高中数学《推出和充分条件、必要条件》学案2 新人教B版选修2-1

用心 爱心 专心1 20102010 届高三数学一轮复习强化训练精品届高三数学一轮复习强化训练精品 命题及其关系 充分条件与必要条件命题及其关系 充分条件与必要条件 基础自测基础自测 1 2009 成化高级中学高三期中考试成化高级中学高三期中考试 若命题 对xR R x2 4cx 1 0 是真命题 则实数 c 的取值范围是 答案答案 2 1 2 1 2 2008 湖北理湖北理 2 若非空集合 A B C 满足 A B C 且 B 不是 A 的子集 则下列说法中正确的是 填序号 x C 是 x A 的充分条件但不是必要条件 x C 是 x A 的必要条件但不是充分条件 x C 是 x A 的充要条件 x C 既不是 x A 的充分条件也不是 x A 的必要条件 答案答案 3 若命题 p 的否命题为 r 命题 r 的逆命题为 s 则 s 是 p 的逆命题 t 的 命题 答案答案 否 4 2008 浙江理浙江理 3 已知 a b 都是实数 那么 a2 b2 是 a b 的 条件 答案答案 既不充分也不必要 5 设集合 A B 有下列四个命题 AB对任意 x A 都有 xB ABA B ABBA AB存在 x A 使得 xB 其中真命题的序号是 把符合要求的命题序号都填上 答案答案 例例 1 1 把下列命题改写成 若 p 则 q 的形式 并写出它们的逆命题 否命题 逆否命题 1 正三角形的三内角相等 2 全等三角形的面积相等 3 已知 a b c d 是实数 若 a b c d 则 a c b d 解解 1 原命题即是 若一个三角形是正三角形 则它的三个内角相等 逆命题 若一个三角形的三个内角相等 则这个三角形是正三角形 或写成 三个内角相等的三角形是正三角形 否命题 若一个三角形不是正三角形 则它的三个内角不全相等 逆否命题 若一个三角形的三个内角不全相等 那么这个三角形不是正三角形 或写成 三个内角不全相等的三角形不是正三角 形 2 原命题即是 若两个三角形全等 则它们的面积相等 逆命题 若两个三角形面积相等 则这两个三角形全等 或写成 面积相等的三角形全等 否命题 若两个三角形不全等 则这两个三角形面积不相等 或写成 不全等的三角形面积不相等 逆否命题 若两个三角形面积不相等 则这两个三角形不全等 3 原命题即是 已知 a b c d 是实数 若 a b c d 则 a c b d 其中 已知 a b c d 是实数 是大前提 a 与 b c 与 d 都 相等 是条件 p a c b d 是结论 q 所以 逆命题 已知 a b c d 是实数 若 a c b d 则 a 与 b c 与 d 都相等 否命题 已知 a b c d 是实数 若 a 与 b c 与 d 不都相等 则 a c b d 逆否命题 已知 a b c d 是实数 若 a c b d 则 a 与 b c 与 d 不都相等 用心 爱心 专心2 例例 2 2 指出下列命题中 p 是 q 的什么条件 在 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 中 选出一种作答 1 在 ABC 中 p A B q sinA sinB 2 对于实数 x y p x y 8 q x 2 或 y 6 3 非空集合 A B 中 p x A B q x B 4 已知 x y R R p x 1 2 y 2 2 0 q x 1 y 2 0 解解 1 在 ABC 中 A BsinA sinB 反之 若 sinA sinB 因为 A 与 B 不可能互补 因为三角形三个内角和为 180 所以只有 A B 故 p 是 q 的充要条件 2 易知 p x y 8 q x 2 且 y 6 显然qp 但pq 即q 是p 的充分不必要条件 根据原命题和逆否命题 的等价性知 p 是 q 的充分不必要条件 3 显然 x A B 不一定有 x B 但 x B 一定有 x A B 所以 p 是 q 的必要不充分条件 4 条件 p x 1 且 y 2 条件 q x 1 或 y 2 所以 pq 但 qp 故 p 是 q 的充分不必要条件 例例 3 3 14 分 已知 ab 0 求证 a b 1 的充要条件是 a3 b3 ab a2 b2 0 证明证明 必要性 a b 1 a b 1 0 2 分 a3 b3 ab a2 b2 a b a2 ab b2 a2 ab b2 5 分 a b 1 a2 ab b2 0 7 分 充分性 a3 b3 ab a2 b2 0 即 a b 1 a2 ab b2 0 9 分 又 ab 0 a 0 且 b 0 a2 ab b2 a b2 0 4 3 2 2 b a b 1 0 即 a b 1 12 分 综上可知 当 ab 0 时 a b 1 的充要条件是 a3 b3 ab a2 b2 0 14 分 1 写出下列命题的否命题 并判断原命题及否命题的真假 1 如果一个三角形的三条边都相等 那么这个三角形的三个角都相等 2 矩形的对角线互相平分且相等 3 相似三角形一定是全等三角形 解解 1 否命题是 如果一个三角形的三条边不都相等 那么这个三角形的三个角也不都相等 原命题为真命题 否命题也为真命题 2 否命题是 如果四边形不是矩形 那么对角线不互相平分或不相等 原命题是真命题 否命题是假命题 3 否命题是 不相似的三角形一定不是全等三角形 原命题是假命题 否命题是真命题 2 2008 湖南理湖南理 2 x 1 2 成立 是 x x 3 0 成立 的 条件 答案答案 必要不充分 3 证明一元二次方程 ax2 bx c 0 有一正根和一负根的充要条件是 ac 0 用心 爱心 专心3 证明证明 充分性 若 ac 0 则 b2 4ac 0 且 0 a c 方程 ax2 bx c 0 有两个相异实根 且两根异号 即方程有一正根和一负根 必要性 若一元二次方程 ax2 bx c 0 有一正根和一负根 则 b2 4ac 0 x1x2 0 ac 0 a c 综上所述 一元二次方程 ax2 bx c 0 有一正根和一负根的充要条件是 ac 0 一 填空题一 填空题 1 下列命题 5 4 或 4 5 9 3 命题 若 a b 则 a c b c 的否命题 命题 矩形的两条对角线相等 的逆命题 其 中假命题的个数为 答案答案 1 2 2008 重庆理重庆理 2 设 m n 是整数 则 m n 均为偶数 是 m n 是偶数 的 条件 答案答案 充分不必要 3 x 1 是 x2 x 的 条件 答案答案 充分不必要 4 2009 成化高级中学高三期中考试成化高级中学高三期中考试 已知函数 f x ax b 0 x 1 则 a 2b 0 是 f x 0 恒成立的 条件 填 充分不必要 必要不充分 充分必要 既不充分也不必要 之一 答案答案 必要不充分 5 在 ABC 中 sin2A 是 A 30 的 条件 2 3 答案答案 必要不充分性 6 2008 安徽理安徽理 7 a 0 方程 ax2 2x 1 0 至少有一个负数根的 条件 答案答案 充分不必要 7 设集合 A B则集合 4 xx 034 2 xxx BAxAxx 且 答案答案 31 xx 8 设 A B则使 AB 成立的实数 m 的取值范围是 1 1 22 yxyx 0 myxyx 答案答案 m12 二 解答题二 解答题 9 求关于 x 的方程 x2 mx 3m 2 0 的两根均大于 1 的充要条件 解解 设方程的两根分别为 x1 x2 则原方程有两个大于 1 的根的充要条件是 即 0 1 1 0 1 1 0 23 4 21 21 2 xx xx mm 且 且 0 1 02 0812 2121 21 2 xxxx xx mm 且 又 x1 x2 m x1x2 3m 2 故所求的充要条件为 m 6 2 2 1 2 726726 m m mm且 7 用心 爱心 专心4 10 已知 x y R R 求证 x y x y 成立的充要条件是 xy 0 证明证明 充分性 若 xy 0 则 x y 至少有一个为 0 或同号 x y x y 一定成立 必要性 若 x y x y 则 x y 2 x y 2 x2 2xy y2 x2 2 xy y2 xy xy xy 0 综上 命题得证 11 a b c 为实数 且 a b c 1 证明 两个一元二次方程 x2 x b 0 x2 ax c 0 中至少有一个方程有两个不相等的实数根 证明证明 假设两个方程都没有两个不等的实数根 则 1 1 4b 0 2 a2 4c 0 1 2 1 4b a2 4c 0 a b c 1 b c a 1 1 4 a 1 a2 0 即 a2 4a 5 0 但是 a2 4a 5 a 2 2 1 0 故矛盾 所以假设不成立 原命题正确 即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根 12 设 是方程 x2 ax b 0 的两个根 试分析 a 2 且 b