高二数学导数的综合应用人教实验版（B）知识精讲

用心 爱心 专心 高二数学导数的综合应用人教实验版 高二数学导数的综合应用人教实验版 B 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 导数的综合应用 二 学习目标 本部分的要求一般有三个层次 第一层次主要考查导数的概念 求导的公式和求导法 则 第二层次是导数的简单应用 包括求函数的极值 单调区间 证明函数的增减性等 第三层次是综合考查 包括解决应用问题 将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的 单调性等有机地结合在一起 设计综合题 通过将新课程内容和传统内容相结合 加强了 能力考查力度 使试题具有更广泛的实际意义 更体现了导数作为工具分析和解决一些函 数性质问题的方法 三 考点分析 1 求函数极值的步骤 f x 1 导数 fx 2 方程 0 的根 fx 3 检查 0 的根的左右区间对应的的符号 若左正右负 则在 fx fx f x 这个根处取得极大值 若左负右正 则在这个根处取得极小值 f x 注 实质为注 实质为 解方程解方程 解关于 解关于的方程的方程 0 x fx 2 设函数在上连续 在内可导 求在上的最值的步骤 f x a b a b f x a b 1 求在内的极值 f x a b 2 将各极值与 比较 确定的最大和最小值 f x f a f b f x 3 求函数的单调区间 不等式的解集为的增区间 不等式 f x 0fx yf x 的解集为的减区间 0fx yf x 注 求函数的单调区间实质上是注 求函数的单调区间实质上是 解不等式解不等式 4 几何意义 函数 y f x 在点 x0处的导数的几何意义 就是曲线 y f x 在点 P x0 f x0 处的切线的斜率 5 常见函数的导函数 1 a 为常数 1aa ax x 2 ln 0 1 xx aaaaa 且 3 1 log ln a x xa 4 xx ee 5 1 ln x x 6 sin cosxx 7 cos sinxx 用心 爱心 专心 典型例题典型例题 例 1 已知函数在处有极值 其图象在处的切线平cbxaxxxf 23 2 x1 x 行于直线 试求函数的极大值与极小值的差 23 xy 解 解 baxxxf 23 2 由于在处有极值 xf2 x0 2 f 即 0412 ba 又 3 1 f 332 ba 由 得0 3 ba cxxxf 23 3 令 得063 2 xxxf2 0 21 xx 由于在 时 0 x 2 x0 x f 时 2 0 x0 x f 是极大值 是极小值 0 f 2 f 4 2 0 ff 例 2 已知在区间 0 1 上是增函数 在区间上是cxbxaxxf 23 1 0 减函数 又 2 3 2 1 f 求的解析式 xf 若在区间 m 0 上恒有 x 成立 求 m 的取值范围 0 m xf 解 解 由已知 2 32fxaxbxc 0 1 0ff 即解得 0 320 c abc 0 3 2 c ba 2 33fxaxax 1333 2422 aa f 2a 32 23f xxx 令 即 f xx 32 230 xxx 或 21 1 0 xxx 1 0 2 x 1x 又在区间上恒成立 f xx 0m 1 0 2 m 例 3 函数 过曲线上的点的切线方程为 32 f xxaxbxc yf x 1 Pf x y 3x 1 1 若时有极值 求的表达式 2yf xx 在 f x 2 在 1 的条件下 求在 3 1 上的最大值 yf x 3 若函数在区间 2 1 上单调递增 求 b 的取值范围 yf x 解 解 1 由求导数得过上 32 f xxaxbxc 2 32fxxaxb yf x 点 用心 爱心 专心 的切线方程为 1 1 Pf 1 1 1 1 32 1 yffxyabcab x 即 而过上 的切线方程为 yf x 1 1 Pf31yx 故 即 323 21 ab abc 20 3 ab abc 在 x 2 时有极值 故 0 yf x 2 f 412ab 由 式联立解得 2 4 5abc 32 245f xxxx 2 22 32344 32 2 fxxaxbxxxx x 32 2 2 2 3 2 3 2 1 3 fx 0 0 f x 极大 极小 32 2 2 2 2 4 2 513f xf 极大 在 3 1 上最大值为 13 3 1 12 14 154f f x 3 在区间 2 1 上单调递增 又 yf x 2 32fxxaxb 由 1 知 20ab 2 3fxxbxb 依题意在 2 1 上恒有在 2 1 上恒成立 fx 2 0 30fxxbxb 即 当时 1 6 b x 1 30fxfbb 小 6b 当时 2 6 b x 2 1220fxfbb 小 b 当时 0 b 61 6 2 b x 2 12 0 12 bb fx 小 综合上述讨论可知 所求参数 b 的取值范围是 b 0 例 4 已知函数 其中 2 2 21 1 axa f xx x Ra R 当时 求曲线在点处的切线方程 1a yf x 2 2 f 当时 求函数的单调区间与极值 0a f x 本小题考查导数的几何意义 两个函数的和 差 积 商的导数 利用导数研究函数 的单调性和极值等基础知识 考查运算能力及分类讨论的思想方法 解 解 当时 1a 2 2 1 x f x x 4 2 5 f 又 22 2222 2 1 2222 1 1 xxxx fx xx 6 2 25 f 所以 曲线在点处的切线方程为 即 yf x 2 2 f 46 2 525 yx 62320 xy 解 解 22 2222 2 1 2 21 2 1 1 1 a xxaxaxa ax fx xx 由于 以下分两种情况讨论 0a 用心 爱心 专心 1 当时 令 得到 当变化时 0a 0fx 1 1 x a 2 xa x 的变化情况如下表 fxf x x 1 a a 1 1 a a a a fx 0 0 f x 极小值 极大值 所以在区间 内为减函数 在区间内为增函 f x 1 a a 1 a a 数 函数在处取得极小值 且 f x 1 1 x a 1 f a 2 1 fa a 函数在处取得极大值 且 f xax 2 f a 1f a 2 当时 令 得到 当变化时 0a 0fx 12 1 xax a x 的变化情况如下表 fxf x x a a 1 a a 1 a 1 a fx 0 0 f x 极大值 极小值 所以在区间 内为增函数 在区间内为减函 f x a 1 a 1 a a 数 函数在处取得极大值 且 f x 1 xa f a 1f a 函数在处取得极小值 且 f x 2 1 x a 1 f a 2 1 fa a 模拟试题模拟试题 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 1 若函数的图象上一点 1 1 及邻近一点 1 x 1 y 则12 2 xxf 为 x y A 4 B C D x2 xx 4x 4 2 4xx 2 设 则 0 为 1 f xxx f A 0 B 1 C 1 D 不存在 3 若为偶函数 且存在 则 xf x f 0 f A 0 B 1 C D xx 4 若可导函数的导数 即 0 只有一个实根 则 xfy x f 0 xx A 是函数的最值 B 是函数的极值 0 xf 0 xf C 在的左右异号 D 当有极值时 其极值是 x f 0 xx xf 0 xf 5 函数 在时有极值 10 则 a b 值为 223 abxaxxxf 1 x 用心 爱心 专心 A B 11 43 3 baba或11 41 4 baba或 C D 以上都不对5 1 ba 6 设是函数的导函数 将和的图象画在同一个直角坐 fx f x yf x yfx 标系中 不可能正确的是 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 7 已知函数的图象过点 P 0 2 且在点 M处的dcxbxx x f 23 1 1 f 切线方程为 函数的解析式为 076 yx xfy 8 设点是曲线上的任意一点 点处切线倾斜角为 则角 的P 3 2 3 3 xxyP 取值范围是 9 已知函数 f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 既有极大值又有极小值 则实数 a 的取 值范围是 10 已知且 则的取值范围是 sin2 f xxx xR 1 2 0fafa a 三 解答题 本大题共 4 题 共 50 分 11 已知函数在处取得极大值 在处取得 32 1 2 1 3 f xaxbxb x 1 xx 2 xx 极小值 且 12 012xx I 证明 0a II 若 z a 2b 求 z 的取值范围 12 设函数在及时取得极值 32 2338f xxaxbxc 1x 2x 求 a b 的值 若对于任意的 都有成立 求 c 的取值范围 0 3 x 2 f xc 13 设函数 其中 2 f xx xa x Ra R 当时 求曲线在点处的切线方程 1a yf x 2 2 f 当时 求函数的极大值和极小值 0a f x 当时 证明存在 使得不等式3a 10k 对任意的恒成立 22 cos cos f kxf kx x R 14 设 a 0 f x x 1 ln2 x 2a ln x x 0 令 F x xf x 讨论 F x 在 0 内的单调性并求极值 求证 当 x 1 时 恒有 x ln2x 2a ln x 1 用心 爱心 专心 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 1 A 2 B 3 A 4 D 5 D 6 D 7 解 由的图象经过 P 0 2 知 d 2 xf 所以 2 23 cxbxxxf 23 2 cbxxxf 由在处的切线方程是 知 1 1 fM076 yx 6 1 1 1 07 1 6 fff即 3 0 32 1 21 623 cb cb cb cb cb 解得即 故所求的解析式是 2 33 23 xxxxf 8 3 2 2 0 9 解 f x 3x2 6ax 3a 6 令 f x 0 则 x2 2ax a 2 0 又 f x 既有极大值又有极小值 f x 0 必有两解 即 4a2 4a 8 0 解得 a 1 或 a 2 10 1 11 解 求函数的导数 f x 2 22fxaxbxb 由函数在处取得极大值 在处取得极小值 知是 f x 1 xx 2 xx 12 xx 的两个根 0fx 所以 12 fxa xxxx 当时 为增函数 由 得 1 xx f x 0fx 1 0 xx 2 0 xx 0a 在题设下 等价于 即 12 012xx 0 0 1 0 2 0 f f f 20 220 4420 b abb abb 化简得 此不等式组表示的区域为平面上三条直线 20 320 4520 b ab ab aOb 20320 4520babab 所围成的的内部 其三个顶点分别为 ABC 4 6 2 2 4 2 7 7 ABC 在这三点的值依次为 z 16 6 8 7 所以的取值范围为 z 16 8 7 用心 爱心 专心 12 解 2 663fxxaxb 因为函数在及时取得极值 则有 f x1x 2x 1 0 f 2 0 f 即 6630 24 1230 ab ab 解得 3a 4b 由 可知 32 29128f xxxxc 2 618126 1 2 fxxxxx 当时 01 x 0fx 当时 12 x 0fx 当时 2 3 x 0fx 所以 当时 取得极大值 又 1x f x 1 58fc 0 8fc 3 98fc 则当时 的最大值为 0 3x f x 3 98fc 因为对于任意的 都有恒成立 0 3x 2 f xc 所以 2 98cc 解得或 1c 9c 因此的取值范围为 c 1 9 13 本小题主要考查运用导数研究函数的性质 曲线的切线方程 函数的极值 解不等 式等基础知识 考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法 满分 14 分 解 当时 得 且1a 232 1 2f xx xxxx 2 2f 2 341fxxx 2 5 f 所以 曲线在点处的切线方程是 整理得 2 1 yx x 22 25 2 yx 580 xy 解 2322 2f xx xaxaxa x 22 34 3 fxxaxaxa xa 令 解得或 0fx 3 a x xa 由于 以下分两种情况讨论 0a 1 若 当变化时 的正负如下表 0a x fx x 3 a 3 a 3 a a a a fx 0 0 用心 爱心 专心 因此 函数在处取得极小值 且 f x 3 a x 3 a f 3 4 327 a fa 函数在处取得极大值 且 f xxa f a 0f a 2 若 当变化时 的正负如下表 0a x fx x a a 3 a a 3 a 3 a fx 0 0 因此 函数在处取得极小值 且 f xxa f a 0f a 函数在处取得极大值 且 f x 3 a x 3 a f 3 4 327 a fa 证明 由 得 当时 3a 1 3 a 10k cos1kx 22 cos1kx 由 知 在上是减函数 要使 f x 1 22 cos cos f kxf kx x R 只要 22 coscos kxkx x R 即 22 coscos xxkk x R 设 则函数在上的最大值为 2 2 11 coscoscos 24 g xxxx g xR2 要使 式恒成立 必须 即或 2 2kk 2k 1k 所以 在区间上存在 使得对任意的 10 1k 22 cos cos f kxf kx 恒成立 x R 14 本小题主要考查函数导数的概念与计算 利用导数研究函数的单调性 极值和证明 不等式的方法 考查综合运用有关知识解决问题的