 1 2 22 22 22 1 12144 4 kkkk cccc kkk kk ii 当 k 不存在时 把直线cx 代入椭圆方程得 用心 爱心 专心16 2 22 2 1 2 2 2 ccScABcy 由 知 S 的最大值为 2 2c 由题意得 2 2c 12 所以 22 26bc 212 2 a 故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为 1 26212 22 yx 解法二 解法二 设过左焦点的直线方程为 cmyx 椭圆的方程为 1 2211 2 2 2 2 yxByxA b y a x 由 2 2 e 得 2 2222 cbca 于是椭圆方程可化为 022 222 cyx 把 代入 并整理得 02 2 222 cmcyym 于是 21 y y是上述方程的两根 1 12 22 21 2 21 yymyyxxAB 2 2 44 1 2 2222 2 m mccm m 2 1 22 2 2 m mc AB 边上的高 2 1 2 m c h 从而 2 2 2 2 2 2 2 1 22 1 2 2 1 22 2 1 2 1 m m c m c m mc hABS 2 2 1 1 1 1 22 2 2 2 2 c m m c 当且仅当 m 0 取等号 即 2 2 max cS 由题意知122 2 c 于是 212 26 222 acb 故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为 1 26212 22 yx 例例 1818 已知两点 M 1 0 N 1 0 且点 P 使NPNMPNPMMNMP 成公 差小于零的等差数列 点 P 的轨迹是什么曲线 若点 P 坐标为 00 yx 为PNPM与的夹角 求 tan 解 解 记 P x y 由 M 1 0 N 1 0 得 1 yxMPPM 1 yxNPPN 0 2 NMMN 所以 1 2xMNMP 1 22 yxPNPM 1 2xNPNM 于是 NPNMPNPMMNMP 是公差小于零的等差数列等价于 0 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 22 xx xxyx 即 0 3 22 x yx 所以 点 P 的轨迹是以原点为圆心 3为半径的右半圆 点 P 的坐标为 00 yx 21 2 0 2 0 yxPNPM 22 222 0000000 1 1 42 42 2 4PM PNxyxyxxx 用心 爱心 专心17 xo y C T M B A 2 0 1 cos 4 PM PN PMPNx 所以 因为 0 3 0 x 所以 3 0 1cos 2 1 4 1 1cos1sin 2 0 2 x 3 4 1 4 1 1 cos sin tan 0 2 0 2 0 2 0 yx x x 说明说明 在引入向量的坐标表示后 可以使向量运算代数化 这样就可以将 形 和 数 紧密地结合在一起 向量的夹角问题融入解析几何问题中 也就显得十分自然 求 解这类问题的关键是 先把向量用坐标表示 再用解析几何知识结合向量的夹角公 式使问题获解 也可以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题 用数形结合 方法使问题获解 强化训练 强化训练 1 1 已知 P 是以 1 F 2 F为焦点的椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 上一点 若 0 21 PFPF 2 1 tan 21 FPF 则椭圆的离心率为 A 2 1 B 3 2 C 3 1 D 3 5 2 2 已知 ABC 的顶点 A 3 1 AB 边上的中线所在直线的方程为 6x 10y 59 0 B 的平分线所在直线的方程为 x 4y 10 0 求边 BC 所在直线的 方程 3 3 求直线 l2 7x y 4 0 到 l1 x y 2 0 的角平分线的方程 4 4 已知三种食物 P Q R 的维 生素含量与成本如下表所示 现在将 xkg 的食物 P 和 ykg 的食物 Q 及 zkg 的食物 R 混合 制成 100kg 的混合物 如果 这 100kg 的混合物中至少含维生素 A44 000 单位与维生素 B48 000 单位 那么 x y z 为何值时 混合物的成本最小 5 5 某人有楼房一幢 室内面积共 180 2 m 拟分隔成两类房间作为旅游客房 大房间每 间面积为 18 2 m 可住游客 5 名 每名游客每天住宿费为 40 元 小房间每间面积 为 15 2 m 可住游客 3 名 每名游客每天住宿费为 50 元 装修大房间每间需 1000 元 装修小房间每间需 600 元 如果他只能筹款 8000 元用于装修 且游客能住满客 房 他应隔出大房间和小房间各多少间 能获得最大收益 6 6 已知 ABC 三边所在直线方程 AB x 6 0 BC x 2y 8 0 CA x 2y 0 求此三角形 外接圆的方程 7 7 已知椭圆 x2 2y2 12 A 是 x 轴正方向上的一定点 若过点 A 斜率为 1 的直线被椭 食物 P食物 Q食物 R 维生素 A 单位 kg 400600400 维生素 B 单位 kg 800200400 成本 元 kg 654 用心 爱心 专心18 圆截得的弦长为 3 134 求点 A 的坐标 8 8 已知椭圆1 2 2 2 2 b y a x a b 0 上两点 A B 直线kxyl 上有两点 C D 且 ABCD 是正方形 此正方形外接圆为 x2 y2 2y 8 0 求椭圆方程和直线l的方程 9 9 求以直线2 xl为准线 原点为相应焦点的动椭圆短轴 MN 端点的轨迹方程 1010 若椭圆的对称轴在坐标轴上 两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点 又焦 点到同侧长轴端点的距离为12 求椭圆的方程 1111 已知直线1 xy与椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 相交于 A B 两点 且线段 AB 的中点在直线02 yxl上 求此椭圆的离心率 2 若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆4 22 yx上 求此椭圆的方程 1212 设 A x1 y1 为椭圆 x2 2y2 2 上任意一点 过点 A 作一条直线l 斜率为 1 1 2y x 又 设 d 为原点到直线l的距离 r1 r2分别为点 A 到椭圆两焦点的距离 求证 drr 21 为定值 1313 某工程要将直线公路l一侧的土石 通过公路上的两个道口 A 和 B 沿着道路 AP BP 运往公路另一侧的 P 处 PA 100m PB 150m APB 60 试说明怎样运 土石最省工 1414 已知椭圆1 2 2 2 2 b y a x a b 0 P 为椭圆上除长轴端点外的任一