高中数学 《圆的标准方程》教案11 新人教A版必修2

用心 爱心 专心1 4 1 24 1 2 圆的一般方程圆的一般方程 一 教学目标 1 知识与技能 1 在掌握圆的标准方程的基础上 理解记忆圆的一般方程的代数特征 由圆的一般方程确定圆的 圆心半径 掌握方程x2 y2 Dx Ey F 0 表示圆的条件 2 能通过配方等手段 把圆的一般方程化为圆的标准方程 能用待定系数法求圆的方程 3 培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力 2 过程与方法 通过对方程x2 y2 Dx Ey F 0 表示圆的条件的探究 培养学生探索发现及分析解决问题的 实际能力 3 情感态度与价值观 渗透数形结合 化归与转化等数学思想方法 提高学生的整体素质 激励学生创新 勇于探索 二 教学重点 难点 教学重点 圆的一般方程的代数特征 一般方程与标准方程间的互化 根据已知条件确定方程中的 系数 D E F 教学难点 对圆的一般方程的认识 掌握和运用 三 教学过程 教 学环节 教学内容师生互动 设计 意图 课 题引入 问题 求过三点A 0 0 B 1 1 C 4 2 的圆的方程 利用圆的标准方程解决此问题显然有 些麻烦 得用直线的知识解决又有其简单 的局限性 那么这个问题有没有其它的解 决方法呢 带着这个问题我们来共同研究 圆的方程的另一种形式 圆的一般方程 让学生带着问题进行思考 设疑 激趣导入 课题 概 念形成 与深化 请同学们写出圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 圆心 a b 半径 r 把圆的标准方程展开 并整理 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 取D 2a E 2b F a2 b2 r2得x2 y2 Dx Ey F 0 这个方程是圆的方程 反过来给出一个形如x2 y2 Dx Ey F 0 的方程 它表示的曲线一定是 圆吗 把x2 y2 Dx Ey F 0 配方得 22 22 4 224 DEDEF xy 配 方过程由学生去完成 这个方程是不是表示 圆 整个探索过程由学生完成 教师只做引导 得出圆的一般 方程后再启发学生归纳 圆的一般方程的特点 1 x2和y2的系数相 同 不等于 0 没有xy这样的二次项 2 圆的一般方程中有 三个特定的系数D E F 因 此只要求出这三个系数 圆的 方程就确定了 3 与圆的标准方程相 比较 它是一种特殊的二元二 次方程 代数特征明显 圆的 标准方程则指出了圆心坐标与 半径大小 几何特征较明显 通过 学生对圆 的一般方 程的探究 使学生亲 身体会圆 的一般方 程的特点 及二元二 次方程表 示圆所满 足的条件 用心 爱心 专心2 1 当D2 E2 4F 0 时 方程 表示以 22 DE 为圆心 22 1 4 2 DEF 为半径的圆 2 当D2 E2 4F 0 时 方程 只有实数解 22 DE xy 即只表示一 个点 22 DE 3 当D2 E2 4F 0 时 方程没 有实数解 因而它不表示任何图形 综上所述 方程x2 y2 Dx Ey F 0 表示的曲线不一定是圆 只有当D2 E2 4F 0 时 它表示 的曲线才是圆 我们把形如x2 y2 Dx Ey F 0 的表示圆的方程称为圆的一 般方程 例 1 判断下列二元二次方程是否表示 圆的方程 如果是 请求出圆的圆心及半 径 1 4x2 4y2 4x 12y 9 0 2 4x2 4y2 4x 12y 11 0 解析 1 将原方程变为 x2 y2 x 3y 9 4 0 D 1 E 3 F 9 4 D2 E2 4F 1 0 此方程表示圆 圆心 1 2 3 2 半径r 1 2 2 将原方程化为 x2 y2 x 3y 11 4 0 D 1 E 3 F 11 4 D2 E2 4F 1 0 此方程不表示圆 学生自己分析探求解决途 径 用配方法将其变形化成 圆的标准形式 运用圆的一 般方程的判断方法求解 但是 要注意对于 1 4x2 4y2 4x 12y 9 0 来说 这里的D 1 E 3 9 4 F 而不是D 4 E 12 F 9 应 用举例 例 2 求过三点A 0 0 B 1 1 C 4 2 的圆的方程 并求这个圆的半径 长和圆心坐标 分析 据已知条件 很难直接写出圆 例 2 讲完后 学生讨论交流 归纳得出 使用待定系数法的一般步骤 1 根据题设 选择标准 通过例题 讲解使学 生理解圆 的一般方 程的代数 特征及与 标准方程 的相互转 化更进一 步培养学 生探索发 现及分析 解决问题 的能力 用心 爱心 专心3 的标准方程 而圆的一般方程则需确定三 个系数 而条件恰给出三点坐标 不妨试 着先写出圆的一般方程 解 设所求的圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0 A 0 0 B 1 1 C 4 2 在 圆上 所以它们的坐标是方程的解 把它们 的坐标代入上面的方程 可以得到关于 D E F的三元一次方程组 即 0 20 42200 F DEF DEF 解此方程组 可得 D 8 E 6 F 0 所求圆的方程为 x2 y2 8x 6y 0 22 1 45 2 rDEF 4 3 22 DF 得圆心坐标为 4 3 或将x2 y2 8x 6y 0 左边配 方化为圆的标准方程 x 4 2 y 3 2 25 从而求出圆的半径r 5 圆心 坐标为 4 3 方程或一般方程 2 根据条件列出关于 a b r或D E F的方程组 3 解出a b r或 D E F 代入标准方程或一 般方程 例 3 已知线段AB的端点B的坐标是 4 3 端点A在圆上 x 1 2 y2 4 运动 求线段AB的中点M的轨迹方程 解 设点M的坐标是 x y 点A的 坐标是 x0 y0 由于点B的坐标是 4 3 且M是线段AB中重点 所以 00 43 22 xy xy 于是有x0 2x 4 y0 2y 3 因为点A在圆 x 1 2 y2 4 上运 动 所以点A的坐标满足方程 x 1 2 y2 4 即 x0 1 2 y02 4 把 代入 得 2x 4 1 2 2y 3 2 4 整理得 22 33 1 22 xy 所以 点M的轨迹是以 3 3 2 2 为圆心 半径长为 1 的圆 教师和学生一起分析解题 思路 再由教师板书 分析 如图点A运动引起 点M运动 而点A在已知圆上 运动 点A的坐标满足方程 x 1 2 y2 4 建立点M与 点A坐标之间的关系 就可以 建立点M的坐标满足的条件 求出点M的轨迹方程 用心 爱心 专心4 课堂练习 课堂练习 P130第1 2 3题 归 纳总结 1 圆的一般方程的特征 2 与标准方程的互化 3 用待定系数法求圆的方程 4 求与圆有关的点的轨迹教师和学生共同总结 让学 生更进一 步 回顾 体会知识 的形成 发展 完 善的过程 课 后作业 布置作业 见习案 4 1 的第二课时学生独立完成 巩固 深化 备选例题 例 1 下列各方程表示什么图形 若表示圆 求出圆心和半径 1 x2 y2 x 1 0 2 x2 y2 2ac a2 0 a 0 3 2x2 2y2 2ax 2ay 0 a 0 解析 1 因为D 1 E 0 F 1 所以D2 E2 4F 0 方程 1 不表示任何图形 2 因为D 2a E 0 F a2 所以D2 E2 4F 4a2 4a2 0 所以方程 2 表示点 a 0 3 两边同时除以 2 得x2 y2 ax ay 0 所以D a E a F 0 所以D2 E2 4F 0 所以方程 3 表示圆 圆心为 2 2 a a 半径 22 12 4 22 rDEFa 点评 也可以先将方程配方再判断 例 2 已知一圆过P 4 2 Q 1 3 两点 且在y轴上截得的线段长为4 3 求圆的方程 分析 涉及与圆的弦长有关的问题时 为简化运算 则利用垂径直径定理和由半弦长 弦心距 半径所构成的三角形解之 解析 法一 设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0 将P Q的坐标分别代入 得 4220 310 DEF DEF 令x 0 由 得y2 Ey F 0 由已知 y1 y2 4 3 其中y1 y2是方程 的两根 y1 y2 2 y1 y2 4y1y2 E2 4F 48 解 联立成的方程组 得 M A x y O B 用心 爱心 专心5 2 0 12 D E F D 10 或E 8 F 4 故所求方程为 x2 y2 2x 12 0 或x2 y2 10 x 8y 4 0 法二 求得PQ的中垂线方程为x y 1 0 所求圆的圆心C在直线 上 故设其坐标为 a a 1 又圆C的半径 22 4 1 rCPaa 由已知圆C截y轴所得的线段长为4 3 而圆C到y轴的距离为 a 222 4 3 2 ra 代入 并将两端平方 得a2 5a 5 0 解得a1 1 a2 5 12 13 37rr 故所求的圆的方程为 x 1 2 y2 13 或 x 5 2 y 4 2 37 评析 1 在解本题时 为简化运算 要避开直接去求圆和y轴的两个交点坐标 否则计算要复杂 得多 2 涉及与圆的弦长有关问题 常用垂径定理和由半弦长 弦心距及半径所构成的直角三角形解之 以简化运算 例 3 已知方程x2 y2 2 t