基于MATLAB自动控制系统时域频域分析与仿真

合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 I 基于 MATLAB 的自动控制系统时域频域分析与仿真 摘 要 自动控制系统就是在无人直接操作或干预的条件下 通过控制装置使控制对象自动 的按照给定的规律运行 使被控量按照给定的规律去变化的系统 在现代工业生产中 自动控制系统已经遍布每一个角落 对于线性时不变控制系统 可以通过时域 频域分 析法来分析系统的性能 但是对于多输入多输出的控制系统 时域 频域分析已经无能 为力 鉴于这样的控制系统 可以通过线性系统的状态空间分析法来分析 本文针对自 动控制系统的设计很大程度上还依赖于实际系统的反复实验 结合具体的实例 介绍了利 用先进的 MATLAB 软件对自动控制系统进行时域 频域分析与仿真和线性系统状态空间分 析的方法 通过快速直观的仿真和分析达到自动控制系统的优化 关键词 MATLAB 自动控制系统 时域 频域 状态空间 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 II ABSTRACT Automatic control system makes object operate according to a certain law automatically to let the controlled quantity change by given law on the condition that nobody operate and control directly Automatic control system exists every corner of the world in the modern industrialized production which can analyze the performance of the system by time domain and frequency domain for the linear time invariant control systems However to the system with multiple inputs and multiple outputs the way to analyze through time domain and frequency domain can not do anything Due to the control system it can analyze through linear system state space Due to this point that the design of automatic control system largely depends on repeated practice and modification combined with the concrete example this paper introduces the ways to analyze and simulate the time domain and frequency domain and linear system state space of automatic control system by advanced MATLAB it can reach the optimal of automatic control system by direct and fast Key words MATLAB Automatic control system Time domain Frequency domain State space 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 III 目 录 一 绪论 1 1 1 题目背景 研究意义 1 1 2 国内外研究现状 1 1 3 研究内容 1 二 自动控制系统基础 2 2 1 自动控制系统的概述 2 2 2 开环 闭环控制系统 2 2 3 控制系统的性能要求 3 三 MATLAB 基础介绍 4 3 1 MATLAB 简介 4 3 2 Simulink 简介 4 3 3 Simulink 仿真过程 4 3 4 Simulink 仿真实例 5 四 自动控制系统的时域分析 7 4 1 时域分析简介 7 4 2 动态过程与动态性能 7 4 3 稳态过程与稳态性能 7 4 4 控制系统的稳定性 8 4 5 时域分析法的 MATLAB 实现 8 4 5 1 控制系统的动态性能分析 8 4 5 2 控制系统的稳态性能分析 10 4 5 3 控制系统的稳定性分析 11 五 自动控制系统的频域分析 13 5 1 频域分析法简介 13 5 2 有关频率分析法的几个概念 13 5 3 频率特性的性能指标 13 5 4 频域分析法的 MATLAB 实现 14 5 4 1 Bode 图的绘制 14 5 4 2 Bode 图分析控制系统的稳定性 15 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 IV 六 线性系统的状态空间分析 18 6 1 状态空间模型 18 6 2 状态反馈 18 6 3 控制系统的可控性和可观性 19 6 3 1 控制系统的可控性 19 6 3 2 控制系统的可观性 20 6 4 极点配置 21 6 4 1 极点配置简介 21 6 4 2 单输入单输出系统的极点配置 21 七 总结 24 参考文献 25 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 1 一一 绪论 1 1 题目背景 研究意义 自动控制技术在航空航天 机器人控制 导弹制造及等高新技术领域中的应用越来 越深入广泛 自动控制理论和技术必将进一步发挥更加重要的作用 由于有些系统不可 能直接进行实验 只能对其进行仿真 MATLAB 语言的出现为控制系统的仿真和分析带 来全新的手段 MATLAB 仿真已经成为控制系统分析和设计的重要应用手段 利用 MATLAB 软件中的仿真工具箱来实现自动控制系统时域和频域分析 状态空间分析 能 够直观 快速地分析达到系统的正确评价 1 2 国内外研究现状 自动控制理论是随着人类的发展而发展的 并随着生产力的提高和科技的进步而不 断完善的 1868 年 麦克斯韦开辟了用数学途径研究控制系统的方法 奠定了时域分析法的基 础 1932 年 美国物理学家建立了稳定性判断准则 奠定了频率分析法的基础 随后伯 德进一步加以发展 形成了经典控制理论中的频域分析法 到 20 世纪 60 年代 以状态 方程为系统的数学模型 最优控制为核心的控制方法确定 现代控制理论由此而产生 控制理论目前还在向更深的领域发展 在控制科学研究中注入了蓬勃的生命力 1 MATLAB 是一种面向科学和工程计算的高级软件 它提供了丰富的函数和矩阵处理 功能 使用极其方便 因而很快引起控制理论领域研究人员的重视 MATLAB 中的 Simulink 使复杂系统的仿真成为可能 MATLAB 把一般目的的应用和高深的专业应用完 美的结合在一起 成为国际性的计算软件 1 3 研究内容 1 熟悉自动控制系统理论和 MATLAB 软件 2 了解 MATLAB 软件的编程思路与方法 并熟悉 Simulink 建模和仿真过程 3 完成使用 MATLAB 软件对自动控制系统进行时域 频域分析与仿真和线性系统 状态空间分析的方法 编写相关程序 4 对仿真结果进行分析 评价控制系统的性能 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 2 二 自动控制系统基础 2 1 自动控制系统的概述 在现代社会生产过程中 为了提高产品的质量 需要对生产设备和生产过程进行自 动控制 使被控的量按照期望的规律去变化 这些被控制的设备称为控制对象 被控制 的量称为被控量或输出量 生产设备或生产过程中 一般只考虑对输出量影响最大的物理量 这些量称为输入 量 输入量可以分为两种类型 一种保证对象的行为达到所要求的目标 这类输入量称为控制 量 另一种是妨碍对象的行为达到目标 这一类输入量称为扰动量 自动控制系统是在无人直接参与的情况下 可使生产过程按照期望的运行规律去运 行的控制系统 系统是完成要求和任务的部分的组合 2 2 2 开环 闭环控制系统 如果控制系统的输出量对系统运行过程或结果没有控制作用 这种系统称为开环控 制系统 图 2 1 表示了开环控制系统输入量与输出量之间的关系 输入量输出量 扰动量 控制器控制对象 图 2 1 开环控制系统示意图 这里 输入量直接作用于控制对象 不需要将输出量反馈到输入端与输入量进行比 较 所以只有输入量影响输出量 当出现扰动时 若没有人的干预 输出量将不能按照 输入量所希望的状态工作 闭环控制系统是把输出量检测出来 再反馈到输入端与输入量进行相减或者相加 利用比较后的偏差信号 经过控制器对控制对象进行控制的系统 图 2 2 表示了闭环控 制系统输入量 输出量和反馈量之间的关系 扰动量 反馈量 输出量输入量偏差 控制器控制对象 检测装置 图 2 2 闭环控制系统示意图 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 3 这种系统把输出量经检查后 变成输入量相同的物理量反馈到输入端形成闭环 参 与系统的控制 所以称为闭环控制系统 由于系统是根据负反馈原理按偏差进行控制的 所以也称为反馈系统或偏差控制系统 2 3 控制系统的性能要求 在控制过程中 当扰动量发生变化时 通过反馈控制的作用 经过短暂的过渡过程 被控量又恢复到原来的稳定值 或按照新的给定量稳定下来 这时系统从原来的平衡状 态过渡到新的平衡状态 我们把被控量处于变化的状态称为动态或暂态 而把被控量在 相对稳定的状态称为静态或稳态 对控制系统性能有三个方面的要求 3 1 稳定性 稳定性定义为系统受到外扰或内扰作用以后 恢复原来状态或形成新的平衡状态的 能力 稳定是系统正常工作的首要条件 2 快速性 自动控制系统不仅要满足动态性能的要求 还应能满足暂态性能的要求 为了满足 生产过程中的要求 往往要求系统暂态过程不但是稳定的 而且进行得越快越好 振荡 程度越小越好 3 准确性 稳态误差是指系统达到稳定时 输出量的实际值和期望值之间的误差 这一性能反 映了稳定时系统的控制精度 稳态误差越小 系统性能越好 给定稳态误差是在参考输入信号的作用下 当系统达到稳定后 其稳态输出与参考 输入所要求的期望输出之差 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 4 三 MATLAB 基础介绍 3 1 MATLAB 简介 MATLAB 程序设计语言是 MathWorks 公司于 20 世纪 80 年代推出的高性能的数值矩 阵计算软件 其功能强大 适用范围广泛 提供了丰富的库函数 编程简单 易懂 效 率高 MATLAB 无论作为科学研究与工程运算的工具 还是作为控制系统方阵的教学工 具 都是必不可少的 目前 MATLAB 已经成为国际学术界公认的最流行的科学计算软 件 MATLAB 主要由以下三个部分组成 下面分别加以介绍 4 1 MATLAB 图形处理系统 这是 MATLAB 图形系统的基础 它包括生成二维数据和三维数据可视化 图像处理 动画及演示图形和创建完整的图形用户接口的命令 2 MATLAB 数学函数库 MATLAB 提供了非常丰富的数学计算函数 可以进行简单和复杂的数学计算 比如 矩阵求逆 级数求和 贝塞尔函数和快速傅里叶变换等 3 MATLAB 应用程序接口 MATLAB 用户能够在 MATLAB 环境中使用其它程序 也可以从 MATLAB 中调用其 它程序 3 2 Simulink 简介 MATLAB 除了在工具箱中提供一些具有特殊功能的函数命令供用户使用外 还为用 户提供一个建模与仿真的工作平台 Simulink Simulink 采用模块组合的方法来创建系统的 计算机模型 在这个环境中 用户无需大量的书写程序 而只需通过简单的鼠标操作 选取所需要的库模块 就可以构造出复杂的仿真系统 其主要特点是快速 准确 对于 复杂的非线性系统 效果更为明显 3 3 Simulink 仿真过程 在 Simulink 模块库中选取所需的模块 按照要求把所选模块连接好 就可以进行仿 真实验 其仿真过程分为两个阶段 1 初始化阶段 1 对模型的参数进行有效的评估 得到它们实际的计算值 2 展开模型中的各个层次 3 按照更新的层次对模型进行排序 2 模型执行阶段 1 按照次序依次计算每个模块的积分 2 根据输入来决定状态的微分 得到微分矢量 以计算下一个采样点的状态矢量 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 5 3 4 Simulink 仿真实例 在社会中 控制系统的结构是复杂 如果不借用控制系统建模与仿真软件 则很难 把一个控制系统的复杂模型输入给计算机 5 下面结合具体的实例 介绍 Simulink 中控 制系统建模和仿真的一般方法 例 3 1 用 Simulink 建立一个如图 3 1 所示的典型 PID 控制系统的模型 并进行 仿真 方框图中第一个方框为 PID 控制器的积分和微分环节 这些环节可以用比例加积 分和比例加微分的方式来实现 y t R t K K s p s Ki d 2045369 20265 234 23 ssss sss 图 3 1 典型 PID 控制系统的方框图 仿真步骤 1 启动 Simulink 弹出 Simulink 窗口 打开一个新的编辑窗口 2 在 Simulink 窗口中单击 Simulink 中的 Sources 把 Step 阶跃输入 模块添加到编辑窗口内建 立一个阶跃输入模型 3 在 Math Operations 模块库中选出 Grain 比例 模块 Sum 加 减 模块和 Add 加法 模块 并添加到编辑窗口中 4 在 Continuous 模块库中选出 Integrator 积分 模块 Derivative 微分 模块和 Transfer Fcn 传递函数 模型 并添加到 编辑窗口中 5 在 Sinks 模块库中选出 Out1 输出 模块 并添加到编辑窗口中 6 按 照要求设置所选模块的参数 最后将整个模型连接起来 如图 3 2 所示 也就是仿真所 需的模型 1 Out1 num s den s Transfer Fcn Step 1 s Integrator 1 Gain2 1 Gain1 1 Gain du dt Derivative Add 图 3 2 PID 控制系统模型的 Simulink 实现 仿真的结果如下图 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 6 图 3 3 PID 控制系统仿真结果 由图 3 3 可知 上升时间s 延时时间s 峰值时间s 此值较大 1 4 r t1 2 d t5 5 p t 说明系统对输入信号的反映能力弱 调整时间s 此值较大 系统的响应慢 说明2 8 s t 输出信号复现输入信号的能力弱 超调量 13 5 此值小 说明系统的平稳性好 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 7 四四 自动控制系统的时域分析自动控制系统的时域分析 4 1 时域分析简介 时域分析法是根据微分方程 利用拉氏变换直接求出系统的时间响应 然后按照响 应曲线来分析系统的性能 是一种直接在时域中对系统进行分析的方法 具有直观和准 确的优点 控制系统时域分析法最常用的方法有两种 一是当输入为单位阶跃信号时 求出系统的响应 二是当输入为单位冲激信号时 求出系统的响应 6 4 2 动态过程与动态性能 动态过程又称为过渡过程或瞬态过程 是指系统在典型输入信号作用下 其输出量 从初始状态到最终状态的响应过程 通常 在单位阶跃信号作用下 稳定系统的动态过 程随时间t变化的指标称为动态性能指标 控制系统的动态性能指标一般有以下几个 1 上升时间 r t 系统响应从零首次上升到稳态值 h 所需的时间定义为上升时间 2 延时时间 d t 从输入信号开始施加时起 系统输出时间响应第一次达到稳态值 50 所需要的时间 定义为延时时间 3 峰值时间 p t 系统响应超过其终值达到第一个峰值所需要的时间定义为峰值时间 它反映了系统 对输入信号反应的快速性 值越小 系统对输入信号反映越快 4 调整时间 s t 响应达到并保持在终值 2 或 5 误差内所需要的最短时间定义为调节时间 在默认 情况下 MATLAB 计算动态性能时 取误差范围为 2 它反应了动态过程进行得快慢 是系统快速性指标 值越小 系统的快速性就越好 5 超调量 响应的最大偏差量 h t 与终值 h 的差与终值 h 之比的百分数 定义为超调量 p 即 4 1 100 h hth p 它反应了动态过程的平稳性 值越小 平稳性越好 4 3 稳态过程与稳态性能 稳态过程又称为稳态响应 指系统在典型输入信号作用下 当时间 t 趋于无穷大时 系统输出量的表现方式 它表现系统输出量最终复现输入量的程度 提供系统有关稳态 误差的信息 7 稳态误差是控制系统控制准确度的一种量度 也称为稳态性能 若时间趋于无穷大 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 8 时系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数 则系统存在稳态误差 对于图 4 2 所示的控制系统 输入信号至误差信号之间的误差传递函数为 sR sE 1 1 sHsGsR sE s e 4 2 C s E s B s R s sG sH 则系统的误差信号为 4 3 11 sRssEte e 当的极点均位于 左半平面时 应用拉普拉斯变换的终值定理可求出系统的稳 ssEs 态误差为 4 4 1 lim lim lim 00 sHsG ssR ssEtee sst ss 4 4 控制系统的稳定性 稳定性是控制系统的重要性能 也是系统能正常运行的首要条件 系统原处于某一 平衡状态 若它受到瞬间的某一扰动作用而偏离原来的平衡状态 当扰动撤消后 系统 仍能回到原有的平衡状态 则称该系统是稳定的 反之 系统为不稳定的 线性系统的 稳定性只取决于系统本身 与外界无关 若系统是连续时间控制系统 其闭环传递函数的极点均严格位于 s 左半平面 则此系 统是稳定系统 若系统是离散时间控制系统 其闭环特征根位于 z 平面上的单位圆周内部 即其闭环特征根的模小于 1 4 5 时域分析法的 MATLAB 实现 4 5 1 控制系统的动态性能分析 MATLAB 提供了线性定常系统的各种时间响应函数和各种动态性能分析函数 部分 函数如下表所示 8 本文主要介绍 step 函数和 impulse 函数 表 4 1 部分时域响应分析函数 函数名称功能 step计算并绘制线性定常系统阶跃响应 impulse计算并绘制连续时间系统冲激响应 initial计算并绘制连续系统零输入响应 lism仿真线性定常连续模型对任意输入的响应 dstep计算并绘制离散时间系统阶跃响应 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 9 1 step 函数 功能 求线性定常系统的单位阶跃响应 其调用格式如下 step sys 绘制系统 sys 的单位阶跃响应曲线 例 4 1 已知典型系统的传递函数为 求系统的单位阶跃响 122 1 12 2 ss sG 应 MATLAB 编程 sys tf 12 1 1 2 12 step sys xlabel t ylabel y title 单位阶跃响应 grid on 图 4 1 系统的单位阶跃响应图形 由图可知 上升时间s 延时时间s 峰值时间 0 9s 此值较小 说5 0 r t3 0 d t p t 明系统对输入信号反应快 调节时间 6 4s 此值较大 系统的快速性差 输出信号复 s t 现输入信号的能力弱 超调量 58 此值较大 说明系统的平稳性较差 2 impulse 函数 功能 求线性定常系统的单位冲激响应 其调用格式若下 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 10 impulse sys 绘制系统的单位冲激响应曲线 例 4 2 已知典型系统的传递函数为 求系统的冲激响应 4 4 2 ss sG MATLAB 编程 sys tf 4 1 1 4 impulse sys xlabel t ylabel y title 单位冲激响应 grid on 图 4 2 系统的冲激响应图形 4 5 2 控制系统的稳态性能分析 控制系统静态误差系数即稳态误差系数 是表明系统的典型外作用下稳态精度的指 标 常用的有 3 种误差系数 9 1 静态位置误差系数 p K 4 5 lim 0 sHsGK s p 2 静态速度误差系数 v K 4 6 lim 0 sHssGK s v 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 11 3 静态加速度误差系数 a K 4 7 lim 2 0 sHsGsK s a 在式 4 5 到 4 7 中 是闭环系统的开环传递函数 和分别标明 sHsG p K v K a K 系统在给定阶跃输入下 在给定斜坡输入下与在给定等加速度输入下的稳态或静态精度 4 3 负反馈系统的闭环传递函数为 试求此系统的稳态位置 15105 4 2 ss s 速度与加速度误差系数 与 p K v K a K MATLAB 编程 syms s phib Gb Kp Kv Ka phib 4 5 s 2 10 s 15 Gb solve 4 5 s 2 10 s 15 Gb 1 Gb Gb Kp limit Gb s 0 right Kv limit s Gb s 0 right Ka limit s 2 Gb s 0 right 运行程序 输出如下 Kp 4 11 Kv 0 Ka 0 此系统的各个误稳态差都较小 表示系统的输出跟随参考输入的精度越高 4 5 3 控制系统的稳定性分析 应用 MATLAB 可以方便快捷的对控制系统进行时域分析 由于控制系统的闭环极点 在 s 平面上的分布决定了控制系统的稳定性 所以要判断控制系统的稳定性 只需要确定 控制系统闭环极点在 s 平面上的分布 在 MATLAB 中 可以使用函数 pzmap 绘制系统 的零极点图判断系统的稳定性 例 4 3 已知系统的传输函数为 判断该系统 27243 64523 2345 234 sssss ssss sG 的稳定性 MATLAB 编程 sys tf 3 2 5 4 6 1 3 4 2 7 2 pzmap sys xlabel 实轴 ylabel 虚轴 title 系统的零极点图 grid on 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 12 图 4 3 系统零极点分布图 由图 4 3可知 该系统有极点位于 s 的右半平面 所以该系统不是稳定系统 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 13 五 自动控制系统的频域分析 5 1 频域分析法简介 频域分析法是自动控制领域中应用又一种数学工具频率特性来研究控制系统过程性 能 即稳定性 快速性及稳定精度的方法 这种方法可以直观地表达出系统频率特性 而且分析方法简单 物理概念明确 可以从系统的频率特性上直接地看出物理实质 频 域分析法里主要用到 3 种曲线 Bode 图 Nyquist 曲线图 Nichols 曲线图 Bode 图在频 域分析法里占有重要的地位 10 5 2 有关频率分析法的几个概念 1 频率响应 当线性系统受到正弦信号作用时 系统稳定后输出的稳态分量仍然是同频率的正弦 信号 这种过程叫做系统的频率响应 2 频率特性 正弦信号的作用下 系统输出的稳态分量为同频率的正弦信号 其振幅与输入正弦 信号振幅的比相对于正弦信号角频率间的关系叫做幅频特性 其相位与输入正弦信 wA 号的相位之差相对于正弦信号角频率间的关系叫做相频特性 w 系统频率响应与输入正弦信号的复数比叫做系统的频率特性 记作 5 1 jw ewAjwG 系统的频率特性与系统的传递函数之间有着简单而直接的关系 5 2 jws sGjwG 3 Bode 图 Bode 图即对数频率特性曲线 Bode 图有两条曲线 分别是对数幅频特性曲线和对数 相频特性曲线 横坐标都是角频率 是按常用对数 以 10 为底的对数 刻度的 即w 其单位是弧度每秒 对数相频特性的纵坐标是 等分刻度 其单位为度或弧wlg w 度 而对数幅频特性的纵坐标是 20lg 也是等分刻度 其单位为分贝 wL wA 4 幅相特性 系统的频率特性里既有振幅信息又有相位信息 所以又叫做系统 wj ejwAjwG 的幅相特性 幅相特性图形化的形式 即是幅相特性曲线 5 3 频率特性的性能指标 采用频域方法进行线性控制系统设计时 时域内采用的诸如超调量 调整时间等描 述系统性能的指标不能使用 需要在频域内定义频域性能指标 11 主要有以下几个 1 峰值 它是幅频特性的最大值 一般来说 峰值的大小表明闭环控制系统相对稳定性 wA 的好坏 峰值越大 表明系统对某个频率的正弦信号反映强烈 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 14 2 带宽 它是幅频特性的数值衰减到 0 707时对应的角频率 带宽用于衡量控制系 wA 0 A 统的快速性 带宽越宽 表明系统复现快速变化信号的能力越强 阶跃响应的上升时间 和调整时间就越短 3 相频宽 它是相频特性等于时对应的角频率 相频宽也用于衡量系统的快速性 w 2 相频宽高 表明输入信号的频率越高 即系统反应快速 快速性好 4 剪切频率 系统开环对数幅频特性曲线 20lg G 与横坐标轴交点的角频率 常用w 来表示 c w 5 穿越频率 系统开环对数相频特性曲线与线交点所对应的角频率 w 常用来表示 g w 6 稳定欲度 1 相角稳定欲度 系统开环幅相特性曲线上模值等于 1 的向量与负实轴的夹角 常用 表示 jwG 即 c w 5 3 2 幅值稳定裕度 系统开环幅相特性曲线与负实轴交点模值的倒数 常用来表示 即 jwG c w c wGh 5 4 1 c wG h 5 4 频域分析法的 MATLAB 实现 5 4 1 Bode 图的绘制 MATLAB 提供的频域分析函数如表 5 1 所示 本文主要介绍函数 bode 其基本调用 格式为 bode sys bode sys w mag phase w bode sys 表 5 1 频域分析函数 函数名功能 bode绘制 Bode 图 nichols绘制 Nichols 图 nyquist绘制 Nyquist 图 margin计算系统的增益和相位裕度 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 15 sigma绘制系统奇异值 Bode 图 Bode 函数用来计算并绘制系统的 Bode 图 当函数命令为等式左边输出变量的格式 时 函数在当前窗口中直接绘制出系统的 Bode 图 线性时不变系统对象 sys 可以是由函数 tf zpk ss 中的任何一个函数建立的系统 模型 12 w 用来定义绘制 Bode 图时的频率范围或者频率点 第三条语句只计算系统 Bode 图的输出数据 而不绘制曲线 mag 为系统 Bode 图的振幅值 phase 为 Bode 图的 相位值 例 5 1 已知系统的传递函数为 绘制系统的 Bode 图 ssss s sG 243 615 234 MATLAB 编程 num 15 6 den 1 3 4 2 0 sys tf num den bode sys grid on 图 5 1 系统的 bode 图 5 4 2 Bode 图分析控制系统的稳定性 MATLAB 提供了直接求解系统的幅值稳定裕度和相位稳定裕度的函数 margin 其调 用格式为 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 16 Gm Pm Wcg Wcp margin sys Gm Pm Wcg Wcp margin mag phase w 这些语句只计算系统 Bode 图的输出数据 而不绘制曲线 margin 函数可以从频率 响应数据中计算出幅值稳定裕度 相位稳定裕度及其对应的角频率 有了控制系统的 Bode 图 就可以计算频域性能指标 当计算出的相角稳定裕度 0 时 则系统闭环稳定 否则不稳定 例 5 2 已知系统开环传递函数为 试用 Bode ssss sG 5 025 2 75 2 5 1 8 234 图判断闭环系统的稳定性 并绘制系统的单位阶跃响应曲线来验证 MATLAB 编程 num 8 den 1 5 2 75 2 25 0 5 0 sys tf num den bode sys grid on Gm Pm Wcg Wcp margin sys 程序执行结果为 0 0449 0 4264 1 4557 模值Gm2351 104 PmWcpWcg 稳定裕度 20lg0 0449dB 穿越频率 0 4264rad s 相角稳定裕度 h L g w 2351 104 剪切频率 1 4557rad s 这些性能指标中相角稳定裕度为负值 数据说明系统闭环是不 c w 稳定的 图 5 2 开环系统的 Bode 图 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 17 绘制系统的单位阶跃响应曲线来验证系统的稳定性 MATLAB 编程 num 8 den 1 5 2 75 2 25 0 5 0 s tf num den sys feedback s 1 t 0 0 01 10 step sys t grid on title 单位阶跃响应 ylabel y xlabel t 运行程序 绘制出系统的单位阶跃响应曲线如图 5 3 所示 系统的单位阶跃响应曲 线是发散的振荡 说明系统不稳定 验证了用 Bode 图判断系统不稳定的结论 图 5 3 系统的单位阶跃响应曲线 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 18 六 线性系统的状态空间分析 6 1 状态空间模型 20 世纪 40 年代计算机的出现及其应用领域的不断扩展 自动控制理论朝着更复杂的 方向发展 因此现代控制理论应运而生 现代控制理论基本上是一种时域法 它引入了 状态的概念 因此 建立在状态空间中的数学模型是一个基本问题 也是现代控制理论 中分析和综合控制系统的前提和基础 其重要性就像经典控制理论中确定系统的传递函 数一样 现代控制理论中的状态空间 简单的说就是将描述系统运动的高阶微分方程改写成 一阶联立微分方程组的形式 或者将系统的运动直接用一阶微分方程组来表示 写成矩 阵形式 这就得到了状态空间的模型 13 连续系统的状态空间模型为 6 1 tDutCxty tButAxtx 式中 为 r的系统控制输入 r 个 向量 为 n的系统状态变量 为 m tu1 tx1 ty 的系统输出向量 A 为的系统矩阵 状态矩阵 由控制对象的参数决定 B 为 n1 nn 的控制矩阵 输入矩阵 C 为 m的输出矩阵 观测矩阵 D 为 m的输入输出r n r 矩阵 直 接传递矩阵 6 2 状态反馈 状态反馈是将系统的内部状态变量乘以一个反馈系数 然后反馈到系统输入端与系 统的参考输入综合 综合而成的信号作为系统的输入对系统实施控制 控制系统结构如图 6 1 所示 原来系统的动态方程为 6 2 DuCxy BuAx x 当加上状态反馈环节后 其中的线性状态反馈控制律为 6 3 KxRu 式中 R 是参考输入 K 称为状态反馈增益矩阵 为矩阵 np 系统动态方程变为 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 19 6 4 DRxCDRxDKCRKxDCxy BRxABRxBKARKxBAxx k k 式中 DKCCBKAA KK 当 D 0 时 状态反馈系统闭环传递函数为 sWk 6 5 BBKAsICsWK 1 式中 为闭环系统的系统矩阵 BKA Y XdX dt UR BC K A D 图 6 1 状态反馈结构图 从式 6 2 和 6 4 可以看出 状态反馈前后的系统矩阵分别为和 特征方程分ABKA 别为和 可以看出状态反馈后的系统特征根不仅与系统本身 det AI det BKAI 的结构参数有关 还与状态反馈 K 有关 6 3 控制系统的可控性和可观性 在状态空间分析中 系统的可控性和可观性是非常重要的概念 是现代控制理论中两 个基本的概念 可控性是指系统的状态能否被控制 可观性是指系统状态的变化能否由 输出检测反映出来 系统的可控性和可观性从状态的控制能力和状态的识别能力两个方 面反映系统的内在特性 对系统的设计是至关重要的 14 6 3 1 控制系统的可控性 线性系统 在时刻的任意初始值 对于 为BuAxx 0 t 00 xtx 0 tta Jta J 系统的时间定义域 可找到控制 其在上的状态是完全可控的 系统的完全可u 0a tt 控性只取决于状态方程中的 A B 矩阵 因此对于完全可控的系统 经常称之为 A B 完全 可控 14 可以构造一个相似变换矩阵 c T 6 6 1B AABBT n c 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 20 式中 n 为系统的阶次 矩阵称为系统的可控性变换矩阵 c T 矩阵可以由控制系统工具箱中提供的 ctrb 函数自动生成出来 其调用格式为 c T Tc ctrb A B 式中 为矩阵的秩 即 rank 称为系统的可控性指数 它的值是系统 c T c T 中可控状态的数目 如果 rank n 则系统完全可控 c T 例 6 1 考虑系统的状态方程模型 x u x 分析系统的可控性 0500 1000 0100 0010 x 2 0 1 0 y 0001 MATLAB 编程 A 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 5 0 B 0 1 0 2 C 1 0 0 0 D 0 Tc ctrb A B rank Tc 运行程序 输出如下 ans 4 可见 因为矩阵的秩为 4 等于系统的阶次 所以 c T 系统是完全可控系统 6 3 2 控制系统的可观性 线性系统 在时刻存在 为系统的时间定义域 如BuAxx 0 t 0 tta Jta J 果根据的观测值 在区间内能够唯一地确定系统在时刻的任意初始 0a tt ty 0a ttt 0 t 状态 则称系统在上的状态是可观测的 0 x 0a tt 系统的可观性只取决于状态方程的 A C 矩阵 因此对于完全可观的系统 经常称之 为系统 A C 完全可观 按照下面的规则构造一个变换矩阵 0 T 6 7 Tn CACACT 1 0 式中 n 为系统的阶次 矩阵称为可观测变换矩阵 矩阵可以由控制工具箱中提供的 obsv 函数直接求出 其调用格式为 T obsv A C 式 0 T 0 中为矩阵的秩 即 rank 称为系统的可观性指数 它实际上是系统中可观测状态的 0 T 0 T 数目 如果 rank n 则系统完全可观测 0 T 例 6 2 设系统的状态空间方程为 31 13 x ux 11 11 11 11 yx 判断系统的可观性 MATLAB 编程 A 3 1 1 3 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 21 B 1 1 1 1 C 1 1 1 1 D 0 T obsv A C 0 rank T 0 运行程序 输出如下 ans 2 可见 因为矩阵的秩为 2 等于系统的阶次 所以 0 T 系统是完全可观系统 6 4 极点配置 6 4 1 极点配置简介 所谓极点配置问题 就是通过反馈矩阵的选择 使闭环系统的极点 恰好处于所希 望的一组极点位置上 由于希望的极点具有一定的任意性 因此极点的配置也具有一定 的任意性 15 极点配置方法如下所述 如果系统是完全状态可控的 那么可选择期望设置的极点 然后以这些极点作为闭环极点来设计系统 利用状态观测器反馈全部或部分状态变量 使所有的闭环极点落在各期望位置上 以满足系统的性能要求 这种设置期望闭环极点 的方法就称为极点配置法 设给定的线性定常系统为 6 8 BuAxx 式中 x 为 n 维状态向量 u 为 p 维状态向量 A 和 B 为相应维数的常数矩阵 若给定 n 个反馈性能的期望闭环极点为 6 9 n ppp 21 则极点配置的设计问题就是确定一个p状态反馈增益矩阵K 使状态反馈闭环系n 统 6 10 BvxBKAx 的极点为 即 n ppp 21 6 11 2 1 nipBKA ii 式中 表示 的特征值 i 6 4 2 单输入单输出系统的极点配置 对于单输入单输出的 n 阶系统 其反馈增益矩阵 K 是一行向量 仅包含 n 个元素 可由 n 个极点唯一确定 单输入单输出系统极点配置方法步骤如下 1 确定受控系统完全可控 如果系统不是完全可控 则不能进行极点配置 并确定 系统开环特征多项式 det sI A 合肥师范学院 2012 届本科生毕业论文 设计 22 det 6 12 0111 asasasAsI nn n 2 由希望的闭环极点计算闭环期望的特征多项式 n ppp 21 det 6 13 01 1 121 asasaspspspsBKAsI n n n n 3 计算 6 14 KPK 00 aa 11 aa 11 nn aa 4 计算变换矩阵 P 及其逆 P 1 P Ab b 6 15 bAn 1 1 0 001 11 1 n n aa a 5 将所求出的状态反馈增益转换成实际实施的 K K 1 PK MATLAB 提供了进行极点配置的函数 acker 和 place 它们的调用格式如下 K acker A B P 其中 A B 为系统系数矩阵 P 为配置的极点 K 为反馈增益矩阵