高中数学 1.1.1正弦定理全册精品教案 新人教A版必修5

用心 爱心 专心 1 1 1 1 1 1 正弦定理正弦定理 教学目标教学目标 知识与技能知识与技能 通过对任意三角形边长和角度关系的探索 掌握正弦定理的内容及其证明方法 会运 用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 过程与方法 过程与方法 让学生从已有的几何知识出发 共同探究在任意三角形中 边与其对角的关系 引导学 生通过观察 推导 比较 由特殊到一般归纳出正弦定理 并进行定理基本应用的实践操作 情感态度与价值观 情感态度与价值观 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 培养学生合情推理 探索数学规律的数学思思想能力 通过三角形函数 正弦定理 向量的数量积等知识间的联 系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一 教学重点教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用 教学难点教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数 教学过程教学过程 一一 课题导入课题导入 如图 1 1 1 固定 ABC 的边 CB 及 B 使边 AC 绕着顶点 C 转动 思考 C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系 显然 边 AB 的长度随着其对角 C 的大小的增大而增大 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来 二二 讲授新课讲授新课 探索研究探索研究 在初中 我们已学过如何解直角三角形 下面就首先来探讨直角三角形中 角与边的等式关系 如图 在 Rt ABC 中 设 BC a AC b AB c 根据锐角三角函数中正弦函数的定义 有si n a A c si n b B c 又si n1 c C c 则 si nsi nsi n abc c ABC 从而在直角三角形 ABC 中 si nsi nsi n abc ABC 思考思考 1 1 那么对于任意的三角 那么对于任意的三角形 以上关系式是否仍然成立 形 以上关系式是否仍然成立 由学生讨论 分析 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况 如图 1 1 3 1 当 ABC 是锐角三角形时 设边 AB 上的高是 CD 根据任意角三角函数的定 义 有 CD si nsi naBbA 则 si nsi n ab AB C 同理可得 si nsi n cb CB b a 从而 si nsi n ab AB si n c C A c B C A B B C A 用心 爱心 专心 2 当 ABC 是钝角三角形时 以上关系式仍然成立 由学生课后自己推导 思考思考 2 2 还有其方法吗 由于涉及边长问题 从而可以考虑用向量来研究这问题 证法二 过点 A 作单位向量jAC 由向量的加法可得 ABACC B 则 jABjACC B jABjACjC B 00 cos 900cos 90 j ABAj CBC sinsin cA aC 即 sinsin ac AC 同理 过点 C 作 jBC 可得 sinsin bc BC 从而 si nsi n ab AB si n c C 从上面的研探过程 可得以下定理 正弦定理 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 si nsi n ab AB si n c C 理解定理理解定理 1 正弦定理说明同一三角形中 边与其对角的正弦成正比 且比例系数为同一正数 即存在正数 k 使si nakA si nbkB si nckC 2 si nsi n ab AB si n c C 等价于 si nsi n ab AB si nsi n cb CB si n a A si n c C 思考 正弦定理的基本作用是什么 思考 正弦定理的基本作用是什么 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边 如 si n si n bA a B 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值 如si nsi n a AB b 一般地 已知三角形的某些边和角 求其他的边和角的过程叫作解三角形 一般地 已知三角形的某些边和角 求其他的边和角的过程叫作解三角形 例题分析例题分析 例例 1 1 在 ABC中 已知 0 32 0 A 0 81 8 B 42 9 acm 解三角形 解 根据三角形内角和定理 0 180 CA B 000 180 32 081 8 0 66 2 根据正弦定理 0 0 sin42 9sin81 8 80 1 sin sin32 0 aB bcm A 根据正弦定理 0 0 sin42 9sin66 2 74 1 sin sin32 0 aC ccm A 评述 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 练习 练习 在 ABC中 已知下列条件解三角形 1 45 A 30 C cmc10 2 2 60 A 45 B cmc20 例例 2 2 在 ABC中 已知20 acm 28 bcm 0 40 A 解三角形 角度精确到 0 1 边长精确到 1cm C A B j 用心 爱心 专心 解 根据正弦定理 0 sin28sin40 sin0 8999 20 bA B a 因为 0 0 B 0 180 所以 0 64 B 或 0 116 B 当 0 64 B时 00000 180 180 4064 76 CA B 0 0 sin20sin76 30 sin sin40 aC ccm A 当 0 116 B时 00000 180 180 40116 24 CA B 0 0 sin20sin24 13 sin sin40 aC ccm A 应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时 可能有两解的情形 课堂练习课堂练习 第 4 页练习第 2 题 思考题 在 ABC 中 si nsi n ab AB o si n c k k C 这个 k 与 ABC 有什么关系 三三 课时小结课时小结 由学生归纳总结 1 定理的表示形式定理的表示形式 si nsi n ab AB si n c C 0 si nsi nsi n abc k k ABC 或si nakA si nbkB si nckC 0 k