第五章-向量空间

1 第五章第五章向量空间向量空间 向量空间或称线性空间是一个重要的代数系统 定义了代数运算的集合 现代数学 所涉及的欧氏空间 空间 希尔伯特空间等都是建立在向量空间的基础上的 U 我们知道 在元向量集和矩阵集中 都分别定义了加法和数乘运算 并且就这两nnm 种运算的基本性质而言 在形式上是完全一样的 向量空间就是对这类集合的共性的抽象 学 习向量空间的理论 不仅有助于深化对矩阵理论 线性方程组理论等内容的理解 同时也为 后面两章内容的讨论奠定了基础 除此之外 向量空间的理论和方法在自然科学 工程技术 等领域都有一定的应用 本章重点是向量空间的定义 基 内积 正交矩阵等 5 15 1 向量空间的概念向量空间的概念 定义定义 1 设是一个非空集 是一个数域 如果 VF 1 中定义了一个加法 中有唯一确定的元与它们对应 这个元称为V VV 与的和 记为 2 到有一个数量乘法 中有唯一确定的元与它们对应 这FVk F V V 个元称为与的数量乘积 记为 k k 3 加法与数量乘法满足以下算律 V kl F 1 2 3 称为的零元 有 VV 4 称为的负元 有 V 5 kkk 6 lklk 7 lkkl 8 1 那么称是数域上的一个向量空间 VF 向量空间的元称为向量 定义 1 中的条件 1 和 2 可以合并为 V 有 由于运算是线性的 也将向量空间称为线性空间 FlkV Vlk 例 1 为数域上所有元向量构成的集 对向量的加法和数乘 是上的一个 n FFn n FF 向量空间 例 2 对矩阵的加法和数量乘法构成上的一个 FMFaaFM ijnmij F 向量空间 例 3 在解析几何里 平面或空间中从原点出发的一切向量对向量的加法和实数与向量 的乘法都构成实数域上的向量空间 分别记为 32 V V 例 4 令为定义在区间上的一切连续函数所构成的集 对函数的加法 实 baC ba 数与函数的乘法 是实数域上的向量空间 baC 例 5 复数域是实数域上的向量空间 任意数域都是它自身上的向量空间 CR 由定义 1 可以推出向量空间的如下几个性质 V 1 在向量空间中 零向量是唯一的 V 事实上 若与都是的零向量 便有 1 0 2 0V 2211 0000 2 中每一向量的负向量是唯一的 V 2 事实上 若都是的负向量 即有 那么V 21 0 0 21 22212111 0 0 规定 3 在中 V 0 0 00 k kkk 事实上 00 0 1 等式两边同时加上 得 0 1 1 0 故 i 式成立 由 两边加上 得 即 ii 式成立 0 00 00kkkk 0 k 00 k 由 即是的负元 所以 同00 kkkk k k kk 样可得 kk 4 在中 如果 则0 或 V0 k k0 事实上 若 而0 那么 又 故0 k k00 1 1 k k k 1 1 1 k k k k 0 此外 由于中的加法满足交换律 结合律 中个向量相加 可以任意交换各项的次VVs 序 任意添加括号 所得结果都相同 定义定义 2 2 设是数域上的向量空间 如果 有VF WVWFkW 1 WkW 那么称是的一个子空间 WV 由定义 的子空间一定含中的零向量 0 如果是的子VV则 W W 0 WV 空间 那么也是数域上的向量空间 这是因为对的加法和到的数量乘法封闭 WFWVFV 而定义 1 中的算律 1 至 8 在中成立 在中当然成立 VW 例 6 由向量空间的零向量构成的集 是的子空间 称为零空间 自身是的VVVV 子空间 这两个子空间都称为的平凡子空间 V 例 7 中一切形如 n F 0 121 n aaa Fai 的向量构成的集是的一个子空间 n F 定义 2 中的条件 1 可表示为 FlkW Wlk 2 反之 若 2 成立 则是的一个子空间 WV 事实上 在 2 中 令 得 令 得 由定义 2 是1 lkW 0 lWk W 的子空间 V 在向量空间中 我们可以依照 3 2 中元向量线性相关性的表述来定义诸如向量的Vn 线性组合 线性相关等相应的概念 从而得出相应的结论 从形式上说 这些概念 结论的表 述是完全一样的 只是在向量空间中涉及这些概念 结论的对象 向量以及线性运算 已 经不局限于元向量及其运算 在此 不再一一列出 n 现设是数域上的向量空间 中的个向量的一切线性组合构成的VFVs s 21 集 2 1 2211 siFkkkks iss 是的一个子空间 V 3 事实上 令 S k F ss kkk 22112211 ll 那么 与仍为的线性组合 即有 故 ss l k s 21 S k S 是的子空间 它称为由生成的子空间 记为 SV s 21 L s 21 称为生成向量 s 21 下面我们看一个例子 个方程个未知量的齐次线性方程组 它的所有解向量的集mn0 AX 是的非空子集 若 为元列向量 元列向量为nAT 0 n F n F n 有 那么 则 即 0 0 AAFk 0 A0 kAFkT 有 因此是的一个子空间 由于的任一解都可表示为它的TkT T n F0 AX 基础解系的线性组合 若是的一个基础解系 那么 可表示为 rn 21 0 AX 的线性组合 于是包含于生成子空间 即 rn 21 T 21rn L T 21rn L 反之 任取 令 21rn L 为常数 Fkkkk irnrn 2211 rni 2 1 那么 即 因而 0 2211 rnrn kkkAA T 21rn L T 故 21rn LT 的子空间称为齐次线性方程组的解空间 n F 21rn L 0 AX 最后 我们给出子空间的和的概念 定义定义 3 设是数域上的向量空间的两个子空间 令 21 W WFV 22112121 WWWW 称为子空间 1 W与的和 21 WW 2 W 下面证明是的子空间 事实上 由 知 21 WW VVWVW 2211 因而至少含与的公共零向量 故 V 21 21 VWW 21 WW 1 W 2 W 21 WW 又设 即有 其中 21 WWFlk 21 21 111 W 因为 1 W 是的子空间 所以 于是 222 W 2 WV 111 Wlk 222 Wlk 2122112121 WWlklklklk 故是的一个子空间 子空间的和可以推广到有限个子空间的情形 21 WW V 习习 题题 1 检验以下集合对于所指定的运算是否构成实数域上的向量空间 R 全体实对称矩阵对矩阵的加法和数量乘法 在中 不平行某一向量的全部向量构成的集 对向量的加法和数量乘法 2 V 在中 对于向量的加法和如下定义的数量乘法 2 V Rkk 2 证明 向量空间如果含有一个非零向量 那么它一定含有无穷多个向量 V 3 判断中下列子集哪些是子空间 n R 0 1 21 n i in aaaa 1 1 21 n i in aaaa 4 niZaaaa in 2 1 21 4 是向量空间的子空间 证明也是的子空间 21 W WV 21 WW V 5 在中 设是过原点的平面上的所有向量的集合 是过原点而与该平面相交的直 3 V 1 W 2 W 线上所有向量的集合 证明都是的子空间 与分别含有中哪 21 W W 3 V 21 WW 21 WW 3 V 些向量 5 25 2 基基 维数维数 坐标坐标 在向量空间中 只要有一个非零向量 将无限重复相加 就可以得到中的无穷V V 多个向量 这就是说 除零空间外 其余非零向量空间都有无穷多个向量 这无穷多个向量如 何表示 这是需要我们解决的问题 在 5 1 中 我们提到了齐次线性方程组的解空间 齐次线性方程组若有非零解 则有无 穷多个解 其中每一个解都可以表成基础解系的线性组合 仿照这一事实 我们首先给出 定义定义 1 1 设是向量空间中的个向量 如果 n 21 Vn i 线性无关 n 21 ii 中的每一个向量都可由线性表出 V n 21 那么 称是的一个基 n 21 V 由定义 1 知 任何非零向量空间都存在基 注意向量空间的基与向量组的极大无关组的区别 前者是对无穷多个向量而言 而后V 者是在有限个向量中定义的 例 1 齐次线性方程组的任一个基础解系是它的解空间的一个基 例 2 在中 线性无关 n F 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 21 n nn n n aaaFaaa 221121 故是的一个基 它称为的标准基或自然基 n 21 n F n F 例 3 设 2 MF Fa aa aa ij 2221 1211 令 1 A 00 01 2 A 00 10 3 A 01 00 4 A 10 00 且线性无关 24321 FMAAAA 43212 dAcAbAaA dc ba FM dc ba 有 故的一个基 24321 FMAAAA是 例 4 在中 任何两个不共线的向量是它的基 在中 任何三个不共面的向量是它 2 V 3 V 的基 向量空间的基一般不是唯一的 由定义 1 知 向量空间的任意两个基等价 因而它们V 含有相同个数的向量 为此给出 定义定义 2 2 向量空间的一个基所含向量的个数 称为的维数 记为 VVVdim 零空间的维数是 0 本教材所涉及的都是维数有限的向量空间 例 2 中 例 3 中 例 4 中 dimnF n 4 dim 2 FM3dim 2dim 32 VV 定理定理 5 2 1 设 则中任意个线性无关的向量都是的基 nV dimVnV 5 证 设 I 是中个线性无关的向量 II 是的一个 n 21 Vn n 21 V 基 那么 I 可由 II 线性表示 由替换定理知 I 与 II 等价 可由 II 线性表V 示 因而可由 I 线性表示 根据定义 1 是的基 n 21 V 推论推论 1 1 若 则中任意不同向量线性相关 nV dimV1 n 推论推论 2 2 若 则中任意线性无关的向量都可以扩充成的一nV dimV nrr 个V 个基 事实上 设 是中个线性无关的向量 是的一 r 21 Vr n 21 V 个基 那么 可由 线性表出 根据替换定理 适当变动 中向量的次序 用 取代 中前个向量后所得向量组 r 21 r r 21 nrr 21 与 等价 因而 与 等秩 组 的秩为 故组 线性无关 从而它是的一个nV 基 定理定理 5 2 25 2 2 维向量空间的任一个向量经的一个基线性表出时 其表示法是唯一nVV 的 证 设是的一个基 若 n 21 VV nnnn lllkkk 22112211 那么有 由于线性无关 所以0 222111 nnn lklklk n 21 只有 即 0 ii lk ii lk 2 1ni 定义定义 3 3 令是向量空间的一个基 且 n 21 VV 1 nn kkk 2211 那么 称元有序数组是在基下的坐标 或关于基n 21n kkk n 21 的坐标 n 21 1 式亦可表示为 n 21 n k k k 2 1 由定义 3 知 在例 2 中 关于标准基的坐标是 21n aaa n 21 在例 3 中 关于基的坐标为 21n aaa dc ba 4321 AAAA dcba 向量关于给定基的坐标也称为坐标向量 它是中的向量 求一个向量在给定基下的 n F 坐标 可以通过解线性方程组的方法而得到 下面我们讨论向量空间的两个基之间关系 以及同一向量在不同基下的坐标之间的V 关系 设 是维向量空间的两个基 n 21 n 21 nV 令 2 2211 22221122 12211111 nnnnnn nn nn aaa aaa aaa 以关于基的坐标为列可构成阶矩阵 2 1 nj j n 21 n 6 A nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 称为由基到基的过渡矩阵 显然任意一个基到自身的过A n 21 n 21 渡矩阵是 E 2 式可以记为 3 n 21 n 21 A 同样 设是由基到基的过渡矩阵 即有B n 21 n 21 4 n 21 n 21 B 将 3 代入 4 得 n 21 n 21 AB 因而 说明都是可逆矩阵 n EAB BA 1 AB 反之 设为任一个阶可逆矩阵 是向量空间的一个基 令 ij aA n n 21 V 1 n i iijj a nj 2 1 即有 n 21 n 21 A 因为可逆 于是得A 5 n 21 n 21 1 A 5 式表明可由线性表出 而线性无关 由 2 1 ni i n 21 n 21 替换定理 与等价 于是它们等秩 因而线性无关 它 n 21 n 21 n 21 也是的一个基 V 上述事实表明 任一个阶可逆矩阵都可作为的一个基到另一个基的过渡矩阵 nV 3 式通常称为基变换公式 再看同一向量 在不同基下的坐标之间的关系 设 是的两个基 n 21 n 21 V 6 n 21 n 21 A 且 n 21 n x x x 2 1 n 21 n y y y 2 1 将 6 代入得 n 21 n x x x 2 1 n 21 A n y y y 2 1 由向量关于某一基的坐标的唯一性 得 7 7 n x x x 2 1 A n y y y 2 1 或 8 n y y y 2 1 1 A n x x x 2 1 7 式或 8 式称坐标变换公式 例 已知是的一个基 求的自然基 0 1 1 1 0 1 1 1 0 321 3 F 3 F 到的过渡矩阵 并求的向量关于基的坐标 321 321 3 F 3 1 2 321 解 由 213 312 321 即有 321 321 011 101 110 所以由到的过渡矩阵 321 321 A 011 101 110 而 1 A 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 设 则由 321 3 2 1 y y y 321 3 1 2 得关于基的坐标 321 3 2 1 y y y 1 A 3 1 2 1 3 0 求关于基的坐标 也可通过解方程组求得 事实上 若令 n 21 得线性方程组 332211 kkk 8 3 1 2 21 31 32 kk kk kk 解得 与上面计算结果相同 0 1 k3 2 k1 3 k 习习 题题 1 设是的一个基 求由基到基的过渡矩 n 21 V n 21 12 n 阵 2 证明是的一个基 并求在这 1 1 1 0 1 3 3 1 1 321 3 R 3 0 2 个基下的坐标 3 在中 3 R 1 1 1 1 3 2 1 1 1 2 1 3 1321 321 2 证明与都是的基 并求由到的 10 2 3 321 321 3 R 321 321 过渡矩阵 4 设是数域上全体 3 阶对称矩阵构成的向量空间 求 并给出的一个基 VFVdimV 5 证明 若向量空间的每一个向量都可以唯一表成中向量的线性组VV n 21 合 那么 nV dim 6 设都是向量空间的子空间 且 证明 如果 那 21 W WV 21 WW 21 dimdimWW 么 21 WW 7 设与是中的两组 1 1 1 1 0 1 2 1 21 7 3 1 1 1 0 1 2 21 4 R 向量 求生成子空间与的交的维数 21 L 21 L 5 3 向量空间的同构向量空间的同构 我们知道 在维向量空间中取定一个基之后 中的每一个向量在这个基下的坐nVV 标 是中的向量 并且是唯一的 反过来 设是向量空间的一 n aaa 21 n F n 21 V 个基 对任一个元向量 令n n kkk 21 n F nn kkk 2211 则 是中被唯一确定的一个向量 由此可知 中的向量与中的向量存在一个一一对VV n F 应关系 令 n FVf 任取 V nn kkk 2211 f 21n kkk 那么容易证明是到的一个双射 设 fV n F V nn aaa 2211 nn bbb 2211 9 则 nnn bababa 222111 k nn kakaka 2211 Fk 即有 f f f fk kf 这说明在下 中与中的加法和数量乘法也保持着对应关系 fV n F 定义定义 1 设 是数域上的向量空间 VUF 且为双射 UVf f 如果 有 FkV 1 f f f 2 fk kf 那么称是 到的一个同构映射 此时称与同构 记为 fVUVUVU 如果是 到的同构映射 由是双射 那么是到的同构映射 其中fVUf 1 fUV 而 fV 1 f 向量空间的同构具有 1 自反性 任意向量空间与它自身同构 2 对称性 若 那么 VUUV 3 传递性 若 那么 VU UWVW 同构的两个向量空间 如果不看他们的元素是什么 则它们在本质上是一样的 由本节开始的讨论 立即可得 定理定理 5 3 1 数域上任意一个维向量空间都与同构 FnV n F 根据该定理及同构的对称性 传递性 可得 推论推论 维数相同的两个向量空间同构 下面讨论同构映射的几个性质 设 是数域上的向量空间 是到的同构映射 则VUFfVU 1 0 0 f ff 事实上 在定义 1 中的条件 2 分别取 即得 0 k1 k 2 其中 22112211nnnn fkfkfkkkkf Fki V i ni 2 1 对采用数学归纳法可得 n 3 线性相关 当且仅当线性相关 n 21 21n fff V i 2 1ni 事实上 线性相关 当且仅当有不全为零的数 使 n 21 n kkk 21 10 0 2211 nn kkk 结合性质 1 2 则有 0 2211 nnf kfkfk 因而线性相关 21n fff 由性质 3 知 如果中的向量线性无关 那么中的向量 V n 21 U 21 ff 也线性无关 n f V nn kkk 2211 则 f 2211nnf kfkfk 这表明 如果是的基 那么则是的基 因而若 n 21 V 21n fff U 与同构 那么与有相同的维数 这样定理 5 3 1 的推论中的条件成为一个充分必要VUVU 条件 于是有 定理定理 5 3 2 两个向量空间同构当且仅当它们有相同的维数 由定理 5 3 2 知 数域上的所有n维向量空间都与同构 即不看其元素 它们本质上F n F 是一样的 因此 我们可以将作为数域上所有n维向量空间的代表 n FF 习习 题题 1 设 是向量空间到的一个同构映射 是的子空间 证明是fVWVW 1 VV 1 Vf 的一个子空间 W 2 详细证明 若是向量空间到的同构映射 则的逆映谢是到的同构映fVUf 1 fUV 射 3 复数域作为实数域上的向量空间 证明 CR2dim C 5 4 欧氏空间欧氏空间 本节我们将由一般数域上的向量空间转为对实数域上的向量空间的讨论 实数域FR 上的向量空间简称为实向量空间 R 通常的几何空间是实向量空间 它是一般向量空间的基本模型 我们知道 在几何空间 中 定义了两个非零向量的内积 或点积 数积 3 V 1 cos 其中 分别表示的长度 为与的夹角 在这里 长度与夹角都有直观的几 何意义 而这一点对一般维实向量空间来说 显然是做不到的 因此 我们不能沿用 1 式来定n 义一般实向量空间中两个向量的内积 但是我们希望将长度 夹角等概念引进到一般的实向 11 量空间中来 回顾一下中向量内积的基本性质 3 V kk 0 等号当且仅当时成立 0 这些式子 从形式上来说 只要稍加改变 是完全可以为一般实向量空间所接受的 为此 我们给出 定义定义 1 设是一个实向量空间 如果对于中任意一对向量 有一个唯一确定VV 的记为的实数与它们对应 并且满足如下条件 1 2 3 kk 4 0 等号当且仅当时成立 0 其中是中的任意向量 为任意实数 那么称为向量与的内积 此时称 Vk 对于这个内积来说是一个欧几里德空间 简称欧氏空间 V 例 1 对 1 式确定的内积都是欧氏空间 2 V 3 V 例 2 在里 对于任意两个向量 规定 n R 21n aaa 21n bbb 2 nnb ababa 2211 容易验证 定义 1 中的条件 1 4 被满足 是向量与的内积 对这一内积作成 n R 一个欧氏空间 例 3 是定义在区间上一切连续函数作成的向量空间 对的任意两 baC ba baC 个向量 xf xg 规定 dxxgxfxgxf b a 由定积分的基本性质知 定义 1 中的条件 1 4 被满足 是与的内积 xf xg xf xg 对这一内积作成一个欧氏空间 baC 由定义 1 中的条件 1 4 容易推出如下性质 1 V 0 0 事实上 在条件 3 中 取即可 0 k 2 综合条件 2 3 有V Rba baba 一般地 有V ji Rba ji ri 2 1 sj 2 1 r i s j jiji r i s j jjii baba 1111 12 定义 1 中的条件 4 即是一个非负实数 因而的平方根0 有意义 定义定义 2 是欧氏空间中的一个向量 算术平方根称为向量的长度 记 V 为 即 显然 任何非零向量的长度都是一个正实数 长度为 1 的向量称为单位向0 0 量 如果 是单位向量 如此来作成单位向量称为对单位化 0 在例 2 中 在例 3 中 22 2 2 1 n aaa dxxfxf b a 2 仿中两个向量之间距离的概念 我们称为与的距离 记为 3 V d 下面我们给出欧氏空间中的一个重要不等式 定理定理 5 4 1 设 是欧氏空间中的任两个向量 则有 3 2 当且仅当与线性相关时 3 式才取等号 证 设线性相关 那么或者 或者 此时均有 0 k 2 若线性无关 则对于任意实数 于是 k0 k 0 kk 即有 0 2 2 kk 因此 该不等式左端关于的二次三项式的判别式k 0 2 即 2 在例 2 中 3 表为 2 11 nnb aba 22 1 22 1nn bbaa 这就是柯西 Cauchy 不等式 在例 3 中 3 表为 2 dxxgxf b a 22 dxxgdxxf b a b a 这就是许瓦兹 Schwarz 不等式 最后 我们定义欧氏空间中两个向量的夹角 定义定义 3 设是欧氏空间的两个非零向量 满足等式 V 4 cos 的称为与的夹角 13 由 4 式知 1 1 取 0 则是唯一的 4 表明 非零时 有 为与的夹角 cos 这样一般欧氏空间的内积表示形式与中内积的表示形式趋于统一 3 V 当 而时 此时称与正交 规定零向量与任意向量0 0 0 2 正交 如此有 定义定义 4 是欧氏空间两个向量 若则称与正交 0 欧氏空间中 向量的长度 两个非零向量的夹角 以及两个向量的距离 都与作成欧氏空间 的内积有关 一般地 在同一实向量空间中 不同的内积作成不同的欧氏空间 因而计算长度 夹 角 距离的结果一般也不相同 特别要指出的是 今后提到欧氏空间 其内积都是由 2 给出 n R 习习 题题 1 设 是的任意两个向量 规定 21n aaa 21n bbb n R nnb nababa 2211 2 证明对此规定作成一个欧氏空间 n R 2 在欧氏空间中 求向量与的夹角 4 R 1 2 3 1 2 1 2 2 1 2 3 2 2 1 1 5 1 3 3 设 是欧氏空间的任意两个向量 证明 当 都是非零向量时 在什么情况下可以取等号 4 设是欧氏空间中的向量 证明 d dd 并在中 说明它的几何意义 3 V 5 证明欧氏空间的子空间也是欧氏空间 5 5 正交基正交基 在解析几何里 我们常常将所给的问题放在直角坐标系中来讨论 建立直角坐标以后 从 原点出发 在坐标轴上取单位向量 它们分别构成或的基 而且这种基是两两正交的 在这 2 V 3 V 种基下讨论问题 一般都显得十分方便 我们意图将这种基形式地引进到一般欧氏空间中来 由于欧氏空间是特殊的实向量空间 而且其中有了向量正交的概念 实现上述想法是完全可能 14 的 我们已经知道 欧氏空间的基 n R 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 n 满足 1 0 ji ji ji 说明它们是单位向量 而且两两正交 那么 在一般欧氏空间中 如何将一个基转化为另一个基 使这个基的任意两个不同的向量正交 为此 我们首先给出 定义定义 1 在欧氏空间中 一组两两正交的非零向量 称为的一个正交向量组 简称正VV 交组 定理定理 5 5 1 正交组是线性无关的 证 设是欧氏空间的一个正交组 令 s 21 1 0 2211 ss kkk 由时 用与 1 两边作内积 得 因 所以ji 0 ji i 0 iii k 0 i 于是得 故线性无关 0 ii 0 i kni 2 1 s 21 定义定义 2 如果维欧氏空间的一个正交组含个向量 那么称这个正交组是的一个nVnV 正交基 若正交基中每一个基向量都是单位向量 则称它为标准正交基 例 上面提到的是的一个标准正交基 n 21 n R 如果能将中一个线性无关组 化为一个正交组 则的任意一个基便可化为一个正交VV 基 再将它单位化 便得到标准正交基 为了说明问题 先设是中两个线性无关 21 2 V 的向量 我们希望将它们转化为两个正交向量 为此先 取 而与正交的向量 应满足 11 1 2 0 21 从右图看出是与的线性组合 2 2 1 令 由 122 k 0 1112112 kk 求得 于是 11 12 k 1 11 12 22 仿此 在一般欧氏空间中 设是的一个线性无关组 按照上述方法 先取V s 21 V 而后由确定 再由确定 使与正交 如此下去 一般 11 12 2 123 3 3 12 地 2 2 2 11 1 11 1 1 11 1 k k kk kk kk 15 此时 0 ii ii ik ikik 1 2 1 ki 这说明是两两正交的 k 21 这样便可化为一个正交组 由此 我们有如下结论 s 21 s 21 任何非零欧氏空间都有正交基 从而有标准正交基 按照 2 式将一个基化为正交基的方法 称为正交化方法 当空间的维数较大时 在正交 化过程中 计算内积的次数多 计算量较大 但是 目前对此尚无更好的方法 在一般向量空间中 我们讨论了一个基到另一个基的过渡